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近幾年中考，和我們同學(xué)做的中考模擬試卷中，不斷的出現(xiàn)了因動(dòng)點(diǎn)計(jì)算路徑長問題，這種題型因?yàn)殡[藏的比較深，從而難以發(fā)現(xiàn)，計(jì)算比較繁瑣。在填空題選擇題中比較多。只要同學(xué)們在做題的過程中發(fā)現(xiàn)是這種題型，那么點(diǎn)所經(jīng)過的路徑一般就是就是兩種結(jié)果。一是線段。二是圓弧。為什么呢？因?yàn)橹挥羞@兩圖形是可以計(jì)算路徑長的。其它圖形我們目前能計(jì)算路徑長嗎。哈哈，這樣解釋印象有沒有很深。

下面我們來看看我們會(huì)碰到的幾種題型。

題型1：簡單的圖形翻轉(zhuǎn)問題。

解法：這種題型比較簡單。只要找出旋轉(zhuǎn)圓心，旋轉(zhuǎn)時(shí)圓的半徑，還有圓心角就可以了，然后利用扇形的弧長計(jì)算公式來計(jì)算。注意，如果是圓弧旋轉(zhuǎn)的話，圓心的路徑是直線。

例題1：一塊等邊三角形的木板，邊長為1，現(xiàn)將木板沿水平線翻滾（如圖），那么B點(diǎn)從開始至結(jié)束所走過的路徑長度為___________

試題分析：現(xiàn)將木板沿水平線翻滾， B 點(diǎn)從開始至結(jié)束走過了4條弧，每條弧是一等邊三角形的邊為半徑的扇形，圓心角為等邊三角形的內(nèi)角，所以 B 點(diǎn)從開始至結(jié)束所走過的路程長度=4l=

點(diǎn)評：本題考查扇形的弧長公式，關(guān)鍵是找出扇形的圓心角和半徑，考查學(xué)生的空間想象能力

例題2：矩形ABCD的邊AB=8，AD=6，現(xiàn)將矩形ABCD放在直線l上且沿著l向右作無滑動(dòng)地翻滾，當(dāng)它翻滾至類似開始的位置A₁B₁C₁D₁時(shí)（如圖所示），則頂點(diǎn)A所經(jīng)過的路線長是

例題3：將半徑為1、圓心角為60°的扇形紙片AOB，在直線l上向右作無滑動(dòng)的滾動(dòng)至扇形A’O’B’處，則頂點(diǎn)O經(jīng)過的路線長為 。

例題4：如圖，一個(gè)圓心角為270°，半徑為2m的扇形工件，未搬動(dòng)前如圖所示，A，B兩點(diǎn)觸地放置，搬動(dòng)時(shí)，先將扇形以B為圓心，作如圖所示的無滑動(dòng)翻轉(zhuǎn)，再使它緊貼地面滾動(dòng)，當(dāng)A，B兩點(diǎn)再次觸地時(shí)停止，則圓心O所經(jīng)過的路線長是 m．（結(jié)果保留π）

例題5：已知一個(gè)半圓形工件，未搬動(dòng)前如圖所示，直徑平行于地面放置，搬動(dòng)時(shí)為了保護(hù)圓弧部分不受損傷，先將半圓作如圖所示的無滑動(dòng)翻轉(zhuǎn)，使它的直徑緊貼地面，再將它沿地面平移50m，半圓的直徑為4m，則圓心O所經(jīng)過的路線長是 m。（結(jié)果用π表示)

題型2：線段型

解法：也就是路徑長是線段，我們會(huì)碰到兩種情況，一種是動(dòng)點(diǎn)始終到某直線的距離是個(gè)定值。還有一種則需要通過建立直角坐標(biāo)系來解決，或者動(dòng)點(diǎn)與起始時(shí)連線始終和某個(gè)直線的夾角是個(gè)定值。第二種難度明顯會(huì)比第一種要大。

第一種例題

例題6：如圖，已知AB=10，P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，分別以AP、PB為邊在線段AB的同側(cè)作等邊△ACP和△PDB，連接CD，設(shè)CD的中點(diǎn)為G，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，則點(diǎn)G移動(dòng)路徑的長是　_________　．

例題7：等邊三角形ABC中，BC=6，D、E是邊BC上兩點(diǎn)，且BD=CE=1，點(diǎn)P是線段DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作AC、AB的平行線交AB、AC于點(diǎn)M、N，連接MN、AP交于點(diǎn)G，則點(diǎn)P由點(diǎn)D移動(dòng)到點(diǎn)E的過程中，線段BG掃過的區(qū)域面積為 ．

