內(nèi)容摘自魚(yú)洋《皮亞杰發(fā)生認(rèn)識(shí)論對(duì)兒童數(shù)學(xué)教育的啟示》

       學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的困難，很大一部分源于空間想象能力的薄弱——面對(duì)文字描述無(wú)法呈現(xiàn)清晰的圖像。一線(xiàn)教師都很清楚提升學(xué)生畫(huà)圖分析能力的重要性，但一方面受囿于課時(shí)，另一方面也苦于不知如何突破現(xiàn)狀。要讓學(xué)生真正感受到“我要學(xué)會(huì)這些”，我們就需要給學(xué)生時(shí)間，需要一節(jié)課一節(jié)課地去指導(dǎo)、交流、診斷、練習(xí)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到“這是我必須掌握的知識(shí)與技能”。那么，是否可以整合學(xué)科內(nèi)部課時(shí)，每學(xué)期補(bǔ)入相應(yīng)的“畫(huà)”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容，讓“畫(huà)”不再是點(diǎn)狀的散布在某課教學(xué)中的直觀運(yùn)用，而成為可操作性強(qiáng)的專(zhuān)題設(shè)計(jì)呢？這就是“畫(huà)數(shù)學(xué)”課程設(shè)計(jì)萌生的因由?！爱?huà)數(shù)學(xué)”的學(xué)習(xí)內(nèi)容與教材知識(shí)體系密切相關(guān)，但它又是獨(dú)立的、創(chuàng)新的，是教師基于教學(xué)經(jīng)驗(yàn)、基于學(xué)生能力發(fā)展的需求而自行開(kāi)發(fā)設(shè)計(jì)的內(nèi)容，這組專(zhuān)題設(shè)計(jì)適合配合教材知識(shí)的教學(xué)進(jìn)度而展開(kāi)，希望能引發(fā)同行的思考，服務(wù)一線(xiàn)教師的日常教學(xué)，從而使學(xué)生“畫(huà)”的能力、分析和解決問(wèn)題的能力得到大的提升。

一、教學(xué)時(shí)機(jī)

人教版五年級(jí)下冊(cè)，在《長(zhǎng)方體、正方體的認(rèn)識(shí)》學(xué)習(xí)之后。

二、教學(xué)目標(biāo)

1.通過(guò)畫(huà)長(zhǎng)方體草圖，進(jìn)一步掌握長(zhǎng)方體的面、棱、頂點(diǎn)特征；

2.通過(guò)圖形的“動(dòng)態(tài)變形”，感受面與體的變化，為后續(xù)的解決問(wèn)題備好解題的直觀支架。

三、教學(xué)流程

（一）回顧特征

問(wèn)：這兩天，我們認(rèn)識(shí)了長(zhǎng)方體，誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)它們有什么特征？

板書(shū)：6個(gè)面，12條棱，8個(gè)頂點(diǎn)。

【設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)長(zhǎng)方體面、棱、頂點(diǎn)的外部特征回顧，為畫(huà)草圖做好知識(shí)準(zhǔn)備。】

（二）嘗試畫(huà)長(zhǎng)方體

1.明了“草圖”

（1）那同學(xué)們能試著在紙上畫(huà)一個(gè)長(zhǎng)方體的草圖嗎？課件出示草圖的要求：數(shù)據(jù)不必準(zhǔn)確，也不必使用作圖工具，但是要讓別人能看出這是一個(gè)長(zhǎng)方體，要具備長(zhǎng)方體的基本特征。

（2）誰(shuí)說(shuō)說(shuō)畫(huà)草圖的注意點(diǎn)是什么？

板書(shū)：不精確，但具備基本特征。

【設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過(guò)對(duì)作圖“要求”的解讀，通過(guò)相互交流、討論，對(duì)“草圖”的畫(huà)法達(dá)成一定的共識(shí)?！?/span>

2.學(xué)生嘗試

白紙上作圖。

3.作品展示

展示一：投影呈現(xiàn)1號(hào)

（1）指認(rèn)面、棱、頂點(diǎn)

問(wèn)：大部分同學(xué)都是這樣畫(huà)的，你們能從圖上看到長(zhǎng)方體的哪些特征？指一指。

追問(wèn)1：為什么我只看見(jiàn)7個(gè)頂點(diǎn)，9條棱，3個(gè)面？

（2）添加看不見(jiàn)的“棱”

問(wèn)：看見(jiàn)的面、棱、頂點(diǎn)，你們畫(huà)出來(lái)了，沒(méi)看見(jiàn)的怎么表示呢？在內(nèi)部畫(huà)線(xiàn)，內(nèi)部的線(xiàn)最好畫(huà)成虛線(xiàn)。畫(huà)在什么位置呢？能在這個(gè)長(zhǎng)方體模型中指一指嗎？

