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福建省2018屆高中畢業(yè)班數(shù)學(xué)學(xué)科備考關(guān)鍵問題指導(dǎo)系列之八                平面向量

 平面向量是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考考查的重要內(nèi)容之一。高考對這部分的考查常以選擇、填空的形式出現(xiàn)，也常與解析幾何交匯，題型較穩(wěn)定，屬中檔題。平面向量既有代數(shù)形式又有幾何形式，作為工具的應(yīng)用，它給平面解析幾何奠定了必要的基礎(chǔ)。平面向量在高考中主要包含以下幾個考點：1）在平面幾何圖形中主要考查向量加法的平行四邊形法則及加減法的三角形法則；2）對共線向量定理的應(yīng)用，主要考查應(yīng)用向量的坐標運算求向量的模；3）應(yīng)用平面向量基本定理進行向量的線性運算；4）應(yīng)用向量的垂直與共線條件，求解參數(shù)；5）對平面向量數(shù)量積的運算、化簡，向量平行與垂直的充要條件的應(yīng)用，并以平面向量的數(shù)量積為工具，考查其綜合應(yīng)用性問題，常與三角函數(shù)、解析幾何等相結(jié)合。另外，空間向量是平面向量的延伸，本文主要研究平面向量，下面我將對學(xué)生存在的主要問題進行剖析，并提出相應(yīng)的教學(xué)對策。

一、存在的問題及原因分析

問題（一）. 不能準確理解向量的相關(guān)概念

概念不清主要表現(xiàn)在向量的概念，平行向量、單位向量的概念；向量夾角的概念等。

問題（二）運算理解不到位，不能合理選擇算法

     學(xué)生存在的主要問題是：（1）對向量運算理解不到位，比如會錯把數(shù)的乘法的消去律運用在向量的數(shù)量積運算上；（2）算法選擇不合理，學(xué)生往往選擇常規(guī)解法，導(dǎo)致過繁運算，計算量過大，甚至無法解答下去。只有熟練掌握向量的運算技巧，根據(jù)題設(shè)條件合理選擇算法，才能達到正確運算的目的。

 問題（三）. 不能等價轉(zhuǎn)換向量問題

    學(xué)生主要問題體現(xiàn)在：題設(shè)條件問題轉(zhuǎn)換不等價，在平時復(fù)習(xí)中，關(guān)注學(xué)生對相關(guān)概念、定理、公式等的本質(zhì)的挖掘與掌握至關(guān)重要。

問題（四）. 不能合理選擇基底

   學(xué)生主要問題體現(xiàn)在：不能合理選擇基底解決問題，原因是學(xué)生對于平面向量基本定理并沒有真正理解，所以在復(fù)習(xí)中，深刻理解平面向量基本定理，讓學(xué)生真正掌握定理的本質(zhì)及解決問題的技巧是關(guān)鍵。

問題（五）. 不能合理運用向量解決問題

考查向量語言，體現(xiàn)向量的的工具性，解決平行與垂直的問題，與三角函數(shù)和解析幾何的交匯是高考常見題型，學(xué)生的主要問題就是缺乏用向量解決問題的意識，導(dǎo)致運算量過大，甚至無法解答下去，因此，在復(fù)習(xí)中教師應(yīng)重視向量在這方面的運用指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生拓展思路，必定會有意想不到的神奇效果。

評析：本題主要考查三角誘導(dǎo)公式，二倍角公式，余弦定理以及應(yīng)用平面向量解決問題的意識。對于第（Ⅱ）問，題中未出現(xiàn)平面向量，如果按照常規(guī)思路，只會想到正、余弦定理及方程思想，則運算量較大，導(dǎo)致解題速度慢或出錯.但如果學(xué)生有主動運用平面向量的意識， 可使代數(shù)問題向量化——充分體現(xiàn)向量的工具性、橋梁作用，會大大減少運算量,從而輕松解決問題，體現(xiàn)了不同層次學(xué)生的思維能力.

