談求解一些函數(shù)對稱中心的策略

湖南衡陽    王小國 

【摘要】數(shù)學(xué)之美無處不在，有形的對稱之美，眼睛就能發(fā)現(xiàn)，而對于隱藏在某些函數(shù)下的對稱之美，如何發(fā)現(xiàn)呢？通過尋找與證明一些特殊函數(shù)的對稱中心，有利于促進(jìn)學(xué)生培養(yǎng)探索發(fā)現(xiàn)的能力，形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰Γ矟撘颇藬?shù)學(xué)之中美的教育.

【關(guān)鍵詞】函數(shù) 對稱中心  

法國雕塑藝術(shù)家羅丹說過，生活中不是缺少美,而是缺少發(fā)現(xiàn)美的眼睛！在函數(shù)家族中，有一些函數(shù)，他們都存在對稱中心，其函數(shù)圖像關(guān)于對稱中心對稱而和諧優(yōu)美.而對稱中心便是函數(shù)對稱之美，和諧之美的靈魂所在.本文，我們就來探求某些特別函數(shù)的對稱中心.以期大家對函數(shù)有更加深刻的認(rèn)識(shí)，也為品味數(shù)學(xué)之美提供基礎(chǔ).

類型一、奇函數(shù)的對稱中心

奇函數(shù)f(x)的對稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)，滿足f(x)+f(-x)=0.奇函數(shù)是最簡單，最基本的中心對稱函數(shù)，許多中心對稱函數(shù)都是由奇函數(shù)通過平移變換衍生而來.

【評注】一般有對稱中心的函數(shù)，都可通過某個(gè)奇函數(shù)經(jīng)過平移變換得到.

類型二、利用函數(shù)對稱中心的表達(dá)式求解

【點(diǎn)評】此解法是從函數(shù)值域出發(fā)，由對稱性得其對稱中心的縱坐標(biāo)，進(jìn)而求其橫坐標(biāo).

【點(diǎn)評】解法一，是從平移角度出發(fā)，雖看似簡單，但是需要極強(qiáng)的代數(shù)式變形能力，一般較難達(dá)到，解法二，通過二次求導(dǎo)，簡單且容易掌握，不過涉及到一定的高等數(shù)學(xué)知識(shí).

綜上我們發(fā)現(xiàn)，對于函數(shù)的對稱中心的求解策略，基本上歸于四類，第一類，通過對對稱中心的解析式f(x)+f(2a-x)=2b進(jìn)行探索，從而求得其對稱中心。第二類即通過發(fā)現(xiàn)其原始的奇函數(shù)模型，通過平移變換即得新的中心對稱函數(shù)。第三類是通過中心對稱函數(shù)的對稱性，從定義域，值域出發(fā)，尋找到其對稱中心的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，并檢驗(yàn)求之。第四類為二次求導(dǎo)，（一般針對三次函數(shù)而言）求得其對稱中心的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求之得對稱中心.實(shí)際上求導(dǎo)后，關(guān)于對稱中心對稱的兩點(diǎn)的切線斜率相等，以此也可以作為一種求解對稱中心的方法.