追問(wèn)：那這3條棱你能畫(huà)嗎？誰(shuí)上來(lái)添加？邊畫(huà)邊說(shuō)說(shuō)注意點(diǎn)。（學(xué)生邊畫(huà)，邊說(shuō)畫(huà)的棱與哪條棱要平行）現(xiàn)在請(qǐng)大家在自己剛才畫(huà)的長(zhǎng)方體上也添加上這3條棱。

板書(shū)：棱，平行

展示二：投影呈現(xiàn)2號(hào)

（1）指認(rèn)一組組“平行的棱”

問(wèn)：這位同學(xué)畫(huà)的長(zhǎng)方體，和大家現(xiàn)在畫(huà)的基本一致嗎？互相平行的棱，你能一組組指認(rèn)嗎？請(qǐng)你上來(lái)指認(rèn)。

（2）標(biāo)注字母

    請(qǐng)給每條棱標(biāo)注上字母，長(zhǎng)是a，寬是b，高是h。4條a互相平行，4條b互相平行，4條h互相平行。

（3）小結(jié)：畫(huà)長(zhǎng)方體草圖，每一條棱，用眼睛看過(guò)去，要基本符合原本的“平行”與“垂直”的位置關(guān)系。

展示三：投影呈現(xiàn)3號(hào)

問(wèn)：那么，大家看這個(gè)長(zhǎng)方體，你覺(jué)得有什么問(wèn)題？怎么修改？

【設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)其他班級(jí)40名學(xué)生的前測(cè)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生嘗試畫(huà)草圖會(huì)出來(lái)3種情況，其中33個(gè)學(xué)生畫(huà)得是看見(jiàn)三個(gè)面的長(zhǎng)方體

2個(gè)學(xué)生的學(xué)生畫(huà)得是長(zhǎng)方體透視圖

5個(gè)學(xué)生畫(huà)得是變形的草圖

因此，反饋時(shí)先呈現(xiàn)大多數(shù)學(xué)生畫(huà)的草圖引發(fā)探討，結(jié)合長(zhǎng)方體的特征將1號(hào)長(zhǎng)方體自然地補(bǔ)充轉(zhuǎn)化成2號(hào)長(zhǎng)方體，并經(jīng)由對(duì)棱“平行”的認(rèn)識(shí)，修正了3號(hào)長(zhǎng)方體草圖存在的問(wèn)題。】

（三）再畫(huà)長(zhǎng)方體

（1）歸結(jié)順序

觀察一個(gè)長(zhǎng)方體，一般看見(jiàn)3個(gè)面，還有3個(gè)面隱在內(nèi)部。那么，這看見(jiàn)的3個(gè)面，一般先畫(huà)哪個(gè)面呢？對(duì)，一般先畫(huà)正面的長(zhǎng)方形，上面和側(cè)面因?yàn)橐暯顷P(guān)系畫(huà)的都是平行四邊形。

畫(huà)完看見(jiàn)的3個(gè)面，大致的草圖就完成了。看不見(jiàn)的面可以想象，也可以用虛線(xiàn)畫(huà)出來(lái)，視自己的需要而定

（2）技能訓(xùn)練

每人動(dòng)手，按照前面、上面、右面的順序，快速地畫(huà)一個(gè)長(zhǎng)方體草圖，并標(biāo)上a、b、h。

（四）變式拓展

1.疊加

（1）嘗試畫(huà)

如果在這個(gè)長(zhǎng)方體的上面，又放了一個(gè)長(zhǎng)方體，你能在剛剛畫(huà)的這個(gè)長(zhǎng)方體上添加上去嗎？誰(shuí)能上來(lái)邊畫(huà)邊說(shuō)？

（2）討論，方法小結(jié)：還是按照前面、上面、右面的順序添加。試著再畫(huà)一個(gè)。

（3）觀察這個(gè)草圖，你能發(fā)現(xiàn)增加的面是哪些嗎？請(qǐng)指認(rèn)給同桌看。

追問(wèn)：為什么增加的是這一圈前后左右4個(gè)面，不包括上面？

小結(jié)：原來(lái)的上面被遮蓋，相當(dāng)于這個(gè)面“升”上來(lái)了，可以給新增的面畫(huà)上斜線(xiàn)。

（4）增加的面的大小與哪些棱有關(guān)？你需要知道什么數(shù)據(jù)，就能求出它的面積？只要知道原來(lái)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)a、寬b和現(xiàn)在增加的高度c，就能知道增加的面積是2ab+2bc.

