1.(2012·安徽省皖南八校聯(lián)考)若動點P到定點F(1，－1)的距離與到直線l：x－1＝0的距離相等，則動點P的軌跡是( D )

A．橢圓 B．雙曲線

C．拋物線 D．直線

解析：因為定點F(1，－1)在直線l：x－1＝0上，所以軌跡為過F(1，－1)與直線l垂直的一條直線，故選D.

2.(2012·山西省太原五中高三9月)實數(shù)變量m，n滿足m²＋n²＝1，則坐標(m＋n，mn)表示的點的軌跡是( D )

A．拋物線 B．橢圓

C．雙曲線的一支 D．拋物線的一部分

解析：設(shè)x＝m＋n，y＝mn，

則x²＝(m＋n)²＝m²＋n²＋2mn＝1＋2y，

且由于m，n的取值都有限制，

因此變量x的取值也有限制，

所以點(m＋n，n)的軌跡為拋物線的一部分，故選D.

3.(2013·昌平區(qū)期末)一圓形紙片的圓心為點O，點Q是圓內(nèi)異于O點的一定點，點A是圓周上一點．把紙片折疊使點A與Q重合，然后展平紙片，折痕與OA交于P點．當點A運動時點P的軌跡是( B )

A．圓 B．橢圓

C．雙曲線 D．拋物線

解析：由條件知|PA|＝|PQ|，

則|PO|＋|PQ|＝|PO|＋|PA|＝R(R＞|OQ|)，

所以點P的軌跡是橢圓，故選B.

4.(2012·甘肅省天水市預(yù)測)已知點A(－1,0)和圓x²＋y²＝2上一動點P，動點M滿足2＝，則點M的軌跡方程是( C )

A．(x－3)²＋y²＝1 B．(x－)²＋y²＝1

C．(x－)²＋y²＝ D．x²＋(y－)²＝

解析：設(shè)M(x，y)，P(x₀， y₀)，

由2＝，則2(－1－x,0－y)＝(x₀＋1，y₀－0)，

即(－2－2x，－2y)＝(x₀＋1，y₀)，

所以.

又點P(x₀，y₀)在圓x²＋y²＝2上，

所以x＋y＝2，即(－2x－3)²＋(－2y)²＝2，

化簡得(x－)²＋y²＝，故選C.

5.平面直角坐標系中，已知兩點A(3,1)，B(－1,3)，若點C滿足＝λ₁＋λ₂(O為原點)，其中λ₁，λ₂∈R，且λ₁＋λ₂＝1，則點C的軌跡方程為 x＋2y－5＝0 .

解析：設(shè)C(x，y)，

則＝(x，y)，＝(3,1)，＝(－1,3)．

因為＝λ₁＋λ₂，所以.

又λ₁＋λ₂＝1，所以x＋2y－5＝0.

6.(2013·洛陽模擬)設(shè)過點P(x，y)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A，B兩點，點Q與點P關(guān)于y軸對稱，O為坐標原點．若＝2，且·＝1，則點P的軌跡方程是 x²＋3y²＝1(x>0，y>0) .

解析：設(shè)A(a,0)，B(0，b)，a>0，b>0，

由＝2，得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，

即a＝x>0，b＝3y>0.

因為點Q與點P關(guān)于y軸對稱，所以點Q(－x，y)，

故由·＝1，得(－x，y)·(－a，b)＝1，

即ax＋by＝1.

將a＝x，b＝3y代入上式得所求的軌跡方程為x²＋3y²＝1(x>0，y>0)．

7.(2013·廣東高州市模擬)點P(4，－2)與圓x²＋y²＝4上任一點連線的中點的軌跡方程是 (x－2)²＋(y＋1)²＝1 .

解析：設(shè)圓上任意一點為(x₁，y₁)，中點為(x，y)，

則，即，

代入x²＋y²＝4，得(2x－4)²＋(2y＋2)²＝4，

化簡得(x－2)²＋(y＋1)²＝1.

8.已知橢圓C的中心為直角坐標系xOy的原點，焦點在x軸上，它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若P為橢圓C上的動點，M為過點P且垂直于x軸的直線上的點，＝e(e為橢圓C的離心率)，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．

解析：(1)設(shè)橢圓長半軸長及半焦距分別為a，c，

由已知得，解得，所以b²＝7，

所以橢圓C的方程為＋＝1.

(2)設(shè)M(x，y)，P(x，y₁)，其中x∈[－4,4]．

由已知得＝e².

而e＝，故16(x²＋y)＝9(x²＋y²)．①

由點P在橢圓C上得y＝，代入①式并化簡得9y²＝112，

所以點M的軌跡方程為y＝±(－4≤x≤4)，軌跡是兩條平行于x軸的線段．

9.(2012·廣東省肇慶市第一次模擬)已知圓C與兩圓x²＋(y＋4)²＝1，x²＋(y－2)²＝1外切，圓C的圓心軌跡方程為L，設(shè)L上的點與點M(x，y)的距離的最小值為m，點F(0,1)與點M(x，y)的距離為n.