第二種例題

例題8：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=30，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿邊BC向點(diǎn)C以每秒2個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿邊CA向點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，連接PQ，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)B、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t≥0）．

（1）當(dāng)t= 秒時(shí)，點(diǎn)P、C、Q所構(gòu)成的三角形與Rt△ABC相似．

（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，線段PQ的中點(diǎn)所經(jīng)過的路程長為 ．

例題9：如圖，已知點(diǎn)A是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為2√3的一個(gè)定點(diǎn)，AC⊥x軸于點(diǎn)M，交直線y=-x于點(diǎn)N．若點(diǎn)P是線段ON上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠APB=30°，BA⊥PA，則點(diǎn)P在線段ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A點(diǎn)不變，B點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng)．求當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí)，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長是______

例題10：如圖，邊長為4的等邊△AOB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)B在第一象限．一動(dòng)點(diǎn)P沿x軸以每秒1個(gè)單位長度的速度由點(diǎn)O向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒．在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，線段BP的中點(diǎn)為點(diǎn)E，將線段PE繞點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得PC．

（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段OA的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為　_________　；

（2）在點(diǎn)P從點(diǎn)O到點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過程中，用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（3）在點(diǎn)P從點(diǎn)O到點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過程中，求出點(diǎn)C所經(jīng)過的路徑長．

例題11：如圖，正方形ABCD的邊長是2，M是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，連接EM并延長交射線CD于點(diǎn)F，過M作EF的垂線交射線BC于點(diǎn)G，連接EG、FG．

（1）設(shè)AE=x時(shí)，△EGF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（2）P是MG的中點(diǎn)，請直接寫出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路線的長．

題型3：圓弧運(yùn)動(dòng)

解法：要解決圓弧運(yùn)動(dòng)的題型，我們就要知道動(dòng)點(diǎn)始終到某點(diǎn)的距離是個(gè)定值，那么這個(gè)點(diǎn)就在圓弧上運(yùn)動(dòng)，第一種比較容易看出，就是在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，直角頂點(diǎn)是固定的，斜邊的長度是固定的。第二種就是，動(dòng)點(diǎn)和某兩個(gè)定點(diǎn)所組成的夾角是固定的，可以看做是等弧所對的圓周角是相等的。這也是比較難以發(fā)現(xiàn)的。

第一種例題

例題12：如圖，一根長為2米的木棒AB斜靠在墻角處，此時(shí)BC為1米，當(dāng)A點(diǎn)下滑至A'處并且A'C=1米時(shí)，木棒AB的中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長為　_________　米．

例題13：如圖，在Rt△ABC紙片中，∠C=90°，AC=BC=4，點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)，將紙片沿PB折疊，得到點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)D（P在C點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)是本身），則折疊過程對應(yīng)點(diǎn)D的路徑長是　_________　．

例題14：如圖，半徑為4的⊙O中，CD為直徑，弦AB⊥CD且過半徑OD的中點(diǎn)，點(diǎn)E為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，CF⊥AE于點(diǎn)F．當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑長為____

例題15：如圖，直線y=﹣x+4與兩坐標(biāo)軸交A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為線段OA上的動(dòng)點(diǎn)，連接BP，過點(diǎn)A作AM垂直于直線BP，垂足為M，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，則點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)路徑的長為　_________　．

第二種例題

例題16：如圖，半徑為2cm，圓心角為90°的扇形OAB的

上有一運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)P．從點(diǎn)P向半徑OA引垂線PH交OA于點(diǎn)H．設(shè)△OPH的內(nèi)心為I，當(dāng)點(diǎn)P在

上從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，內(nèi)心I所經(jīng)過的路徑長為　_________　．

題型4：因動(dòng)點(diǎn)求線段最小值

解法：其實(shí)這種題型基本上和動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的路徑長成圓弧問題一樣。不信請看！

例題17：圖，△ABC，△EFG均是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC、EF的中點(diǎn)，直線AG、FC相交于點(diǎn)M．當(dāng)△EFG繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)，線段BM長的最小值是

例題18：如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE=DF．連接CF交BD于點(diǎn)G，連接BE交AG于點(diǎn)H．若正方形的邊長為2，則線段DH長度的最小值是________

例題19：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B都是x軸上的點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,0）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5,0），在y軸上是否存在點(diǎn)C，使得∠ACB=30°，若存在，請求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由。