人們開(kāi)始嘗試通過(guò)其他的途徑，尋求對(duì)平行公設(shè)進(jìn)行更加合理的解釋。最簡(jiǎn)潔的方法就是取消這個(gè)公設(shè)：如果能夠借助其他五公公理和四個(gè)公設(shè)證明平行公設(shè)，那么，這個(gè)公設(shè)就沒(méi)有單獨(dú)設(shè)立的必要了。意大利數(shù)學(xué)家薩謝利（1667-1733）獨(dú)具匠心，希望借助反證法來(lái)證明平行公設(shè)。他的證明思路是這樣的，先用與平行公設(shè)有本質(zhì)不同的命題來(lái)代替這個(gè)公設(shè)，也就是分別考慮兩種情況：一種情況是過(guò)直線外一點(diǎn)不存在平行線，另一種情況是過(guò)直線外一點(diǎn)存在兩條以上平行線。在這個(gè)基礎(chǔ)上進(jìn)行邏輯推理，如果得到了荒謬的結(jié)論就等價(jià)地證明了平行公設(shè)。薩謝利推導(dǎo)出了一些有意義的命題，比如，三角形內(nèi)角和小于兩個(gè)直角之和。他認(rèn)為其中的有些命題是荒謬的，于是他認(rèn)為完成了對(duì)平行公設(shè)的證明，并于1733年著書(shū)《歐幾里得無(wú)懈可擊》。

可是，后來(lái)數(shù)學(xué)家們經(jīng)過(guò)認(rèn)真分析發(fā)現(xiàn)，薩謝利得到的那些命題既不矛盾，也不荒謬。這個(gè)發(fā)現(xiàn)啟發(fā)數(shù)學(xué)家們思考，是否可以用其他的命題來(lái)替代第五公設(shè)呢？是否可以建立起與歐幾里得幾何不同的新的幾何呢？這個(gè)想法是非常大膽的，我們?cè)啻握劦?，從?shù)學(xué)的創(chuàng)立開(kāi)始，人們就對(duì)數(shù)學(xué)所研究對(duì)象的存在形式爭(zhēng)論不休，爭(zhēng)論在本質(zhì)上分兩派：一派是從柏拉圖開(kāi)始，認(rèn)為數(shù)學(xué)所研究的對(duì)象是先驗(yàn)的，因此數(shù)學(xué)所研究的對(duì)象是人們依賴經(jīng)驗(yàn)抽象出來(lái)的，因此數(shù)學(xué)家的工作是去創(chuàng)造數(shù)學(xué)方法并合理地描述大自然?？墒?，現(xiàn)在數(shù)學(xué)家要在完全沒(méi)有背景的前提下，違反常規(guī)地創(chuàng)造數(shù)學(xué)了。這樣創(chuàng)造出來(lái)的數(shù)學(xué)能夠找到物理世界中的現(xiàn)實(shí)意義嗎？反之，有沒(méi)有這樣的可能，幾千年來(lái)人們已經(jīng)熟視無(wú)睹，認(rèn)為是常規(guī)的那些知識(shí)恰恰不是常規(guī)呢？我們來(lái)分析下面的邏輯推理是否成立。

假定我們可知的空間范圍是有限的。在可知的空間范圍內(nèi)兩條直線是不相交的，可是我們卻無(wú)法知道這兩條直線是否永遠(yuǎn)不相交。這個(gè)設(shè)想是現(xiàn)實(shí)的，古希臘學(xué)者愛(ài)拉托色尼在計(jì)算地球的周長(zhǎng)時(shí)就曾經(jīng)假設(shè)：太陽(yáng)的光線是平行地照在大地上地。在浩瀚無(wú)垠的宇宙，太陽(yáng)只能被看做一個(gè)點(diǎn)，因此照射在地球上的太陽(yáng)光線是來(lái)源于一個(gè)點(diǎn)，雖然如此，我們?nèi)稳徽J(rèn)為在“可知的空間范圍”內(nèi)太陽(yáng)的光線是平行的，否則就無(wú)法進(jìn)行科學(xué)研究。對(duì)于這樣的基于經(jīng)驗(yàn)的，合理的想法，如何才能抽象為數(shù)學(xué)研究的對(duì)象呢？

德國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家高斯（1777-1855）在1799年就確幸平行公設(shè)不可能用其他公理和公設(shè)推理得到，他1824年給德國(guó)數(shù)學(xué)家托利努斯（1794-1874）的信中寫(xiě)道：