(1)求圓C的圓心軌跡L的方程；

(2)求滿足條件m＝n的點M的軌跡Q的方程．

解析：(1)兩圓半徑都為1，兩圓心分別為C₁(0，－4)、C₂(0，2)，由題意得CC₁＝CC₂，

可知圓心C的軌跡是線段C₁C₂的垂直平分線，C₁C₂的中點為(0，－1)，直線C₁C₂的斜率等于零，故圓心C的軌跡是線段C₁C₂的垂直平分線，其方程為y＝－1，

即圓C的圓心軌跡L的方程為y＝－1.

(2)因為m＝n，所以M(x，y)到直線y＝－1的距離與到點F(0,1)的距離相等，故點M的軌跡Q是以y＝－1為準線，點F(0,1)為焦點，頂點在原點的拋物線，

而＝1，即p＝2，所以，軌跡Q的方程是x²＝4y.

1.拋物線y＝4x²的準線方程為( D )

A．x＝－1 B．y＝－1

C．x＝－ D．y＝－

2.正三角形一個頂點是拋物線x²＝2py(p>0)的焦點，另兩個頂點在拋物線上，則滿足此條件的正三角形共有( C )

A．0個 B．1個

C．2個 D．4個

解析：由拋物線的對稱性可知，另兩個頂點一組在焦點的下方，一組在焦點的上方，共有兩組，故選C.

3.如圖，過拋物線y²＝2px(p>0)的焦點F的直線l交拋物線于點A、B，交其準線于點C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線方程為( C )

A．y²＝9x B．y²＝6x

C．y²＝3x D．y²＝x

解析：分別過A，B作準線的垂線，垂足分別為E，D，如圖．

因為|BC|＝2|BF|，由拋物線的定義可知|BF|＝|BD|，∠BCD＝30°.

又|AE|＝|AF|＝3，所以|AC|＝6，

即F為AC的中點，所以p＝|EA|＝，

故拋物線的方程為y²＝3x，故選C.

4.(2013·山東省臨沂市3月一模)若拋物線的頂點在原點，準線方程為x＝－2，則拋物線的方程為 y²＝8x .

解析：由條件知－＝－2，所以p＝4，

故拋物線的方程為y²＝8x.

5.(2012·皖南八校第二次聯(lián)考)拋物線x²＝ay過點A(1，)，則點A到此拋物線的焦點的距離為 .

解析：由已知可得1＝a，所以a＝4，所以x²＝4y.

由拋物線的定義可知點A到焦點的距離等于A到準線的距離：

y_A＋＝＋1＝.

6.(2013·衡水調(diào)研卷)設(shè)斜率為2的直線l過拋物線y²＝ax(a≠0)的焦點F，且和y軸交于點A，若△OAF(O為坐標原點)的面積為4，則拋物線的方程為 y²＝±8x .

解析：由題可知拋物線的焦點坐標為(，0)，于是過焦點且斜率為2的直線l的方程為y＝2(x－)，令x＝0，可得A點坐標為(0，－)，所以S_△OAF＝··＝4，所以a＝±8，故拋物線的方程為y²＝±8x.

7.(2012·山西大學(xué)附中第二學(xué)期3月考)已知拋物線y²＝4x的焦點為F，準線與x軸的交點為M，N為拋物線上的一點，且滿足|NF|＝|MN|，則∠NMF＝ .

解析：過N作NQ⊥準線于Q，則|NQ|＝|NF|.

因為|NF|＝|MN|，

所以|NQ|＝|MN|，

所以cos∠QNM＝＝，所以∠QNM＝，

所以∠NMF＝∠QNM＝.

8.(2012·重慶市七區(qū)第一次聯(lián)考)在平面直角坐標系xOy中，拋物線C的頂點在原點，經(jīng)過點A(2,2)，其焦點F在x軸上．

(1)求拋物線C的標準方程；

(2)求過點F，且與直線OA垂直的直線的方程．

解析：(1)由題意，可設(shè)拋物線C的標準方程為y²＝2px，

因為點A(2,2)在拋物線C上，所以p＝1，

所以拋物線C的標準方程為y²＝2x.

(2)由(1)可得焦點F的坐標為(，0)，

又直線OA的斜率為1，

所以與直線OA垂直的直線的斜率為－1.

所以過點F，且與直線OA垂直的直線的方程為y－0＝－1(x－)，即x＋y－＝0.

9.如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y²＝2px(p>0)上橫坐標為4的點到該拋物線的焦點的距離為5.

(1)求拋物線的標準方程；

(2)設(shè)點C是拋物線上的動點，若以C為圓心的圓在y軸上截得的弦AB的長為4，求證：圓C過定點．

解析：(1)由拋物線的定義得＋4＝5，則p＝2，

所以拋物線的標準方程為y²＝4x.

(2)證明：設(shè)圓心C的坐標為(，y₀)，半徑為r.

