【讀音】yī cì hán shù
【解釋】函數(shù)的基本概念：一般地，在某一變化過(guò)程中，有兩個(gè)變量x和y，如果給定一個(gè)X值，相應(yīng)地就確定了唯一
一個(gè)Y值與X對(duì)應(yīng)，那么我們稱(chēng)Y是X的函數(shù)（function).其中X是自變量，Y是因變量，也就是說(shuō)Y是X的函數(shù)。當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)的值叫做當(dāng)x=a時(shí)的函數(shù)值。
定義與定義式
自變量x和
因變量y有如下關(guān)系：
y=kx （k為任意不為零實(shí)數(shù)）
或y=kx+b （k為任意不為零實(shí)數(shù)，b為任意實(shí)數(shù)）
則此時(shí)稱(chēng)y是x的一次
函數(shù)。
特別的，當(dāng)b=0時(shí)，y是x的
正比例函數(shù)。正比例是Y=kx+b。
即：y=kx （k為任意不為零實(shí)數(shù)）
定義域：自變量的取值范圍，自變量的取值應(yīng)使函數(shù)有意義；要與實(shí)際相符合。
一次函數(shù)的性質(zhì)
1.y的變化值與對(duì)應(yīng)的x的變化值成正比例，比值為k
即：y=kx+b（k≠0) （k不等于0，且k，b為常數(shù)）
2.當(dāng)x=0時(shí)，b為函數(shù)在y軸上的
截距。
3.k為一次函數(shù)y=kx+b的斜率,k=tg角1(角1為一次函數(shù)圖象與x軸正方向夾角)
形。取。象。交。減
4.正比例函數(shù)也是一次函數(shù).
5.函數(shù)圖像性質(zhì)：當(dāng)k相同，且b不相等，圖像平行；當(dāng)k不同，且b相等，圖像相交；當(dāng)k，b都相同時(shí)，兩條線段重合。
一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)
1．作法與圖形：通過(guò)如下３個(gè)步驟
（1）列表[一般取兩個(gè)點(diǎn),根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線]；
?。?）描點(diǎn)；
?。?）連線，可以作出一次函數(shù)的圖像——一條
直線。因此，
作一次函數(shù)的圖像只需知道２點(diǎn)，并連成直線即可。（通常找函數(shù)圖像與x軸和y軸的交點(diǎn)）
2．性質(zhì)：（1）在一次函數(shù)上的任意一點(diǎn)P（x，y），都滿(mǎn)足等式：y=kx+b(k≠0)。（2）一次函數(shù)與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)總是（0，b)，與x軸總是交于（-b/k，0）
正比例函數(shù)的圖像都是過(guò)原點(diǎn)。
3．函數(shù)不是數(shù)，它是指某一變量過(guò)程中兩個(gè)變量之間的關(guān)系。
4．k，b與函數(shù)圖像所在
象限：
y=kx時(shí)（即b等于0，y與x成正比)
當(dāng)k＞0時(shí)，直線必通過(guò)一、三象限，y隨x的增大而增大；
當(dāng)k＜0時(shí)，直線必通過(guò)二、四象限，y隨x的增大而減小。
y=kx+b時(shí)：
當(dāng) k>0,b>0, 這時(shí)此函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)一，二，三象限。
當(dāng) k>0,b<0, 這時(shí)此函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)一，三，四象限。
當(dāng) k<0,b>0, 這時(shí)此函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)一，二，四象限。
當(dāng) k<0,b<0, 這時(shí)此函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)二，三，四象限。
當(dāng)b＞0時(shí)，直線必通過(guò)一、二象限；
當(dāng)b＜0時(shí)，直線必通過(guò)三、四象限。
特別地，當(dāng)b=0時(shí)，直線通過(guò)原點(diǎn)O（0，0）表示的是正比例函數(shù)的圖像。
這時(shí)，當(dāng)k＞0時(shí)，直線只通過(guò)一、三象限，不會(huì)通過(guò)二、四象限。當(dāng)k＜0時(shí)，直線只通過(guò)二、四象限，不會(huì)通過(guò)一、三象限。
4、特殊位置關(guān)系
當(dāng)平面直角坐標(biāo)系中兩直線平行時(shí)，其函數(shù)解析式中K值（即一次項(xiàng)系數(shù)）相等
當(dāng)平面直角坐標(biāo)系中兩直線垂直時(shí)，其函數(shù)解析式中K值互為負(fù)倒數(shù)（即兩個(gè)K值的乘積為-1）
確定一次函數(shù)的表達(dá)式
已知點(diǎn)A（x1，y1）；B（x2，y2），請(qǐng)確定過(guò)點(diǎn)A、B的一次函數(shù)的
表達(dá)式。
?。?）設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式（也叫解析式）為y=kx+b。
