一、知識框架

二、知識梳理與拓展應(yīng)用

（一）函數(shù)

1．常量與變量

在某一變化過程中，可以取不同數(shù)值的量，叫作變量，數(shù)值保持不變的量叫作常量。如：在行程問題中，當(dāng)速度υ保持不變時，行走的路程s與時間t是變量，速度v是常量。

關(guān)鍵提醒：

(1)變量和常量往往是相對的，相對于某個變化過程，比如s、v、t三者之間，在不同的研究過程中，作為變量與常量的身份是可以相互轉(zhuǎn)換的。

(2)常量、變量與字母的指數(shù)沒有關(guān)系，如

S＝πr²中，不能說自變量是r²

2．函數(shù)的概念

函數(shù)：一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于π的每一確定的值，都有唯一確定的值ν與其對應(yīng)，那么就說x是自變量，y是x的函數(shù)。當(dāng)x＝a時，y＝b，那么b叫作當(dāng)自變量的值為a時的函數(shù)值。

關(guān)鍵提醒：

對函數(shù)概念的理解，主要應(yīng)該抓住以下三點：

①有兩個變量。

②一個變量的數(shù)值隨著另一個變量的數(shù)值變化而變化。

③每確定一個自變量的值，函數(shù)有且只有一個值與之對應(yīng)(但可以有多個自變量數(shù)值對應(yīng)一個函數(shù)值)。

3．自變量取值范圍的確定

在整式中，自變量為全體實數(shù)；分式中滿足分母不為零；開偶次方根滿足被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)；在零指數(shù)冪中，底數(shù)不為零；在實際問題中，要滿足實際的意義。在具體問題中，一般要綜合上述幾種情況同時考慮。

關(guān)鍵提醒：

自變量的取值范圍可能是有限的，也可能是無限的，還可能是單獨個(或幾個)數(shù)的；在一個函數(shù)關(guān)系式中，同時有幾種代數(shù)式，函數(shù)自變量的取值范圍應(yīng)是各種代數(shù)式中自變量取值范圍的公共部分。

4．函數(shù)的表示方法

數(shù)的表示方法有三種：解析法、列表法和圖像法。

(1)解析法：兩個變量之間的關(guān)系，有時可以用一個含有這兩個變量的等式表示，這種表示方法叫作解析法。

關(guān)鍵提醒：

解析法的優(yōu)點是簡單明了的反映自變量與因變量的關(guān)系，不足是有的函數(shù)關(guān)系不一定能用解析法表示出來。

(2)列表法：把自變量x的一系列值和函數(shù)y的對應(yīng)值列成一個表來表示函數(shù)關(guān)系的方法叫作列表法。

關(guān)鍵提醒：

列表法的優(yōu)點是一目了然，使用方便，不足是其列出的對應(yīng)值是有限的，而且從表中不易看出自變量和函數(shù)之間的對應(yīng)規(guī)律。

(3)圖像法：用圖像表示函數(shù)關(guān)系的方法叫作圖像法。

關(guān)鍵提醒：

圖像法的優(yōu)點是形象直觀，不足是圖像是近似的、局部的。

5．函數(shù)的圖像

一般地，對于一個函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對對應(yīng)值分別作為點的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點組成的圖形，就是這個函數(shù)的圖像。

關(guān)鍵提醒：

①：函數(shù)圖像上的點(x，y)與函數(shù)自變量x及對應(yīng)函數(shù)值y的關(guān)系函數(shù)圖像上任意一點P(x，y)中的x和y的值滿足函數(shù)關(guān)系式；滿足函數(shù)關(guān)系式的x與y構(gòu)成的點(x，y)必定在函數(shù)圖像上。

②：判斷點(x，y)是否在函數(shù)圖像上的方法是：將點的坐標(biāo)(x，y)代入函數(shù)關(guān)系式，即自變量等于橫坐標(biāo)x，函數(shù)值等于縱坐標(biāo)y，如果滿足函數(shù)關(guān)系式，則這個點就在函數(shù)圖像上，否則這個點就不在函數(shù)圖像上。

（二）一次函數(shù)

1．一次函數(shù)和正比例函數(shù)的概念

(1)一次函數(shù)：一般地，形如y＝kx＋b(k、b為常數(shù)，且k≠0)的函數(shù)，叫作一次函數(shù)，其中x是自變量，y是x的函數(shù)。特別地，當(dāng)b＝0時，y＝kx(k為常數(shù)，且k≠0)，y叫作x的正比例函數(shù)，由此可以看出，正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù)。

