如孩子遇到問題可以在評論區(qū)留言交流

考情分析

三角形內(nèi)外角平分線的的概念是處理與角相關(guān)問題的基本依據(jù)和方法，在中考題中經(jīng)常利用角平分線的性質(zhì)去證明角或者線段的相等，三角形的全等。最近幾年題型出現(xiàn)創(chuàng)新性變化，比如利用角平分線的對稱性把圖形翻折，再進行推理計算。形式變了，解題思想的精髓還在。

角平分線四大基本題型分析

已知P是∠MON平分線上的一點，

1.若PA⊥OM于點A，如下圖所示，可以過點P作PB⊥ON于點B，則PB=PA。

圖中有角平分線，可以向兩邊作垂線。

2.若點B是射線ON上任意一點，如下圖所示，可以在OM上截取OA=OB，連接PA，構(gòu)造△OPA≌△OPB。

圖中有角平分線，以角平分線為對稱軸，構(gòu)造全等三角形。

3.若AP⊥OP于點P，如圖c所示，可以延長AP交ON于點B，構(gòu)造△AOB是等腰三角形。P是底邊AB的中點。

有角平分線有垂線，可試找三線合一。

4.過點P作PQ∥ON交OM于點Q，如下圖所示，可以構(gòu)造△POQ是等腰三角形。

有角平分線和平行線，構(gòu)造等腰三角形得出更多的邊角關(guān)系。

如圖1，RT△ABC中，∠ABC=90°，CD⊥AB，垂足為D，AF平分∠CAB，交CD于點E，交CD于點F。

（1）求證：CE=CF。

（2）將圖1中的△ADE沿AB向右平移到△A'D'E'的位置，使點E'落在BC邊上，其它條件不變，如圖2所示，試猜BE'與CF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論。

點撥

第1問主要考察一個模型“雙垂直+角平分線”，可得等腰三角形。

第2問遇到角平分線通?？紤]過角平分線上一點向角的兩邊作垂線，所以過點E作AC的垂線，構(gòu)造全等三角形解題。也可以過點F作AB的垂線。

（1）證明：∵AF平分∠CAB,

∴∠CAF=∠EAD,

∵∠ACB=90°,

∴∠CAF+∠CFA=90°,

∵CD⊥AB于D,

∴∠EAD+AED=90°,

∴∠CFA=∠AED,

∵∠AED=∠CEF,

∴∠CFA=∠CEF,

∴CE=CF；

（2）BE′=CF．

證明：如圖,過點E作EG⊥AC于G,

∵AF平分∠CAB,ED⊥AB,

∴ED=EG．

由平移的性質(zhì)可知：D′E′=DE,

∴D′E′=GE,

∵∠ACB=90°,

∴∠ACD+∠DCB=90°

∵CD⊥AB于D,

∴∠B+∠DCB=90°,

∴∠ACD=∠B,

在Rt△CEG與Rt△BE′D′中,,

∴△CEG≌△BE′D′,

∴CE=BE′,

由（1）可知CE=CF,

∴BE′=CF．

對于涉及角平分線的問題，解題時常需作適當?shù)妮o助線，構(gòu)成等腰三角形，然后運用有關(guān)性質(zhì)來解決。還有就是利用角平分線為角的對稱軸這一對稱性來求解的，實質(zhì)上就是對稱問題了。

思考

已知，點P是∠MON的平分線上的一動點，射線PA交射線OM于點A，將射線PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)交射線ON于點B，且使∠APB+∠MON=180°。

（1）利用圖1，求證：PA=PB；

（2）如圖2，若點C是AB與OP的交點，當S△POB=3S△PCB時，求PB與PC的比值；

（3）若∠MON=60°，OB=2，射線AP交ON于點D，且滿足且∠PBD=∠ABO，請借助圖3補全圖形，并求OP的長。