一個(gè)套路，幾乎解決所有高考解析幾何問題！

在教學(xué)中，一直有一個(gè)難以解決的悖論：“題海戰(zhàn)術(shù)”廣遭詬病，但似乎要取得好成績(jī)，除了“題海戰(zhàn)術(shù)”又別無(wú)良策。這是因?yàn)?，我們每次考試面?duì)的題目都不可能一樣，大家心照不宣的想法是——通過平時(shí)的“題海戰(zhàn)術(shù)”，也許可以窮盡問題的各種可能。

顯然如果我們要窮盡問題的各種可能，是不現(xiàn)實(shí)的。為了讓學(xué)生能真正從題海戰(zhàn)術(shù)中走出來(lái)，事實(shí)上，我們可以將以往大量的、零碎的、彼此之間也看似沒有多少聯(lián)系性的某些數(shù)學(xué)問題，卻能通過高度一致的方法獲得解決，本文以解析幾何為例的一套與高考解析幾何演繹體系相對(duì)應(yīng)的“萬(wàn)能解題套路”，幾乎把近幾年高考解析幾何問題基本上統(tǒng)一了起來(lái)！希望對(duì)同學(xué)們有所啟發(fā)。

一、解析幾何萬(wàn)能解題套路

解析幾何是法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒（1596 年～1650 年）創(chuàng)立的。笛卡兒在總結(jié)前人經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，創(chuàng)造性地提出了一個(gè)劃時(shí)代的設(shè)想——把代數(shù)的演繹方法引入幾何學(xué)，用代數(shù)方法來(lái)解決幾何問題。正是在這一設(shè)想的指引下，笛卡兒創(chuàng)建了解析幾何的演繹體系。

以高考解析幾何為例：

1、很多高考問題都是以平面上的點(diǎn)、直線、曲線（如圓、橢圓、拋物線、雙曲線）這三大類幾何元素為基礎(chǔ)構(gòu)成的圖形的問題；

2、演繹規(guī)則就是代數(shù)的演繹規(guī)則，或者說(shuō)就是列方程、解方程的規(guī)則。

有了以上兩點(diǎn)認(rèn)識(shí)，我們可以毫不猶豫地下這么一個(gè)結(jié)論，那就是解決高考解析幾何問題無(wú)外乎做兩項(xiàng)工作：

1、幾何問題代數(shù)化。

2、用代數(shù)規(guī)則對(duì)代數(shù)化后的問題進(jìn)行處理。

至此，整理了近幾年來(lái)貴州省高考解析幾何試題后總結(jié)出一套統(tǒng)一的解題套路：

二、高考解析幾何解題套路及各步驟操作規(guī)則

步驟一：（一化）把題目中的點(diǎn)、直線、曲線這三大類基礎(chǔ)幾何元素用代數(shù)形式表示出來(lái)；

口訣：見點(diǎn)化點(diǎn)、見直線化直線、見曲線化曲線。

1、見點(diǎn)化點(diǎn)：“點(diǎn)”用平面坐標(biāo)系上的坐標(biāo)表示，只要是題目中提到的點(diǎn)都要加以坐標(biāo)化；

2、見直線化直線：“直線”用二元一次方程表示，只要是題目中提到的直線都要加以方程化；

3、見曲線化曲線：“曲線（圓、橢圓、拋物線、雙曲線）”用二元二次方程表示，只要是題目中提到的曲線都要加以方程化；

步驟二：（二代）把題目中的點(diǎn)與直線、曲線從屬關(guān)系用代數(shù)形式表示出來(lái)；如果某個(gè)點(diǎn)在某條直線或曲線上，那么這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)就可代入這條直線或曲線的方程。

口訣：點(diǎn)代入直線、點(diǎn)代入曲線。

1、點(diǎn)代入直線：如果某個(gè)點(diǎn)在某條直線上，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入這條直線的方程；

2、點(diǎn)代入曲線：如果某個(gè)點(diǎn)在某條曲線上，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入這條曲線的方程；