?。?）因?yàn)樵谝淮魏瘮?shù)上的任意一點(diǎn)P（x，y），都滿(mǎn)足等式y(tǒng)=kx+b。所以可以列出2個(gè)方程：y1=kx1+b …… ① 和 y2=kx2+b …… ②
?。?）解這個(gè)二元一次方程，得到k，b的值。
?。?）最后得到一次函數(shù)的表達(dá)式。
一次函數(shù)在生活中的應(yīng)用
1.當(dāng)時(shí)間t一定，距離s是速度v的一次函數(shù)。s=vt。
2.當(dāng)水池抽水速度f(wàn)一定，水池中水量g是抽水時(shí)間t的一次函數(shù)。設(shè)水池中原有水量S。g=S-ft。
1.求函數(shù)圖像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)
2.求與x軸平行線段的中點(diǎn)：|x1-x2|/2
3.求與y軸平行線段的中點(diǎn)：|y1-y2|/2
4.求任意線段的長(zhǎng)：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 （注：根號(hào)下（x1-x2)與（y1-y2)的平方和）
5.求個(gè)兩一次函數(shù)式圖像交點(diǎn)坐標(biāo)：解兩函數(shù)式
兩個(gè)一次函數(shù) y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 將解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 兩式任一式 得到y(tǒng)=y0 則(x0,y0)即為 y1=k1x+b1 與 y2=k2x+b2 交點(diǎn)坐標(biāo)
6.求任意2點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)坐標(biāo)：[（x1+x2）/2，（y1+y2）/2]
7.求任意2點(diǎn)的連線的一次函數(shù)解析式：（X-x1）/(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2) (其中分母為0，則分子為0)
k b
+ + 在一象限
+ - 在四象限
- + 在二象限
- - 在三象限
8.若兩條直線y1=k1x+b1∥y2=k2x+b2，那么k1=k2，b1≠b2
9.如兩條直線y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2，那么k1×k2=-1
10.左移X則B+X，右移X則B-X
11.上移Y則X項(xiàng)+Y，下移Y則X項(xiàng)-Y
(有個(gè)規(guī)律.b項(xiàng)的值等于k乘于上移的單位在減去原來(lái)的b項(xiàng)。）
（此處不全 愿有人補(bǔ)充）
上移：(a為移動(dòng)的數(shù)量)Y=k（X+a）+b
Y=kX+ak+b
下移：(a為移動(dòng)的數(shù)量)Y=k（X-a）+b
Y=kX-ak+b
應(yīng)用
一次函數(shù)y=kx+b的性質(zhì)是：（1）當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大；（2）當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小。利用一次函數(shù)的性質(zhì)可解決下列問(wèn)題。
一、確定字母系數(shù)的取值范圍
例1. 已知正比例函數(shù) ，則當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小。
解：根據(jù)正比例函數(shù)的定義和性質(zhì)，得 且m<0，即 且 ，所以 。
二、比較x值或y值的大小
例2. 已知點(diǎn)P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函數(shù)y=3x+4的圖象上的兩個(gè)點(diǎn)，且y1>y2，則x1與x2的大小關(guān)系是（ ）
A. x1>x2 B. x1<x2 C. x1=x2 D.無(wú)法確定
解：根據(jù)題意，知k=3>0，且y1>y2。根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)“當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大”，得x1>x2。故選A。
三、判斷函數(shù)圖象的位置
例3. 一次函數(shù)y=kx+b滿(mǎn)足kb>0，且y隨x的增大而減小，則此函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解：由kb>0，知k、b同號(hào)。因?yàn)閥隨x的增大而減小，所以k<0。所以b<0。故一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，不經(jīng)過(guò)第一象限。故選A . 典型例題:
例1. 一個(gè)彈簧，不掛物體時(shí)長(zhǎng)12cm,掛上物體后會(huì)伸長(zhǎng)，伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度與所掛物體的質(zhì)量成正比例.如果掛上3kg物體后，彈簧總長(zhǎng)是13.5cm，求彈簧總長(zhǎng)是y(cm)與所掛物體質(zhì)量x(kg)之間的函數(shù)關(guān)系式.如果彈簧最大總長(zhǎng)為23cm，求自變量x的取值范圍.
