【1.1.1】集合的含義與表示

（1）集合的概念：集合中的元素具有確定性、互異性和無(wú)序性。

（2）常用數(shù)集及其記法

N表示自然數(shù)集，N*或表示正整數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實(shí)數(shù)集。

（3）集合與元素間的關(guān)系

對(duì)象a與集合M的關(guān)系是，或者，兩者必居其一。

（4）集合的表示法

①自然語(yǔ)言法：用文字?jǐn)⑹龅男问絹?lái)描述集合

②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái)，寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)表示集合

③描述法：{x|x具有的性質(zhì)}，其中x為集合的代表元素

④圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來(lái)表示集合

（5）集合的分類(lèi)

①含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集

②含有無(wú)限個(gè)元素的集合叫做無(wú)限集

③不含有任何元素的集合叫做空集()

【1.1.2】集合間的基本關(guān)系

（6）子集、真子集、集合相等

（7）已知集合A有n（n≥1）個(gè)元素，則它有個(gè)子集，它有個(gè)真子集，它有個(gè)非空子集，它有個(gè)非空真子集。

【1.1.3】集合的基本運(yùn)算

（8）交集、并集、補(bǔ)集

【補(bǔ)充知識(shí)】含絕對(duì)值的不等式與一元二次不等式的解法

（1）含絕對(duì)值的不等式的解法

（2）一元二次不等式的解法

〖1.2〗函數(shù)及其表示

【1.2.1】函數(shù)的概念

（1）函數(shù)的概念

①設(shè)A、B是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則，對(duì)于集合A中任何一個(gè)數(shù)x，在集合中都有唯一確定的數(shù)(x)和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)（包括集合A、B以及A到B的對(duì)應(yīng)法則）叫做集合A到B的一個(gè)函數(shù)，記作:A→B。

②函數(shù)的三要素：定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則。

③只有定義域相同，且對(duì)應(yīng)法則也相同的兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù)．

（2）區(qū)間的概念及表示法

（3）求函數(shù)的定義域時(shí)，一般遵循以下原則：

①是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù)

②是分式函數(shù)時(shí)，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù)

③是偶次根式時(shí)，定義域是使被開(kāi)方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合

④對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對(duì)數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí)，底數(shù)須大于零且不等于1

⑤中，

⑥零（負(fù)）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零

⑦若是由有限個(gè)基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算而合成的函數(shù)時(shí)，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集

⑧對(duì)于求復(fù)合函數(shù)定義域問(wèn)題，一般步驟是：若已知的定義域?yàn)閇a，b]，其復(fù)合函數(shù)的定義域應(yīng)由不等式解出a≤g(x)≤b。

⑨對(duì)于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問(wèn)題具體情況需對(duì)字母參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論

⑩由實(shí)際問(wèn)題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問(wèn)題的實(shí)際意義

（4）求函數(shù)的值域或最值

求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的。事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最?。ù螅?shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最?。ù螅┲?。因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的，只是提問(wèn)的角度不同。

求函數(shù)值域與最值的常用方法：

①觀察法：對(duì)于比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，我們可以通過(guò)觀察直接得到值域或最值。

②配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值。

③判別式法：若函數(shù)可以化成一個(gè)系數(shù)含有y的關(guān)于的二次方程，則在a(y)≠0時(shí)，由于x、y為實(shí)數(shù)，故必須有，從而確定函數(shù)的值域或最值。

④不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值。

⑤換元法：通過(guò)變量代換達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問(wèn)題。

⑥反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值。

⑦數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值。

⑧函數(shù)的單調(diào)性法。

【1.2.2】函數(shù)的表示法

（5）函數(shù)的表示方法

表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種。

解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

列表法：就是列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

圖象法：就是用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

（6）映射的概念

①設(shè)A、B是兩個(gè)集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則，對(duì)于集合A中任何一個(gè)元素，在集合B中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)（包括集合A，B以及A到B的對(duì)應(yīng)法則）叫做集合A到B的映射，記作:A→B。