    板書(shū)：

【設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)嘗試、示范、再畫(huà)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)畫(huà)兩個(gè)長(zhǎng)方體的疊加草圖。學(xué)生此時(shí)并沒(méi)有長(zhǎng)方體的表面積概念，但是有“面積”的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，所以可以借助直觀的草圖來(lái)討論分析增加面積的大小。結(jié)合前面的“字母標(biāo)注”要求，讓學(xué)生用字母式表達(dá)出增加部分的面積，這既是為后續(xù)解決表面積問(wèn)題打下基礎(chǔ)，也鞏固了學(xué)生用字母式表示面積的能力，發(fā)展代數(shù)意識(shí)。】

2.分割

長(zhǎng)方體上可以疊加，自然也可以把長(zhǎng)方體進(jìn)行分割。

（1）手勢(shì)模擬，嘗試分割

垂直于長(zhǎng)或者說(shuō)平行于寬，將一個(gè)長(zhǎng)方體切分成相等的兩部分，請(qǐng)你想象著做一下手勢(shì)，試著畫(huà)一畫(huà)。

（2）觀察草圖，說(shuō)說(shuō)分割后，增加的面在哪里？大小和誰(shuí)一樣？怎么表示？（2bh）

（3）畫(huà)垂直于寬、垂直于高，將一個(gè)長(zhǎng)方體切分成相等的兩部分的草圖。

對(duì)比一下，切分后它們?cè)黾拥拿嬗惺裁刺攸c(diǎn)？分別如何計(jì)算？（2ab，2ah）

3.實(shí)際問(wèn)題操練

問(wèn)：如果現(xiàn)在是3個(gè)完全相同的正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，已知長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)總和是100厘米，請(qǐng)問(wèn)正方體的棱長(zhǎng)是幾厘米？

學(xué)生畫(huà)圖，嘗試。

【設(shè)計(jì)意圖：這個(gè)實(shí)際問(wèn)題，將長(zhǎng)方體與正方體棱的特點(diǎn)巧妙蘊(yùn)含，學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖就能順利解決，讓學(xué)生進(jìn)一步感受到畫(huà)草圖的優(yōu)勢(shì)?！?/span>

（五）全課總結(jié)

關(guān)于畫(huà)長(zhǎng)方體的草圖，你有什么收獲？

當(dāng)幾個(gè)長(zhǎng)方體或者正方體疊加或者被切分，它們有些棱的長(zhǎng)度會(huì)變化，有些面的大小會(huì)變化，但它們的大小都和原來(lái)的長(zhǎng)、寬、高有著密切的聯(lián)系。

四、教學(xué)建議

畫(huà)長(zhǎng)方體草圖這節(jié)課，在實(shí)際教學(xué)中要把握好幾個(gè)點(diǎn)：

1.畫(huà)長(zhǎng)方體草圖要關(guān)注“棱”的“平行”

認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體、正方體的過(guò)程中，學(xué)生對(duì)“棱”的感知，普遍弱于對(duì)“面”和“頂點(diǎn)”的認(rèn)識(shí)。畫(huà)長(zhǎng)方體草圖時(shí)，一定不能放寬棱與棱之間要互相“平行”的要求，通過(guò)錯(cuò)例對(duì)比、一一修正的方式，讓學(xué)生有意識(shí)、有能力把棱畫(huà)到“目視”平行。

2.草圖要重視字母、數(shù)字的標(biāo)注

有些學(xué)生總是會(huì)把“畫(huà)”與“分析”脫離，圖與問(wèn)題之間無(wú)法細(xì)致關(guān)聯(lián)。教師需要不斷強(qiáng)調(diào)“畫(huà)草圖，畫(huà)的是數(shù)學(xué)”的觀念——要標(biāo)注數(shù)據(jù)，標(biāo)注已知信息與問(wèn)題，讓數(shù)與形始終結(jié)合著被呈現(xiàn)。尤其是在拓展變化中，要關(guān)注“面”的增加與增加部分的數(shù)據(jù)表達(dá)，為后續(xù)表面積問(wèn)題的各種變式理解打下堅(jiān)實(shí)的直觀基礎(chǔ)。

3.技能的形成需要一定量的練習(xí)

長(zhǎng)、正方體的認(rèn)識(shí)，是學(xué)生從二維圖形開(kāi)始走向三維圖形的學(xué)習(xí)的起點(diǎn)。作為起始的立體圖形畫(huà)圖教學(xué)內(nèi)容，學(xué)生的確有一定的基礎(chǔ)，然而畫(huà)長(zhǎng)方體草圖看似簡(jiǎn)單卻又是后續(xù)學(xué)習(xí)推進(jìn)的基礎(chǔ)。因此，這節(jié)課要多讓學(xué)生嘗試，每一次動(dòng)手畫(huà)圖后教師必須小結(jié)、示范、歸納畫(huà)法，力爭(zhēng)讓每個(gè)學(xué)生都會(huì)畫(huà)長(zhǎng)方體草圖，都能順利地標(biāo)出已有的數(shù)學(xué)信息。

【本文系2017年浙江省寧波市教育科學(xué)規(guī)劃重點(diǎn)課題《第二學(xué)段“畫(huà)數(shù)學(xué)”課程設(shè)計(jì)與實(shí)踐研究》2017YZD069階段性研究成果。全文發(fā)表于《小學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)》】