十字相乘法是運(yùn)用完全平方公式不能因式分解時(shí)需要優(yōu)先考慮的又一種基本方法，其依據(jù)是根據(jù)由乘法恒等式——

(x a)(x b)=x^² (a b)x ab

演變過來的公式——

x^² (a b)x ab=(x a)(x b)．

從某種意義上來說，十字相乘法也是運(yùn)用公式法，它是針對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式x^² px q進(jìn)行分解的第三種基本方法．運(yùn)用這種方法的思路是尋找兩個(gè)數(shù)a，b，使得它們的積ab等于常數(shù)項(xiàng)q，和等于一次項(xiàng)系數(shù)p．一旦找到了這樣的兩個(gè)數(shù)，那么就可以把多項(xiàng)式x^² px q分解為(x a)(x b)．

例如，分解x^² 10x 16因式時(shí)，由于它是二次三項(xiàng)式，所以我們首先想到的是能否運(yùn)用完全平方公式？經(jīng)過驗(yàn)證可知這種方法是不能的，因此考慮十字相乘法，尋找兩個(gè)數(shù)，使得它們的積等于16，且和等于10．要尋找這樣的兩個(gè)數(shù)，我們一般只需要先考慮正整數(shù)就可以．

由于乘積等于16的兩個(gè)正整數(shù)只有1和16，2和8，4和4這三組，所以接下來只需要驗(yàn)證哪一組的和等于10即可．顯然，在這三組數(shù)中，只有2 8=10，所以2和8就是我們尋找的兩個(gè)數(shù)．

因此，x^² 10x 16可分解為(x 2)(x 8)．

為什么把這種因式分解的方法叫做十字相乘法呢？這是因?yàn)樵趯ふ疫@樣兩個(gè)數(shù)時(shí)，為了方便與直觀，我們一般通過畫如下簡(jiǎn)易的交叉“十字”圖，把二次項(xiàng)x^²分解為x乘以x，把常數(shù)項(xiàng)16分解為所有可能兩個(gè)整數(shù)的相乘，然后再尋找和等于一次項(xiàng)系數(shù)10的一組．由于這個(gè)“十字圖”的緣故才把這種因式分解的方法叫做十字相乘法．

例如，用十字相乘法分解x^² 7x-18因式時(shí)，通過畫“十字圖”可以較快地找到我們想找的兩個(gè)數(shù)．

由于常數(shù)項(xiàng)是負(fù)數(shù)，所以分解為乘積的兩個(gè)整數(shù)是一正、一負(fù)，驗(yàn)證一次項(xiàng)系數(shù)時(shí)要注意符號(hào)．經(jīng)過幾次嘗試與驗(yàn)證，我們尋找的兩個(gè)數(shù)是9和-2.

所以x^² 7x-18=(x 9)(x-2)．

再如，因式分解：x^²-18x 56．

見到常數(shù)項(xiàng)56，我們馬上想到的是“七八五十六”，由于一次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)，于是自然會(huì)想到乘積等于56的兩數(shù)是-7和-8,．但是，-7與-8的和是-15，不等于一次項(xiàng)系數(shù)-18，告這一方案失敗．

再對(duì)乘積等于56的兩個(gè)數(shù)繼續(xù)嘗試，一定會(huì)找到-4和-14，滿足乘積等于56，和等于-18，

所以x^²-18x 56=(x-4)(x-14).

顯然，運(yùn)用十字相乘法進(jìn)行多項(xiàng)式x^² px q因式分解的關(guān)鍵是找到兩個(gè)數(shù)a與b，使得a b=p，ab=q．而能否快速找到這兩個(gè)數(shù)，雖然是“三分靠運(yùn)氣”，但大多還是靠實(shí)力，經(jīng)過不斷嘗試總能成功的．

運(yùn)用十字相乘法因式分解時(shí)需要注意以下幾點(diǎn)：

（1）上述方法針對(duì)的是二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式，如果二次項(xiàng)系數(shù)不是1，其分解思路也是一樣的．

比如，因式分解：3x^²-7x-6．

把3x^²分解為x與3x的積，-6分解為1與-6，-1與6，2與-3，-2與3，然后驗(yàn)證交叉乘積的和是否等于一次項(xiàng)-7x?