分析：此題由物理的定性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的定量問(wèn)題，同時(shí)也是實(shí)際問(wèn)題，其核心是彈簧的總長(zhǎng)是空載長(zhǎng)度與負(fù)載后伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度之和，而自變量的取值范圍則可由最大總長(zhǎng)→最大伸長(zhǎng)→最大質(zhì)量及實(shí)際的思路來(lái)處理.
解：由題意設(shè)所求函數(shù)為y=kx+12
則13.5=3k+12，得k=0.5
∴所求函數(shù)解析式為y=0.5x+12
由23=0.5x+12得：x=22
∴自變量x的取值范圍是0≤x≤22
例2
某學(xué)校需刻錄一些電腦光盤(pán)，若到電腦公司刻錄，每張需8元，若學(xué)校自刻，除租用刻錄機(jī)120元外，每張還需成本4元，問(wèn)這些光盤(pán)是到電腦公司刻錄，還是學(xué)校自己刻費(fèi)用較?。?br>
此題要考慮X的范圍
解:設(shè)總費(fèi)用為Y元，刻錄X張
電腦公司：Y1=8X
學(xué)校 ：Y2=4X+120
當(dāng)X=30時(shí)，Y1=Y2
當(dāng)X>30時(shí)，Y1>Y2
當(dāng)X<30時(shí)，Y1<Y2
【考點(diǎn)指要】
一次函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)在中考說(shuō)明中是C級(jí)知識(shí)點(diǎn)，特別是根據(jù)問(wèn)題中的條件求函數(shù)解析式和用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式在中考說(shuō)明中是D級(jí)知識(shí)點(diǎn).它常與反比例函數(shù)、二次函數(shù)及方程、方程組、不等式綜合在一起，以選擇題、填空題、解答題等題型出現(xiàn)在中考題中，大約占有8分左右.解決這類(lèi)問(wèn)題常用到分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合、方程和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法.
例2.如果一次函數(shù)y=kx+b中x的取值范圍是-2≤x≤6，相應(yīng)的函數(shù)值的范圍是-11≤y≤9.求此函數(shù)的的解析式。
解：（1）若k＞0，則可以列方程組 -2k+b=-11
6k+b=9
解得k=2.5 b=-6 ，則此時(shí)的函數(shù)關(guān)系式為y=2.5x—6
?。?）若k＜0，則可以列方程組 -2k+b=9
6k+b=-11
解得k=-2.5 b=4，則此時(shí)的函數(shù)解析式為y=-2.5x+4
【考點(diǎn)指要】
此題主要考察了學(xué)生對(duì)函數(shù)性質(zhì)的理解，若k＞0，則y隨x的增大而增大；若k＜0，則y隨x的增大而減小。
一次函數(shù)解析式的幾種類(lèi)型
?、賏x+by+c=0[一般式]
?、趛=kx+b[斜截式]
?。╧為直線斜率，b為直線縱截距，正比例函數(shù)b=0）
?、踶-y1=k(x-x1)[點(diǎn)斜式]
?。╧為直線斜率,(x1,y1)為該直線所過(guò)的一個(gè)點(diǎn)）
?、埽▂-y1）/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[兩點(diǎn)式]
?。ǎ▁1,y1）與（x2,y2）為直線上的兩點(diǎn)）
?、輝/a-y/b=0[截距式]
?。╝、b分別為直線在x、y軸上的截距）
解析式表達(dá)局限性：
①所需條件較多（3個(gè)）；
②、③不能表達(dá)沒(méi)有斜率的直線（平行于x軸的直線）；
?、軈?shù)較多，計(jì)算過(guò)于煩瑣；
?、莶荒鼙磉_(dá)平行于坐標(biāo)軸的直線和過(guò)圓點(diǎn)的直線。
傾斜角：x軸到直線的角（直線與x軸正方向所成的角）稱(chēng)為直線的傾斜 角。設(shè)一直線的傾斜角為a，則該直線的斜率k=tg(a)
