無限不循環(huán)小數，統(tǒng)稱為無理數?！?的出現，誕生了人類進步史上的“第一次數學危機”。

首先，簡單回顧下“數”的分類

在數學上，任何一個數都可以表示為復數z=a+bi的形式。其中，a為實部，b為虛部(i為虛數單位)。

當b=0時，z=a為實數；

當a=0時，z=bi為純虛數；

當a、b均不為0時，z=a+bi為復數。

而實數，又分為有理數和無理數。有理數比較好理解，頭疼的是無理數?！?、圓周率π、自然常數e等都是常見的無理數。而正是因為無理數的發(fā)現，誕生了人類進步史上的“第一次數學危機”。

(關于第一次數學危機的故事，將在文末簡單講述。)

無理數讓人頭疼的地方，不單單是它的“無限”，更主要的是它的“不循環(huán)”。像圓周率π，借助電腦已計算出小數點后10萬億位，也找不到其小數點后數字出現的任何規(guī)律。

無理數√2是由數學家畢達哥拉斯的徒弟希伯索斯，在研究邊長為1的等腰直角三角形斜邊長時發(fā)現的。

那么，我們借助等腰直角三角形，來談一談√2為什么會出現無限不循環(huán)這一結論。

√2的無限不循環(huán)論證

我們從兩個方面來進行論證，第一步是先用逼近法得出√2的近似值，第二步是用反證法證明√2是無理數。由此得出，√2是無限不循環(huán)小數的結論。

(接下來可能比較枯燥，沒有太多的配圖，有勞耐心閱讀，用時約)

第一步，逼近法，求得近似值

勾股定理 c2 = a2 + b2

設某直角三角形為等腰直角三角形，且直角邊長為1

則 a = b = 1，所以 c2 = 12 + 12 = 2，得 c =√2

12 = 1 ，22 = 4 ，c2 = 2

則 1 ＜ c ＜ 2 ，即 1 ＜√2 ＜ 2

再取1和2的中間數1.5，1.52 = 2.25 ＞ 2，得√2 ＜ 1.5

當取 1.42 = 1.96 ＜ 2，得1.4 ＜√2 ＜ 1.5

當取 1.4142112 ＜√2 ＜ 1.4142132；

當取 1.4142135612 ＜√2 ＜ 1.4142135632；

依此類推，可得到√2 ≈ 1.4142135623730950488...

那么，√2 的小數點后位數會是有限的嗎？即使無限，會出現循環(huán)嗎？這將是我們下一步需要做的事情。

(下圖與本文關聯度不大，占個位置避免眼花，有興趣的可以拓展了解下)

第二步，反證法，證明√2是無限不循環(huán)小數

首先，我們確定的是，√2為正數，更是一個實數。

另外，我們知道實數的一個特性：

奇數 x 奇數 = 奇數 ；

偶數 x 偶數 = 偶數 ；

奇數 x 偶數 = 偶數 。

雖然我們較難輕易直接證明√2無限不循環(huán)，但可以通過反證法，假設√2為有限小數，或無限循環(huán)小數，即√2為有理數。

任何一個有理數，都可以表示成分數形式，即a/b，其中a、b均為整數。

所以，設√2 = a/b ，且a、b已互質(沒有公約數)，

則 (√2)2 = (a/b)2

? 2 = a2/b2 ? 2b2 = a2

2b2必為偶數 ? a2為偶數

a x a = 偶數 ? a為偶數

a為偶數 ? a2必能被4整除

那么，1/2a2仍為偶數

再由(√2)2 = (a/b)2 ? b2 = a2/2，則b2也是偶數

b x b = 偶數 ? b為偶數

a為偶數，b為偶數，說明a、b還有公約數

這與“a、b已互質”的前提矛盾

若說a、b已互質的前提假設錯誤，那么a、b可以化簡直至最終互質。顯然，這個假設前提不是矛盾的關鍵點所在。

那么，這個矛盾的關鍵點，最終還只能是“設√2 = a/b”不成立。即√2不是有理數。

作為實數的√2不是有理數，那么√2就只能是無理數，即無限不循環(huán)小數。

如上的反證法，是較常用的“奇偶分析法”。當然，證明√2是無理數(無限不循環(huán)小數)的方法不限于此，其他還有如“尾數證明法”，“連分數法”，“構圖法”等。如有其他更好證明方法的伙伴，歡迎下方評論區(qū)留言討論。

第一次數學危機(簡述)

約公元前５世紀，有著“數學教父”之稱的畢達哥拉斯，發(fā)現了“直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方”，西方稱之為“畢達哥拉斯定理”，在中國稱之為“勾股定理”(最早約公元前1100年，西周初年的商高提出了“勾三股四弦五”)。

畢達哥拉斯經長期研究，各地宣講、收徒，雖然過程不乏艱辛，但最終名聲顯赫，非常權威。畢達哥拉斯學派曾流傳一句名言，“萬物畢數”。他們所說的“數”，按現今分類只是“有理數”范疇。

他們認為，世上萬物都可以用數來表達，其中“整數”是上帝創(chuàng)造的，完美無缺。而分數是兩個整數的比。除了整數和分數外，世上不可能再有其他什么數了。

然而，畢達哥拉斯的一個學生希伯索斯，在研究邊長為1的正方形時，發(fā)現其對角線長√2既不是整數，也不是分數，而是介于1和2之間的一個數。

1和2之間顯然不再有整數，那么√2是不是介于1和2之間的某個分數呢？

即：3/2；4/3；5/3，5/4；6/4，6/5；7/4，7/5，7/6；8/5，8/6，8/7；9/5，......當中的一個？

然后，他分別求證這些數，看有沒有平方等于2的，結果可想而知。

......

希伯索斯的發(fā)現，第一次向人們揭示了有理數系的缺陷。證明了它不能同連續(xù)的無限直線等同看待，有理數并沒有布滿數軸上的點，在數軸上存在著不能用有理數表示的“孔隙”。

誘發(fā)第一次數學危機的一個間接因素是之后“芝諾悖論”，它更增加了數學家們的擔憂：數學作為一門精確的科學是否還有可能？

直至約公元前370年，這個矛盾被畢氏學派的歐多克斯通過給比例下新定義的方法解決了。也正是由于第一次數學危機的發(fā)生和解決，希臘數學走上完全不同的發(fā)展道路，為世界數學作出了另一種杰出的貢獻。