二、平面向量復(fù)習(xí)的思考與對策

1．加強概念學(xué)習(xí)，注重本質(zhì)理解

在平面向量的概念復(fù)習(xí)中，如何讓學(xué)生迅速把握住本質(zhì)，達成理解？重溫概念的來龍去脈，理清知識網(wǎng)絡(luò)，通過比較，對向量的概念進行辨析，在此基礎(chǔ)上，抓住向量的兩個要素：大小、方向進行拓展，將向量概念精準化．學(xué)生存在的問題之一是：概念不清，符號表示混亂，針對此問題，一方面教師在板書、表達等方面一定要準確和多方強調(diào)，另一方面，也可設(shè)置一些判斷題，幫助學(xué)生辨析概念．

2．加強運算訓(xùn)練，關(guān)注算法選擇

單純看向量的運算，實際上是比較抽象的．在復(fù)習(xí)中若能恰當運用模型，運用類比，不僅可以降低難度，而且對于學(xué)生認識抽象的運算有很大的好處：比如說：向量這個概念源于物理中的力、位移，那么力的合成、位移的合成實際上就是向量加法的模型，依此為基礎(chǔ)很容易理解并記憶平行四邊形法則和三角形法則。而向量的減法則可類比于數(shù)的減法定義：在實數(shù)運算中，減法是加法的逆運算；于是向量的減法也可以看成是向量加法的逆運算；在實數(shù)運算中，減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。據(jù)此，復(fù)習(xí)相反向量的概念。要注意向量運算與實數(shù)運算的差異，抓住“結(jié)果是什么？”“遵循什么樣的運算律？”等問題，在類比和辨析中掌握知識。逐漸滲透在集合上定義二元運算的準則．自然形成對于“逆運算”、“逆元”等概念的了解．最終拓展學(xué)生對于運算的認識．

3．重視幾何特征，關(guān)注數(shù)形結(jié)合

    在“平面向量”的復(fù)習(xí)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合是重要的思想方法之一，理解向量線性運算的幾何意義更是本專題的教學(xué)目標之一，但學(xué)生往往不能做到恰當轉(zhuǎn)化．數(shù)形結(jié)合的關(guān)鍵是把握基本量的代數(shù)形式與幾何特征之間的聯(lián)系，一方面復(fù)習(xí)中要時刻注意二者的聯(lián)系和相互表達，學(xué)會“看圖說話”，另一方面也可選擇恰當?shù)睦}，對某些幾何特征量進行歸納，逐漸學(xué)會“由數(shù)到形”．每種運算都要注意從幾何和代數(shù)兩個方面進行解讀，兩者并重。但要真正掌握、運用這種思想方法，還需對數(shù)和形的實質(zhì)加以挖掘．比如“向量的加法”復(fù)習(xí)中，可從“位移的合成”引入三角形法則，這是向量加法的幾何法則，將其代數(shù)化，就得到：

4．重視方法訓(xùn)練，關(guān)注基底選擇

    通過本專題的復(fù)習(xí)，研究用向量處理問題的兩種方法：“向量法”和“坐標法”．也即面對一個實際問題，要學(xué)會選擇基底或者建立平面直角坐標系．本質(zhì)上這兩種方法是統(tǒng)一的，其依據(jù)都是“平面向量基本定理”，后者是前者的特例．學(xué)生往往對于后者較為熟悉，在給定的坐標系中會處理問題，但不善于自己選擇基底．事實上，這種熟悉，對于很多學(xué)生來說：只是一種簡單的模仿和運算，而對于平面向量基本定理并沒有真正理解。但課標對于平面向量基本定理的要求，只限于“了解”。因此，若學(xué)生程度較好，可在正交基底的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生選擇其它的基底解決問題，強化平面向量基本定理的教學(xué)．

 5．強化問題意識，注重向量運用

   學(xué)生的主要問題就是缺乏用向量解決問題的意識，學(xué)生處理問題的意識不是一朝一夕形成的，教師要在教學(xué)中積極引導(dǎo)學(xué)生自覺地思考、轉(zhuǎn)化、構(gòu)圖和變式，讓學(xué)生不斷積累思維和活動經(jīng)驗，要加強教學(xué)過程中對學(xué)生思維、意識和能力的培養(yǎng)，注重過程強化，關(guān)注解題過程的思維達成度，培養(yǎng)學(xué)生的悟性。

三、典型問題剖析

    高考對平面向量的考查重點放在平面向量的基本概念、基本運算及其幾何意義。主要以選擇填空題的形式出現(xiàn)，有時解答題的題設(shè)條件也以向量的形式給出，命題的出發(fā)點主要是以平面圖形為載體表達平面向量，借助向量表達相交或共線等問題，借助平面幾何、解析幾何等知識，考查線性運算法則及其幾何意義以及兩個向量共線的充要條件，或以向量為載體秋參數(shù)的值。

1．平面向量的概念及線性表示

2．平面向量基本定理及坐標運算

3．平面向量的數(shù)量積

4．平面向量的平行與垂直