知識拓展：

自變量的取值范圍是任意實數(shù)；k≠0這個條件不可忽略。

2．一次函數(shù)解析式的求法

待定系數(shù)法：先設(shè)出函數(shù)解析式，再根據(jù)條件確定解析式中未知系數(shù)的值，從而具體寫出這個式子的方法，叫作待定系數(shù)法。

關(guān)鍵提醒：

(1)在正比例函數(shù)y＝kx(k≠0，且k為常數(shù))中，只有一個待定系數(shù)，所以確定正比例函數(shù)的解析式只需要一個條件即可。

(2)在一次函數(shù)y＝kx＋b(k、b為常數(shù)，且k≠0)中，有兩個待定系數(shù)k和b，因此確定一次函數(shù)的解析式需要兩個條件。

(3)要求k和b也可以利用圖像、文字信息建立k和b的二元一次方程組，求出k和b即可求出一次函數(shù)解析式。

3．從實際問題中確定一次函數(shù)的解析式(重點)

確定實際問題中的函數(shù)解析式一般與列方程解應(yīng)用題類似。首先根據(jù)題意列出關(guān)于兩個變量的二元一次方程，再用含有自變量的式子表示函數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系式時，要注意自變量的取值范圍。

4．一次函數(shù)y＝kx＋b (k≠0)的圖像及性質(zhì)，如表1所示。

表1

5．正比例函數(shù)y＝kx(k≠0)圖像與一次函數(shù)圖像的關(guān)系

（1）將直線y＝kx沿y軸向上(或向下)平移|b|個單位，得到y(tǒng)＝kx＋b的圖像，當(dāng)b＞0時，向上平移；當(dāng)b＜0時，向下平移。

（2）直線y＝k₁x＋b₁與y＝k₂x＋b₂的關(guān)系：當(dāng)k₁＝k₂，b₁≠b₂時，兩直線平行；當(dāng)k₁≠k₂時，兩直線相交；當(dāng)k₁＝k₂，b₁＝b₂時，兩直線重合。

6．一次函數(shù)的應(yīng)用

一次函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界事物間關(guān)系的簡單數(shù)學(xué)模型，其應(yīng)用非常廣泛。如現(xiàn)實生活中的電費、水費、電話費、納稅、儲蓄、行程、工程等問題，它們都是應(yīng)用一次函數(shù)很好的實例。解決這類問題，常常根據(jù)題目所提供的信息，建立一次函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，并綜合運用一次方程和一元一次不等式等知識解決問題。

7.一次函數(shù)與一元一次方程

由于任何一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為ax＋b＝0(a，b為常數(shù)，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某個一次函數(shù)的值為0時，求相應(yīng)的自變量的值。從圖像上看，這相當(dāng)于已知直線y＝ax＋b，確定它與x軸交點的橫坐標(biāo)的值。

關(guān)鍵提醒：

在一次函數(shù)y＝kx十b中，y如果等于某一個確定的值，求自變量x的值，就要解一元一次方程。

8．一次函數(shù)與一元一次不等式

由于任何一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為

ax＋b＞0或ax＋b＜0(a，b為常數(shù)，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當(dāng)一次函數(shù)值大于(或小于)0時，求自變量相應(yīng)的取值范圍。

知識拓展

解一元一次不等式可轉(zhuǎn)化為比較直線上點的位置的高低

9．一次函數(shù)與二元一次方程組

一般地，每個二元一次方程組都對應(yīng)兩個一次函數(shù)，于是也對應(yīng)兩條直線。從“數(shù)”的角度看，解方程組相當(dāng)于考慮自變量為何值時兩個函數(shù)的值相等，以及這個函數(shù)值是何值；從“形”的角度看，解方程組相當(dāng)于確定兩條直線交點的坐標(biāo)。

（三）運用一次函數(shù)解決方案選擇問題

運用一次函數(shù)解決實際問題中方案的選擇問題，實際上是比較兩個函數(shù)y＝k₁x＋b₁和y＝k₂x＋b₂的函數(shù)值大小的問題。

比較y＝k₁x＋b₁和y＝k₂x＋b₂的函數(shù)值大小的常見方法有兩種：代數(shù)法和圖像法。

關(guān)鍵提醒：

兩個函數(shù)的圖像在同一坐標(biāo)系中，圖像在交點處時，兩個函數(shù)中橫縱坐標(biāo)值分別相等。哪一段圖像在上方，則在這一段，哪個圖像對應(yīng)的函數(shù)值就大；反之亦然。