“假定三角形內(nèi)角和小于180度將導(dǎo)出一種奇怪的幾何，它與我們的歐幾里得幾何非常不同，但卻是完全相容的，我已經(jīng)將它發(fā)展得令自己完全滿意了。它的定理看來(lái)是矛盾的，但是，如果你從開(kāi)始的不習(xí)慣到對(duì)它心平氣和和深入思考，就會(huì)發(fā)現(xiàn)這里并沒(méi)有什么不可思議的東西”

高斯非常清楚，三角形內(nèi)角和小于180度的假設(shè)需要在很大范圍內(nèi)才能夠驗(yàn)證，于是他利用三座山進(jìn)行測(cè)量，可是得到的結(jié)果是180度15分，比180度還要大。雖然結(jié)果并不能說(shuō)明什么，但是高斯的思考是非常有價(jià)值的，我們需要把幾何學(xué)的研究從書(shū)齋利延申到自然界。可惜的是，高斯對(duì)發(fā)表研究成果非常謹(jǐn)慎，他一直遵循“寧可少一些，但要好一些”的原則，因此他的這些研究結(jié)果一直到他去世后才被整理發(fā)表，這比其他兩位非歐幾何的創(chuàng)始人，俄羅斯數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基（1793-1856）和匈牙利數(shù)學(xué)家波爾約（1802-1860）有關(guān)結(jié)果的發(fā)表要晚近三十年。

羅巴切夫斯基于1826年首次發(fā)表了他的新學(xué)說(shuō)，雖然一開(kāi)始人們并不理解，但是他堅(jiān)持不懈地進(jìn)行研究和著作，他執(zhí)著的學(xué)術(shù)精神得到后人的高度贊揚(yáng)。波爾約的父親是高斯的密友，波爾約于1823年得到關(guān)于非歐的基本原理，于1832年在他父親著作的附錄中發(fā)表了他的研究結(jié)果。后來(lái)，人們稱這種非歐幾何為羅巴切夫斯基幾何，或者羅巴切夫斯基-波爾約幾何。從數(shù)學(xué)構(gòu)造考慮，1871年德國(guó)數(shù)學(xué)家F.克萊因（1849-1925）稱這類幾何為雙曲幾何。

我們已經(jīng)說(shuō)過(guò)，這類幾何的特征是假定可認(rèn)知的世界是有限的，在這個(gè)假設(shè)條件下 關(guān)于平行線的基本邏輯可以表述如下：

如圖（1）所示

橢圓內(nèi)是我們可知的世界，對(duì)于給定直線a外一點(diǎn)A，過(guò)A作直線的垂線交直線于B，記A到垂足B的距離為d。這樣，可以把所有過(guò)A點(diǎn)的直線分為兩類：一類與直線a不相交，一類與直線a相交。令這兩類的直線的邊界為直線c和直線c’，由距離的對(duì)稱性可以推出邊界線關(guān)于垂線對(duì)稱，即兩個(gè)邊界線與垂線的夾角相等，設(shè)這個(gè)夾角為α并稱這個(gè)夾角為平行角。

如果平行角α為銳角，由定義可以知道，凡是與垂線的夾角大于平行角的直線都與直線a不相交，都是直線a的平行線，因此過(guò)直線外一點(diǎn)將有無(wú)數(shù)多條直線與已知直線平行。隨著距離d縮小，平行角α逐漸增大，當(dāng)距離d趨近0時(shí)，平行角α趨近直角。如果平行角α為直角，則直線c和c’重合，這就得到歐幾里得平行公設(shè)，也就是說(shuō)，在這個(gè)時(shí)候過(guò)直線外一點(diǎn)只有一條平行線與已知直線平行。

顯然，如果平行角α為銳角，三角形內(nèi)角和將小于180度；并且，在這個(gè)幾何中，兩個(gè)三角形相似則必然全等。但是，除了與平行線有關(guān)的命題之外，羅巴切夫斯基幾何的其他許多命題與歐幾里得幾何是一致的。從上面的分析也可以看到，只有在非常大的范圍，即距離d很大時(shí)，羅巴切夫斯基幾何才會(huì)與歐幾里得幾何有所區(qū)別，所以，當(dāng)年高斯沒(méi)有測(cè)量出這兩種幾何差別的原因，一方面可能是因?yàn)闇y(cè)量誤差，一方面也可能是因?yàn)樗x擇的三個(gè)山頭的距離還是太近。