因為圓C在y軸上截得的弦長為4，

所以r²＝4＋()²，

故圓C的方程為(x－)²＋(y－y₀)²＝4＋()²，

整理得(1－)y－2yy₀＋(x²＋y²－4)＝0，①

對于任意的y₀∈R，方程①均成立．

故有，解得.

所以圓C過定點(2,0)．

1.(2013·山東省高考沖刺預(yù)測)設(shè)m，n是平面α內(nèi)的兩條不同直線，l₁，l₂是平面β內(nèi)的兩條相交直線，則α∥β的一個充分而不必要條件是( B )

A．m∥β且l₁∥α B．m∥l₁且n∥l₂

C．m∥β且n∥β D．m∥β且n∥l₂

解析：m∥l₁且n∥l₂，m， n?α，l₁，l₂為β內(nèi)兩條相交直線，則可得α∥β；若α∥β，l₁，l₂為β內(nèi)兩條相交直線，則不一定有m∥l₁且n∥l₂，故選B.

2.已知兩個不重合的平面α和β，下面給出四個條件：

①α內(nèi)有無窮多條直線均與平面β平行；

②平面α，β均與平面γ平行；

③平面α，β與平面γ都相交，且其交線平行；

④平面α，β與直線l所成的角相等．

其中能推出α∥β的是( B )

A．① B．②

C．①和③ D．③和④

解析：①中也存在α，β相交的可能，故不正確；②符合平面平行的傳遞性，故正確；③中平面α，β，γ可能兩兩相交，故不正確；④中平面α，β也可能相交，故選B.

3.已知m、n是兩條不重合的直線，α、β、γ是三個兩兩不重合的平面，則下列四個命題中真命題的是( C )

A．若m∥α，n∥α，則m∥n

B．若m∥α，m∥n，則n∥α

C．若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，則m∥n

D．若m?α，n?β，m∥n，則α∥β

解析：A中m， n還可能相交、異面，假命題；B中直線n可能在α內(nèi)，不正確；D中，若m，n都與α，β的交線l平行，滿足條件，但α，β可相交，不正確，故選C.

4.如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分別為棱AB，CC₁的中點，在平面ADD₁A₁內(nèi)且與平面D₁EF平行的直線( A )

A．有無數(shù)條 B．有2條

C．有1條 D．不存在

解析：延長D₁F交DC的延長線于G，連接EG交BC于H，其反向延長線交DA于R，連接FH，D₁R，則平面D₁GR即為D₁EF平面，由平面ADD₁A₁與平面BCC₁B₁平行的性質(zhì)知FH∥D₁R，因為在平面ADD₁A₁內(nèi)無數(shù)條與D₁R平行的直線，所以這無數(shù)條直線與平面D₁EF都平行，故選A.

5.若三個平面把空間分成6個部分，那么這三個平面的位置關(guān)系是 三個平面共線，或兩個平面平行且都與第三個平面相交 .(寫出一種可能的情形即可)

解析：可將三個平面視為三條直線，考慮三條直線分平面為幾部分來考慮．

6.已知m、n是不重合的直線，α、β是不重合的平面，有下列命題：

①若m?α，n∥α，則m∥n；

②m∥α，m∥β，則α∥β；

③若α∩β＝n，m∥n，則m∥α且m∥β；

④若m⊥α，m⊥β，則α∥β.

其中正確命題的序號有 ④ .

7.考察下列三個命題，請在“________”處添加一個條件，構(gòu)成真命題(其中l，m為直線，α、β為平面)，則：

①?l∥α；②?l∥α；③?α∥β.

解析：①②根據(jù)直線與平面平行的判定定理知均需要強調(diào)直線l在平面外，均添加l?α；③根據(jù)兩個平面平行的判定定理知須強調(diào)兩條直線相交，故添加a∩b＝A.

8.如圖所示，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點P是平面ABCD外一點，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和AP作平面交平面BDM于GH. 求證：AP∥GH.

證明：如圖所示，連接AC.

設(shè)AC交BD于O，連接MO.

因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以O是AC的中點．

又因為M是PC的中點，所以MO∥PA.

又因為MO?平面BDM，PA?平面BDM，

所以PA∥平面BDM，

平面BDM∩平面APG＝GH，所以AP∥GH.

9.(原創(chuàng))如圖，ABCD與ADEF為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點．

(1)求證：BE∥平面DMF；

(2)求證：平面BDE∥平面MNG.

證明：(1)連接AE，則AE必過DF與GN的交點O，

連接MO，則MO為△ABE的中位線，所以BE∥MO，

又BE?平面EMF，MO?平面DMF，

所以BE∥平面DMF.

(2)因為N，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點，所以DE∥GN，

又DE?平面MNG，GN?平面MNG，

所以DE∥平面MNG.

又M為AB中點，所以MN為△ABD的中位線，

所以BD∥MN，

又MN?平面MNG，BD?平面MNG，

所以BD∥平面MNG，

又DE與BD為平面BDE內(nèi)的兩條相交直線，

所以平面BDE∥平面MNG.