秋風(fēng)送爽，學(xué)期伊始。本號為計量小伙伴們送上一個開學(xué)小禮包：如何使用雙重差分法的交叉項（迄今最全攻略）。

雙重差分法（Difference-in-differences，簡記DID）無疑是實證研究中最常用的計量方法之一，而交互項則是DID的靈魂。在計量實踐中，取決于數(shù)據(jù)的類型與性質(zhì)，DID的交互項有著不同的形式。靈活地使用DID的交互項，是實證研究的一項重要技能。為此，本文全面地梳理了文獻(xiàn)中關(guān)于DID交互項的各種形式，包括（1）傳統(tǒng)DID；（2）經(jīng)典DID；（3）異時DID；（4）廣義DID；以及（5）異質(zhì)性DID。

傳統(tǒng)DID

雙重差分法是研究“處理效應(yīng)”（treatment effects）的流行方法。一般來說，DID的使用場景為，在面板數(shù)據(jù)中，個體可分為兩類，即受到政策沖擊的“處理組”（treatment group）與未受政策影響的“控制組”（control group）。為此，引入處理組虛擬變量 ： 

然而，處理組的個體也只有到了處理期才會受到政策沖擊（之前未受沖擊），故引入處理期虛擬變量：

傳統(tǒng)DID的模型設(shè)定為 

其中，處理組虛擬變量  捕捉了處理組的組別效應(yīng)（處理組與控制組的固有差別），處理期虛擬變量  控制了處理期的時間效應(yīng)（處理期前后的固有時間趨勢）， 為其他控制變量，而交互項  則代表了處理組在處理期的真正效應(yīng)，其系數(shù)  正是我們關(guān)心的處理效應(yīng)。然后進(jìn)行OLS估計即可。

經(jīng)典DID

DID使用了面板數(shù)據(jù)，而估計面板模型的標(biāo)準(zhǔn)方法為“雙向固定效應(yīng)模型”（two-way fixed effects），它既控制了“個體固定效應(yīng)”（individual fixed effects），也控制了“時間固定效應(yīng)”（time fixed effects）。研究者后來發(fā)現(xiàn)，雖然傳統(tǒng)DID控制了處理組的組別效應(yīng)（）與處理期的時間效應(yīng)（）；但其實還可以做得更好，干脆引入雙向固定效應(yīng)模型，我們稱之為“經(jīng)典DID”：

其中， 為個體固定效應(yīng)（在回歸時加入個體虛擬變量即可）， 為時間固定效應(yīng)（在回歸時加入時間虛擬變量即可），而交互項  之前的系數(shù)  依然是我們感興趣的處理效應(yīng)。顯然，加入個體固定效應(yīng)  之后，就不必再放入處理組虛擬變量 ；否則，將導(dǎo)致嚴(yán)格多重共線性，因為前者包含比后者更多的信息（前者控制到個體層面，而后者僅控制到組別層面）。

類似地，加入時間固定效應(yīng)  之后，就不必再放入處理期虛擬變量 ；否則，將導(dǎo)致嚴(yán)格多重共線性，因為前者包含比后者更多的信息（前者控制了每一期的時間效應(yīng)，而后者僅控制處理期前后的時間效應(yīng)）。估計方法依然是OLS，但須使用“聚類穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤”（cluster-robust standard errors），因為面板數(shù)據(jù)一般為“聚類數(shù)據(jù)”（cluster data）。這種經(jīng)典DID的模型設(shè)定在實證研究中最為常見。

異時DID

在傳統(tǒng)與經(jīng)典DID的模型設(shè)定中，一個隱含假設(shè)是，處理組的所有個體開始受到政策沖擊的時間均完全相同。但有時也會遇到每位個體的處理期不完全一致的情形（heterogeneous timing）；比如，某項試點政策在不同城市分批推出。此時，可使用“異時DID”（heterogeneous timing DID）。

異時DID的關(guān)鍵在于，既然每位個體的處理期不完全一致，則處理期虛擬變量也因個體而異，故應(yīng)寫為 （既依賴于個體 i，也依賴于時間 t）。具體而言，異時DID的模型設(shè)定為

在具體實施時，可在Stata中首先定義因個體而異的處理期虛擬變量 。比如，考慮一個五期面板，對于第1位個體，；對于第2位個體，；而對于第3位個體，。這意味著，第1位個體從第3期開始受到政策處理，第2個體從第4期開始受到政策沖擊，而第3位個體從未受到政策沖擊（屬于控制組）；以此類推。

廣義DID

以上各種DID方法均假設(shè)存在處理組與控制組的區(qū)別，但有時某項政策在全國統(tǒng)一鋪開，此時只有處理組，并沒有控制組，是否還能使用DID呢？答案是“能”，可以嘗試“廣義DID”（generalized DID）。

