圖解解題方法

圖解典型難題

7.1 逆用冪的運(yùn)算法則

圖解思路

規(guī)范解答

解后反思

處理類似的問題，關(guān)鍵是熟練掌握逆用冪的運(yùn)算法則，首先要牢固理解并記憶冪的幾種站算法則，即同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法、冪的乘方以及積的乘法法則，在此基礎(chǔ)上理解逆以上法則的條件:即指數(shù)相加可以運(yùn)算為同底數(shù)冪相乘(a^m＋n＝a^m·aⁿ)、指數(shù)相減可以運(yùn)算為同底數(shù)冪相除(a^m－n＝a^m÷aⁿ)、指數(shù)相乘可以運(yùn)算為冪的乘方[a^mn＝(a^m)ⁿ＝(aⁿ)^m]、指數(shù)相同的冪的乘法可以運(yùn)算為積的冪a^m·b^m＝ (a·b) ^m.

觸類旁通

1.已知(x^m－1)²＝x¹²，則m＝ ；已知x^m＝a，xⁿ＝b，則x^m＋n＝ .

2.已知3^a＝5，9^b＝10，求3^a＋2b.

3.比較2⁵⁵、3⁴⁴、4³³的大小.

7.2 乘法公式

圖解思路

規(guī)范解答

原式＝x＋(5y－9)][x－(5y－9)]

＝x²－(5y－9)²

＝x²－(25y²＋81－90y)

＝x²－25y²－81＋90y.

解后反思

對(duì)于多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，我們可以利用法則，一項(xiàng)一項(xiàng)地乘開，這是基本的辦法，

但是對(duì)于一些復(fù)雜的乘法，我們可以考慮利用乘法公式進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算，常用的乘法公式有兩個(gè)，一是完全平方公式，即(a±b)²＝a²±2ab＋b²:

二是平方差公式，即(a＋b)(a－b)＝a²－b²，用好這兩個(gè)公式的關(guān)鍵是準(zhǔn)確判斷出誰是第一個(gè)字母a，誰是第二個(gè)字母b，兩項(xiàng)乘以兩項(xiàng)如此，三項(xiàng)乘以三項(xiàng)也如此.本題就是三項(xiàng)乘以三項(xiàng)，怎樣確定誰是a，誰是b?

很簡(jiǎn)單，符號(hào)相同的是a，符號(hào)相反的是b.接下來，我們只要運(yùn)用添括號(hào)法則進(jìn)行分別即可.

圖解思路

規(guī)范解答

原式＝(2－1)(2＋1)(2²＋1)(2⁴＋1)...(2³²＋1)＋1

＝(2²－1) (2²＋1)(2⁴＋1)...(2³²＋1)＋1

＝(2⁴－1)(2⁴＋1)...(2³²＋1)＋1

＝(2³²－1) (2³²＋1)＋1

＝2⁶⁴＋1－1

＝2⁶⁴.

解后反思

對(duì)于這樣的題，我們肯定不能逐一運(yùn)算，簡(jiǎn)便方法是什么呢?

還是乘法公式從結(jié)構(gòu)上看，是多個(gè)乘積加上1，所以關(guān)鍵是前面的乘積如何站算，觀察乘積的特點(diǎn)，

發(fā)現(xiàn)2的次數(shù)都是前一個(gè)的2倍，符合平方的特點(diǎn)，但一定不是完全平方基于這種考慮，

我們可以考慮用平方差公式但是并沒有出現(xiàn)(a＋b)(a－b)的形式，怎么辦呢?

我們可以添上去:給原來的乘積乘以(2－1).乘以(2－1)并不改變?cè)降拇笮?，而且?gòu)造出平方差的結(jié)構(gòu).

圖解思路

規(guī)范解答

解后反思

這樣的問題是完全平方公式的典型例題，這類問題的最大特點(diǎn)是完全平方式當(dāng)中的2ab這一項(xiàng)是常數(shù)，

我們就可以利用這個(gè)特點(diǎn)把原來的式子加以平方從面把次數(shù)變成原來的2倍，從而計(jì)算出想要的結(jié)果.

觸類旁通

7.3分解因式

圖解思路

規(guī)范解答

原式＝(x²＋x)²＋3(x²＋x)＋2－12

＝(x²＋x)²＋3(x²＋x) －10

＝(x²＋x＋5) (x²＋x－2)

＝(x²＋x＋5)(x＋2)(x－1).

解后反思

運(yùn)用整體思想是分解因式過程中常用的一種重要思想方法，

所以，對(duì)一些看似比較復(fù)雜的多項(xiàng)式進(jìn)行變形時(shí)，要注意觀察是否存在相同的多項(xiàng)式.如果直接展開比較煩瑣，這時(shí)就可以運(yùn)用整體思想了，

類似的問題比如:用平方差公式直接分解(2x＋1)²－(x－1)²，用提公因式法(a－2b)(3a－b)－(a－2b)(a＋b)，用完全平方公式分解(a＋1)²－2(a＋1)＋1，等.

對(duì)于這樣的問題，還需要注意的是，后續(xù)繼續(xù)進(jìn)行分解，要做到分解徹底，確保結(jié)果的每一個(gè)因式都不能再分解.

觸類旁通

1.分解因式：(a²＋a) (a²＋a－1)－2.

2.分解因式：x(x＋1)(x＋2)(x＋3)＋1.

3.分解因式：(x＋2y)²－4(x－y)².

7.4配方法

圖解思路

規(guī)范解答

原方程可化為(x²＋4x＋4－4)＋(y²－6y＋9－9)＋13＝0

所以(x＋2)²＋(y－3)²＝0

由非負(fù)性可知x＋2＝0，y－3＝0

所以x＝－2，y＝3.

所以x^y＝(－2)³＝－8.

解后反思

因?yàn)閍²±2ab＋b²＝(a±b)²，所以習(xí)慣上，我們把二次三項(xiàng)式a²±2ab＋b²稱為完全平方式.

這個(gè)二次三項(xiàng)式的構(gòu)成條件是有兩個(gè)數(shù)（或式）的平方和，即a²＋b²，還有一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)(或式)乘積的2倍，符合這樣的條件，我們就可以把它寫成完全平方的形式了，

這樣變形的好處在于我們可以利用完全平方的非負(fù)性進(jìn)行接下來的分析，因此，構(gòu)造完全平方式即配方法就非常重要.

參考書：《圖解名校初中數(shù)學(xué)壓軸題》，彭林[著]，上海社會(huì)科學(xué)院出版社。