在數(shù)學(xué)中，沒有研究人員是在真正孤立的環(huán)境中工作研究。即使是那些獨自研究的人，也會利用同事和前輩的理論和方法來發(fā)展新思想。但是，當(dāng)一種已知的技術(shù)在實踐中太難使用時，數(shù)學(xué)家可能會忽略一些重要的（或者可以解決的）問題。最近，我和幾位數(shù)學(xué)家一起參與了一個項目，使這種技術(shù)更容易使用。我們制作了一個計算機(jī)程序包來解決一個叫做“s -單位方程”的問題，希望所有種類的數(shù)論家都能更容易地解決數(shù)學(xué)中各種各樣尚未解決的問題（下圖1所示為中國超級計算機(jī)天河二號）。

丟番圖方程

在他著作的《算術(shù)》中，數(shù)學(xué)家Diophantus研究了代數(shù)方程，這些方程的解必須是整數(shù)。碰巧，這些問題與數(shù)論和幾何都有很大關(guān)系，數(shù)學(xué)家們從那時起就一直在研究它們。為什么只添加整數(shù)解的限制？有時，原因是實際的，養(yǎng)13.7只羊或買-1.66輛車是沒有意義的。此外，數(shù)學(xué)家被這些問題吸引，現(xiàn)在稱為丟番圖方程。這種吸引力來自于他們驚人的困難，以及他們揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)基本真理的能力。事實上，數(shù)學(xué)家往往對丟番圖問題的具體解不感興趣。但是當(dāng)數(shù)學(xué)家們開發(fā)新技術(shù)時，他們的力量可以通過解決以前未解的丟番圖方程來證明。安德魯·懷爾斯對費馬最后定理的證明就是一個著名例子。

在《算術(shù)》中，數(shù)學(xué)家Diophantus研究了代數(shù)方程，這些方程的解必須是整數(shù)，圖示是《算術(shù)》的一小段。圖片：Diophantus

皮埃爾·德·費馬聲稱在1637年的一份“速算比賽”，已經(jīng)解決了丟番圖方程x?+ y?= z?，但沒有理由。當(dāng)懷爾斯在300多年后證明這一點時，數(shù)學(xué)家們立刻注意到了。如果懷爾斯提出了一個可以解決費馬問題的新想法，那么這個想法還能做什么呢？數(shù)論家們爭先恐后地去理解懷爾斯的方法，對其進(jìn)行概括，并發(fā)現(xiàn)新的結(jié)果。沒有一種方法可以解出所有丟番圖方程。相反，數(shù)學(xué)家們開發(fā)了各種各樣的技術(shù)，每一種都適用于特定類型的丟番圖問題，而不是其他問題。因此，數(shù)學(xué)家根據(jù)這些問題的特征或復(fù)雜性來分類，就像生物學(xué)家根據(jù)分類法來分類物種一樣。

更細(xì)分類

這種分類產(chǎn)生了專家，因為不同的數(shù)論家專門研究與丟番圖問題不同系列有關(guān)的技術(shù)，如橢圓曲線、二元形式或圖埃-馬勒方程。在每個大分類中，都可以定制更精細(xì)的分類。數(shù)學(xué)家發(fā)展出不變量（方程中出現(xiàn)的系數(shù)的某些組合）來區(qū)分同一族中的不同方程。計算一個特定方程的這些不變量很容易。然而，與數(shù)學(xué)其他領(lǐng)域更深層次的聯(lián)系涉及到更有挑戰(zhàn)性的問題，例如：是否存在具有不變量13的橢圓曲線？或“有多少二進(jìn)制形式具有不變量27？s單位方程可以用來解決許多更大的問題。S表示與特定問題相關(guān)的素數(shù)列表，如{2,3,7}。s單位是一個分?jǐn)?shù)，它的分子和分母只由列表中的數(shù)字相乘而成。

安德魯·懷爾斯(右)因其對費馬最后定理的解答而獲得沃爾夫斯基爾獎。圖片：Peter Mueller/REUTERS

在這種情況下，3/7和14/9是s單位，但6/5不是。s -單位方程的表述看似簡單：找出所有加1的s -單位對。找一些解，比如(3/ 7,4 /7)，可以用筆和紙來做。但關(guān)鍵字是“全部”，這使得問題在理論上和計算上都很困難，怎么能確定所有的解決方案都找到了呢？理論上，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)知道如何解s -單位方程好幾年了。然而，這個過程是如此錯綜復(fù)雜，以至于沒有人能真正用手解出這個方程，而且很少有案例得到了解決。這令人沮喪，因為許多有趣的問題已經(jīng)被簡化為“僅僅”求解某個特定的s單位方程。

計算機(jī)-解算器工作

然而，情況正在發(fā)生變化。自2017年以來，包括我在內(nèi)的六名北美數(shù)論專家一直在為開源數(shù)學(xué)軟件SageMath構(gòu)建一個S-unit方程求解器。2019年3月3日，我們宣布項目完成。為了說明它的應(yīng)用，使用該軟件解決了一些開放丟番圖問題。s -單位方程的主要困難在于，雖然只有少數(shù)解存在，但有無窮多個s -單位可能是一個解的一部分。通過結(jié)合著名的Alan Baker定理和Benne de Weger精細(xì)算法技術(shù)，該求解器從考慮中消除了大多數(shù)s單位。即使在這一點上，可能還有數(shù)十億個s -單位（或者更多）需要檢查。

求解s -單位方程的過程非常復(fù)雜，幾乎沒有人嘗試過手工求解。

程序現(xiàn)在試圖使最后的搜索盡可能有效，這種計算s -單位方程的方法已有20多年的歷史，但由于計算過程復(fù)雜且耗時，使用的很少。以前，如果一個數(shù)學(xué)家遇到一個她想解的s單位方程，沒有自動解的方法。她必須小心地完成貝克、德韋格等人的工作，然后編寫自己的計算機(jī)程序來進(jìn)行計算。運(yùn)行該程序可能需要數(shù)小時、數(shù)天甚至數(shù)周才能完成計算。最后我們希望這個軟件能幫助數(shù)學(xué)家們解決數(shù)論中的重要問題，增進(jìn)他們對數(shù)學(xué)的本質(zhì)、美和有效性的理解。