從下面的圖可以看出什么？

從下面這張圖又可以看出什么？

這里觀點(diǎn)是因變量, 只有兩個(gè)值;所以可以把它看作成功概率為p的Bernoulli試驗(yàn)的結(jié)果。但是和單純的Bernoulli試驗(yàn)不同，這里的概率p為年齡和性別的函數(shù)，必須應(yīng)用Logistic回歸。

首先，多元線性回歸中使用定性因變量嚴(yán)重違反本身假設(shè)條件，即：因變量只能取兩個(gè)值時(shí)，對(duì)于任何給定的自變量值，e本身也只能取兩個(gè)值。這必然會(huì)違背線性回歸中關(guān)于誤差項(xiàng)e的假設(shè)條件。

其次，線性概率概型及其問(wèn)題：由于因變量只有兩個(gè)值；所以可以把它看作成功概率p，取值范圍必然限制在0—1的區(qū)間中，然而線性回歸方程不能做到。另外概率發(fā)生的情況也不是線性的。

Logistic的概率函數(shù)定義為：

我們將多元線性組合表示為：

于是，Logistic概率函數(shù)表示為：

經(jīng)過(guò)變形，可得到線性函數(shù)：

這里， 

事件發(fā)生概率=P        (y=1)

事件不發(fā)生概率=1-P  (y=0)

發(fā)生比：

對(duì)數(shù)發(fā)生比：

這樣，就可將logistic曲線線性化為：

從P到logit P經(jīng)歷了兩個(gè)步驟變換過(guò)程：

第一步：將p轉(zhuǎn)換成發(fā)生比，其值域?yàn)?到無(wú)窮

第二步：將發(fā)生比換成對(duì)數(shù)發(fā)生比，其值域科為

經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)換， 將P→logit P,在將其作為回歸因變量來(lái)解釋就不再有任何值域方面的限制了，即可線性化！

以logit P方程的線性表達(dá)式來(lái)解釋回歸系數(shù)，即：

在logistic回歸的實(shí)際研究中，通常不是報(bào)告自變量對(duì)P的作用，而是報(bào)告自變量對(duì)logit P的作用。以發(fā)生比Ω的指數(shù)表達(dá)式來(lái)解釋回歸系數(shù)。與logit P不同，發(fā)生比Ω具有一定的實(shí)際意義，代表一種相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)。因此對(duì)logistic回歸系數(shù)的解釋通常是從發(fā)生比的指數(shù)表達(dá)式出發(fā)的。

例如：在取得了logistic回歸系數(shù)的各bi的解以后，將其帶入Ω函數(shù)，

如果分析x 變化一個(gè)單位對(duì)于Ω的影響幅度，可以用（x +1）表示，并將其代入上式，得到新的發(fā)生比：

將兩個(gè)發(fā)生比集中在一起有：

將此稱為發(fā)生比率，它可測(cè)量自變量一個(gè)單位的增加給原來(lái)的發(fā)生比所帶來(lái)的變化，一般表達(dá)式為：

說(shuō)明在其他情況不變的情況下，x一個(gè)單位的變化使原來(lái)的發(fā)生比擴(kuò)大倍。比如，原來(lái)的Ω為6:4(比值為1.5)，如果一個(gè)自變量變化一個(gè)單位導(dǎo)致的發(fā)生比率為exp(0.693)=2，即表示這一變化將會(huì)導(dǎo)致新發(fā)生比值Ω*為原來(lái)的2倍，即新發(fā)生比將是12:4(比值為3)。

我們也可用發(fā)生比率減1的差來(lái)表示發(fā)生比的增長(zhǎng)率，如發(fā)生比率為2.3，就可以說(shuō)自變量一個(gè)單位的變化會(huì)使原發(fā)生比增加1.3倍(2.3-1=1.3).

當(dāng)logistic回歸系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，發(fā)生比率小于1。這時(shí)的表達(dá)要特別小心。比如發(fā)生比率為0.8時(shí)，表示新發(fā)生比只有原來(lái)的80%，那么下降的倍數(shù)則是(1-0.8=)0.2.

以上例為例，說(shuō)明logistic回歸分析

SPSS選項(xiàng)：Analyze — Regression — Binary logistic。Logistic回歸的SPSS輸出結(jié)果

1. 對(duì)于整體模型的檢驗(yàn)

Logistic回歸方程求解參數(shù)是采用最大似然估計(jì)方法，因此其回歸方程的整體檢驗(yàn)通過(guò)似然函數(shù)值，表示為：

-2 Log Likelihood

該值越大，意味著回歸方程的似然值越小，模型的擬和程度越差。反之，擬和程度越好。

在評(píng)價(jià)或檢驗(yàn)一個(gè)含有自變量的Logistic回歸模型時(shí)，通常是將其含有自變量的Logistic的-2 Log Likelihood與截距模型的相比較。兩者之差服從卡方分布，進(jìn)行卡方檢驗(yàn)。所謂截距模型，就是將所有自變量刪除后只剩一個(gè)截距系數(shù)的模型。

2.對(duì)于回歸系數(shù)的檢驗(yàn)

Logistic回歸系數(shù)的檢驗(yàn)是用Wald統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行的。

SPSS進(jìn)行Logistic回歸時(shí)不提供標(biāo)準(zhǔn)化 回歸系數(shù)，但是其手工計(jì)算公式很簡(jiǎn)單：

Age和Sex的標(biāo)準(zhǔn)化回歸系數(shù)分別約為：

通過(guò)比較兩個(gè)自變量的標(biāo)準(zhǔn)化回歸系數(shù)，我們發(fā)現(xiàn)對(duì)于是否同意該觀點(diǎn)來(lái)說(shuō)，年齡的負(fù)作用要比性別的負(fù)作用要大一些。