什么是參數(shù)方程

　　一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點的坐標(biāo)x、y都是某個變數(shù)t的函數(shù)：

　　并且對于t的每一個允許的取值，由方程組確定的點(x, y)都在這條曲線上，那么這個方程就叫做曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x、y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)。相對而言，直接給出點坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫普通方程。

　　例如在運動學(xué)，參數(shù)通常是“時間”，而方程的結(jié)果是速度、位置等。用參數(shù)方程描述運動規(guī)律時，常常比用普通方程更為直接簡便。對于解決求最大射程、最大高度、飛行時間或軌跡等一系列問題都比較理想。有些重要但較復(fù)雜的曲線（例如擺線），建立它們的普通方程比較困難，甚至不可能，有了參數(shù)方程，就可以很容易表達。

直線

空間中的直線

　　空間中兩個平面的交集是一條直線，如果拋開平面，直線可以看作是點勻速直線運動的軌跡。

　　通過兩點確定一條直線，此外，已知一點和與直線平行的向量也能確定一條直線。

直線的參數(shù)方程

　　一個點在空間中勻速直線運動，它在t = 0和t = 1時刻經(jīng)過Q₀ = (-1, 2, 2)和Q₁ = (1, 3, -1)兩點，Q(t)是該點關(guān)于時間t的函數(shù)：

　　如上圖所示，點在t = 0時刻的位置Q₀ = Q(0) = (-1, 2, 2)，t = 1時刻的位置Q₁ = Q(1) = (1, 3, -1)，那么在任意t時刻，Q的位置Q(t)是哪里？

　　現(xiàn)在將問題轉(zhuǎn)換為向量：

　　由于是勻速運動，所以運動距離與時間成正比：

　　隨著時間的增長，向量也將增長。由于Q(t)是空間內(nèi)的點，所以：

　　這就是該直線的參數(shù)方程，其來源是Q₀Q(t) = tQ₀Q₁

　　如果t = 2，則在該時刻Q(2) = (3, 5, -4)

直線與平面的關(guān)系

　　上面的兩個點Q₀ = (-1, 2, 2)和Q₁ = (1, 3, -1)對于平面x + 2y + 4z = 7來說，位置關(guān)系是什么？在平面的兩側(cè)還是一側(cè)？是否在平面上？

　　將Q₀和Q₁代入平面方程：

　　由此可見Q₀和Q₁不在平面上，它們分屬于平面兩側(cè)，向量Q₀Q₁將穿過平面，與平面有唯一的交點，這個交點又是什么？

　　上節(jié)已經(jīng)求得了直線的參數(shù)方程Q(t) = (2t-1, t+2, -3t+2)，直線與平面的交點將滿足：

　　將直線參數(shù)方程代入平面方程也可能出現(xiàn)有無數(shù)解或無解的情況，此時直線與平面沒有唯一交點，直線可能在平面上或與平面平行。

　　總結(jié)一下，把直線方程Q(t) = (x(t), y(t), z(t))代入平面方程ax + by + c = d，如果能計算出t的唯一值，直線穿過平面；如果得到一個等于d的常數(shù)，則直線在平面上；如果得到一個不等于d的常數(shù)，則直線與平面平行。

曲線

　　對于平面或空間內(nèi)的任意運動，同樣可以用參數(shù)方程表示。

擺線的參數(shù)方程

　　擺線是一種有名的曲線，它描述了當(dāng)車輛勻速直線運動時，車輪上點的運動軌跡。如下圖所示，P是半徑為a的車輪邊緣上的一點，剛開始時在原點，當(dāng)車輪向右滾動后，P點將隨之轉(zhuǎn)動：

　　我們關(guān)注的問題是車輪滾動后P的軌跡，也就是t時刻P點的位置。如果P點是位置關(guān)于時間的函數(shù)，用參數(shù)方程可以表示為Q(t) = (x(t), y(t))。這意味著從時間的角度來表示位置，然而時間并非最好的參變量，因為P的軌跡是與時間無關(guān)的，即使車速變快，P的運動軌跡也不會改變。我們注意到，當(dāng)車輪勻速運動時，P的角度和時間成正比： 

　　∠θ和運動時間成正比，如果θ超過2π，則相當(dāng)于開始了一個新的周期，對于角度的運算，3π和π是相同的。由此，可以將時間替換為角度，也就是使用車輪轉(zhuǎn)動角度做參變量將得到更簡單的答案：

　　將車輪轉(zhuǎn)換為上圖所示的向量(向量可參考《線性代數(shù)筆記2——向量（向量簡介）》)，則向量OP的參數(shù)方程就可以表示P點的運動軌跡。

　　由于車輪是沿著地面轉(zhuǎn)動，且最初P的位置與O相同，所以在第一圈時，OA = PA的弧長（我承認(rèn)在畫圖時比較隨意，看起來它們并不相等）：

　　實際上，無論第幾圈，上式都成立。由于已經(jīng)知道了OA和AB的長度，可以得出相應(yīng)的向量：

　　現(xiàn)在只需要求出向量BP即可。這里并不需要知道點B和點P的坐標(biāo)，由于向量只描述了大小和方向，所以向量和具體位置無關(guān)，因此可以通過將向量BP平移求得BP：

　　最終：

擺線的斜率

　　在車輪滾動一圈后，點P回到x軸，開始進入下一個周期，兩個周期相交于一點。有一個值得關(guān)注的問題是，如果在該點處作軌跡曲線的切線，切線的斜率是什么？如下圖所示，就是計算P₅處軌跡曲線的切線：

　　為了簡化問題，將當(dāng)車輪看作單位圓，此時a = 1，

　　在P₅處，θ=2π，斜率：

　　此時沒有意義，但可以計算極限：

　　因此，在P₅處，斜率趨近于∞，也就是有一條垂直于x軸的切線。

　　也可以使用泰勒展開式計算斜率（泰勒級數(shù)可參考《數(shù)學(xué)筆記31——冪級數(shù)和泰勒級數(shù)》)：

示例

示例1

　　兩條直線L₁和L₂是否相交，如果相交，其交點是什么？

　　可以用以往的知識將參數(shù)方程轉(zhuǎn)換為普通方程：

　　方程組有唯一解，x = 1, y = 2，兩條直線相交于(1, 2)

　　也可以直接用參數(shù)方程求解。如果兩條直線相交，參數(shù)方程組有唯一解：

　　將解代入?yún)?shù)方程：

　　兩條直線相交于(1, 2)

示例2

　　直線L經(jīng)過P(0, -1, 1)和Q(2, 3, 3)兩點，直線與平面2x + y – z = 1的關(guān)系？

　　設(shè)直線方程是L(x(t), y(t), z(t))，則：

　　將L的參數(shù)方程代入平面方程：

　　t有唯一解，指向與平面相交。將t代入直線的參數(shù)方程，交點是(1, 1, 2)