使用廣義DID的重要前提是，雖然所有個體均同時受到政策沖擊，但政策對于每位個體的影響力度并不相同，不妨以  來表示。

一個經(jīng)典研究是 Bai and Jia (2016, Econometrica) 使用清朝的府級面板數(shù)據(jù)，考察廢除科舉制對于革命起義的影響。由于科舉制于1911年在全國統(tǒng)一廢除，故不存在嚴(yán)格意義上的控制組。但由于各地科舉配額的巨大差異，廢除科舉對于各地的影響力度差別很大。

直觀上，如果某個府本來的科舉配額微乎其微，則廢除科舉當(dāng)然影響很??；反之，對于科舉配額很多的府，廢除科舉則可能引發(fā)劇烈震動，因阻斷很多士子的上升空間而導(dǎo)致革命。為此，Bai and Jia (2016) 以“科舉配額占人口比重”作為對于  的度量。

在實踐中，只要尋找到合適的  變量（一般從經(jīng)濟(jì)理論出發(fā)來尋找），則可以之替代經(jīng)典DID的  虛擬變量，將廣義DID模型設(shè)定如下：

其中，交互項  之前的系數(shù)  依然是我們關(guān)心的處理效應(yīng)，然后對上式進(jìn)行OLS估計。

當(dāng)然，對于廣義DID，文獻(xiàn)中也曾出現(xiàn)更為“簡單粗暴”的處理方法，即人為地設(shè)定一個門檻值 c，根據(jù)  變量是否超過此門檻值來定義處理組與控制組。具體來說，定義

然后，按照經(jīng)典DID來處理。這種處理方法的缺點在于，門檻值 c 的設(shè)定比較主觀，一般須進(jìn)行“穩(wěn)健性檢驗”（robustness checks），即考察不同門檻值下的回歸結(jié)果是否穩(wěn)定。另外，在將連續(xù)變量  壓縮為二分變量  的時候，顯然損失了不少信息，故在實踐中已不多見。

異質(zhì)性DID

傳統(tǒng)的處理效應(yīng)模型一般假設(shè)“同質(zhì)性處理效應(yīng)”（homogeneous treatment effects），即所有個體的處理效應(yīng)都相同。顯然，此假定太苛刻，在實踐中難以成立。更為合理的假定則為“異質(zhì)性處理效應(yīng)”（heterogeneous treatment effects），即允許每位個體的處理效應(yīng)不盡相同。

在DID的框架下，也可引入異質(zhì)性處理效應(yīng)，關(guān)鍵仍在于對交互項  的調(diào)整。為簡單起見，假設(shè)根據(jù)經(jīng)濟(jì)理論，可將所有個體分為兩類，以虛擬變量  來表示。在理論上，我們預(yù)期這兩類個體的處理效應(yīng)并不相同。此時，可在經(jīng)典DID的模型中，再引入三重交互項 ，構(gòu)建異質(zhì)性DID模型：

由上式可知，對于  那類處理組個體，其處理效應(yīng)為 。而對于  那類處理組個體，其處理效應(yīng)為 。顯然，對于 或 的這兩類個體，其處理效應(yīng)是異質(zhì)的（只要三重交互項的系數(shù) 

顯著）。

推而廣之，如果經(jīng)濟(jì)理論認(rèn)為，應(yīng)將所有個體分為 M 類，以考察這 M 類個體的異質(zhì)性效應(yīng)，則可設(shè)立 (M -1) 個類別虛擬變量，比如 ，然后分別生成三重交互項 ，引入回歸方程中：

在上式中，第 1 類個體的處理效應(yīng)為 ，第 2 類個體的處理效應(yīng)為 

，以此類推。然后照常進(jìn)行OLS估計即可。

當(dāng)然，雙重差分法還有其他變種，比如三重差分法（Difference-in-differences-in-differences，簡記DDD），以及與傾向得分匹配相結(jié)合的PSM-DID 等，有興趣的讀者可參考陳強(qiáng)（2014）。

參考文獻(xiàn)

陳強(qiáng)，《高級計量經(jīng)濟(jì)學(xué)及Stata應(yīng)用》，第2版，高等教育出版社，2014年

陳強(qiáng)，《計量經(jīng)濟(jì)學(xué)及Stata應(yīng)用》，高等教育出版社，2015年（好評如潮的配套教學(xué)視頻，可在網(wǎng)易云課堂購買）

陳強(qiáng)，《機(jī)器學(xué)習(xí)及R應(yīng)用》，高等教育出版社，2020年（即將出版）