易知，在這些方案中，只有x·2 3x·(-3)=-7x，

然后把同行的x與-3相加，得(x-3)，3x與2相加，得(3x 2)，再把(x-3)與(3x 2)相乘即可．即：

3x^²-7x-6=(x-3)(3x 2)．

（2）二次項(xiàng)帶負(fù)號(hào)“-”時(shí)，先提取負(fù)號(hào)“-”再分解．

例如，因式分解：-x^² 3x-2．

解：原式=-(x^²-3x 2)

=-(x-1)(x-2)．

（3）如果多項(xiàng)式有公因式仍然需要先提?。?/p>

例如，分解因式：3ax^³-39ax^²x-42ax．

解：原式=3ax(x^²-13x-14)

=3ax(x-14)(x 1).

（4）別忘了完全平方公式．

對(duì)于二次三項(xiàng)式的分解因式，不要因?yàn)橛辛耸窒喑朔ǘ送耆椒焦剑?/p>

例如，分解因式：x^²-6x 9．

解析：該多項(xiàng)式滿足完全平方公式條件，可用公式法直接得到：

原式=(x-3)^²．

如果用十字相乘法，則容易寫成(x-3)(x-3)，此時(shí)應(yīng)再化為(x-3)^²，否則就不夠完美了．

（5）要有整體思想的意識(shí)．

例如，因式分解：(a-b)^² 5(a-b)-50.

解析：把(a-b)作為整體，則易得：

原式=(a-b 10)(a-b-5)．

（6）雙字母的二次三項(xiàng)式仍可運(yùn)用十字相乘法．

例如，分解因式：x^²-3xy-4y^²．

解析：視y為1，分解x^²-3x-4=(x-4)(x 1)，然后將因式中的-4，1作為原式分解因式中y的系數(shù)，得：

原式=(x-4y)(x y).

（7）分解后因式要計(jì)算、化簡(jiǎn)與整理，之后能繼續(xù)分解的要繼續(xù)分解．

例如，分解因式：(2x 3)^²-12(2x 3) 35.

解析：把2x 3作為整體，用十字相乘法分解后會(huì)出現(xiàn)2x 3與35分解出來的數(shù)相加減，此時(shí)需要計(jì)算化簡(jiǎn)，整理后還要看看能否繼續(xù)分解？

原式=[(2x 3)-5][(2x 3)-7]

=(2x-2)(2x-4)

=4(x-1)(x-2).

（8）運(yùn)用十字相乘法分解后仍然需要再考慮每個(gè)因式是否能繼續(xù)分解？

例如，分解因式：x^⁴ 5x^²-6.

解析：把x^²作為整體，原式可視為關(guān)于x^²的二次三項(xiàng)式，運(yùn)用十字相乘法分解后，每個(gè)因式都是二次式，應(yīng)再考慮能否繼續(xù)分解？

原式=(x^²)^² 5x^²-6

=(x^²-1)(x^² 6)

=(x 1)(x-1)(x^² 6)．

（9）有時(shí)需要先計(jì)算再分解．

例如，分解因式：(x-1)^²-3(x 1)-4.

解析：如果不先計(jì)算、化簡(jiǎn)，顯然是無法分解的．因此，只能是先計(jì)算，再看看能用什么方法分解？

原式= x^²-2x 1-3x-3-4

= x^²-5x-6

=(x-6)(x 1)．

練習(xí)：把下列多項(xiàng)式因式分解：

（1）x^²-12x 32．

（2）4m³ 12mn 8mn^².

（3）x^⁴ 2x^²-3．

（4）(x-1) ^² 4(1-x) 3.

（5）a^⁴-5a^² 4.

（6）(a 1)^²-4(a-1)-8.

（未完待續(xù)）