這樣，每代入一次就會(huì)得到一個(gè)新的方程，方程逐一列出后，這些方程都是獲得最后答案的基礎(chǔ)，最后就是解方程組的問題了。

在方程組的求解中，我們發(fā)現(xiàn)一個(gè)特殊情況，即如果題目中有兩個(gè)點(diǎn)在同一條曲線上，將它們的坐標(biāo)代入曲線方程后能夠直接求解的可以直接求解，如果不能直接求解的，則采用下面這套等效規(guī)則來(lái)處理可以達(dá)到同樣的處理效果，并讓方程組的求解更簡(jiǎn)單，具體過程：

步驟三：（三化）圖形構(gòu)成特點(diǎn)的代數(shù)化，或者說(shuō)其它附加條件的代數(shù)化。

前面兩個(gè)步驟都是高度模式化的，他們構(gòu)成了解決所有問題的基礎(chǔ)。在解析幾何題目里，事實(shí)上就是附加了一些特殊條件的問題，如我們可以附加兩條直線垂直的條件，也可以附加一條直線與一條曲線相切的條件，等等，當(dāng)然，我們不用太擔(dān)心，這些條件都是與我們教材上的基本數(shù)學(xué)概念相對(duì)應(yīng)的，它們分別與一個(gè)或一組固定模式的方程相對(duì)應(yīng)，而且，通過少數(shù)幾條通用規(guī)則就可以把所有這些方程羅列出來(lái)。而我們要做的，就是針對(duì)這些特定條件選擇合適的通用規(guī)則來(lái)列方程。這個(gè)步驟涉及的主要通用規(guī)則：

1、兩點(diǎn)的距離

2、兩個(gè)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)

3、條直線垂直

4、兩條直線平行

5、兩條直線的夾角

6、點(diǎn)到直線的距離

7、正余鉉定理及面積公式

8、向量規(guī)則

9、直線與曲線的位置關(guān)系

步驟四：（四處理）按答案的要求解方程組，把結(jié)果轉(zhuǎn)化成答案要求的形式。

一般情況步驟1、2、3 完成后，會(huì)得到一組方程，而答案就是這組方程組的解。這個(gè)步驟就是方程組的求解了，解方程組實(shí)際上就是用加減乘除四則混合運(yùn)算以及乘方、開方等來(lái)消除方程的參數(shù)。不過，這里我們也給出三條消參的原則：

【點(diǎn)評(píng)】本題涉及到平面向量，有一定的綜合性和計(jì)算量，相對(duì)來(lái)講比較有利的方面，也就是這道題的特點(diǎn)是沒有任何的未知參數(shù)，我們看這道題橢圓完全給出，直線過了橢圓焦點(diǎn)，并且斜率也給出，平時(shí)做題斜率不給出，需要通過一定條件求出來(lái)，或者根本求不出來(lái)，這道題都給了，這個(gè)跟平時(shí)做的不太一樣，反而同學(xué)不知道怎么下手，完成有難度。這兩問出的非常巧妙，一個(gè)證明點(diǎn)在橢圓上的問題，還有一個(gè)四點(diǎn)共圓，這都是平時(shí)很少涉及到的解析幾何本質(zhì)的內(nèi)容。讓學(xué)生掌握解析幾何的本質(zhì)，其實(shí)就是用代數(shù)方法研究幾何的問題，什么是四點(diǎn)共圓？首先在同一個(gè)圓上，首先找到圓心，四個(gè)點(diǎn)找圓心不好找，最簡(jiǎn)單的兩個(gè)點(diǎn)怎么找？這是平時(shí)的知識(shí)，怎么找距離相等的點(diǎn)，一定在中垂線，兩個(gè)中垂線交點(diǎn)必然是圓心，找到圓心再距離四個(gè)點(diǎn)距離相等，這就是簡(jiǎn)單的計(jì)算問題，方法確定以后計(jì)算量其實(shí)比往年少。

至此，我們已經(jīng)把解析幾何解題的完整套路呈現(xiàn)給了大家。最后給大家提供一點(diǎn)高效學(xué)習(xí)的建議：

同樣的題目要反復(fù)多做幾遍。因?yàn)橥粋€(gè)知識(shí)點(diǎn)里面的題目，其解題套路都是一致的，我們做題的主要目的是熟悉這些套路，而一個(gè)題目做五遍往往比五個(gè)題目做一遍更利于我們快速掌握這些解題套路。