②給定一個(gè)集合A到集合B的映射，且a∈A，b∈B，如果元素a和元素b對(duì)應(yīng)，那么我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象。

〖1.3〗函數(shù)的基本性質(zhì)

【1.3.1】單調(diào)性與最大（?。┲?/span>

（1）函數(shù)的單調(diào)性

①定義及判定方法

②在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個(gè)減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個(gè)減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個(gè)增函數(shù)為減函數(shù)。

（3）最大（小）值定義

【1.3.2】奇偶性

（4）函數(shù)的奇偶性

①定義及判定方法

②若函數(shù)為奇函數(shù)，且在x=0處有定義，則。

③奇函數(shù)在y軸兩側(cè)相對(duì)稱(chēng)的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在y軸兩側(cè)相對(duì)稱(chēng)的區(qū)間增減性相反。

④在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)），兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的積（或商）是偶函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的積（或商）是奇函數(shù)．

〖補(bǔ)充知識(shí)〗函數(shù)的圖象

（1）作圖

◆利用描點(diǎn)法作圖：

①確定函數(shù)的定義域；

②化解函數(shù)解析式；

③討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性）；

④畫(huà)出函數(shù)的圖象。

◆利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：

要準(zhǔn)確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖象．

①平移變換

②伸縮變換

③對(duì)稱(chēng)變換

（2）識(shí)圖

對(duì)于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢(shì)、對(duì)稱(chēng)性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系。

（3）用圖

函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問(wèn)題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得問(wèn)題結(jié)果的重要工具．要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法．

〖2.1〗指數(shù)函數(shù)

【2.1.1】指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算

（1）根式的概念

（2）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念

①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：.0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0.

②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：。0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義。注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù)．

（3）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性。

【2.1.2】指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

（4）指數(shù)函數(shù)

〖2.2〗對(duì)數(shù)函數(shù)

【2.2.1】對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算

（1）對(duì)數(shù)的定義

①若，則x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作，其中a叫做底數(shù)，N叫做真數(shù)。

②負(fù)數(shù)和零沒(méi)有對(duì)數(shù)。

③對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：

（2）幾個(gè)重要的對(duì)數(shù)恒等式

（3）常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)

常用對(duì)數(shù)：lgN，即；

自然對(duì)數(shù)：lnN，即（其中e=2.71828...）。

（4）對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

如果，那么：

【2.2.2】對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

（5）對(duì)數(shù)函數(shù)

（6）反函數(shù)的概念

（7）反函數(shù)的求法

①確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；

②從原函數(shù)式中反解出；

③將改寫(xiě)成，并注明反函數(shù)的定義域。

（8）反函數(shù)的性質(zhì)

〖2.3〗冪函數(shù)

（1）冪函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中為自變量，是常數(shù)。

（2）冪函數(shù)的圖象

（3）冪函數(shù)的性質(zhì)

①圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無(wú)圖象。冪函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、二象限(圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng))；是奇函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、三象限(圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng))；是非奇非偶函數(shù)時(shí)，圖象只分布在第一象限。

②過(guò)定點(diǎn)：所有的冪函數(shù)在（0，+∞）都有定義，并且圖象都通過(guò)點(diǎn)（1,1）。

③單調(diào)性：如果a＞0，則冪函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)，并且在[0，+∞）上為增函數(shù)。如果a＜0，則冪函數(shù)的圖象在（0，+∞）上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無(wú)限接近x軸與y軸。

④奇偶性：當(dāng)a為奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)a為偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為偶函數(shù)。當(dāng)（其中q、p互質(zhì)，q和p∈Z），若為奇數(shù)為奇數(shù)時(shí)，則是奇函數(shù)，若p和q為奇數(shù)為偶數(shù)時(shí)，則是偶函數(shù)，若為p偶數(shù)q為奇數(shù)時(shí)，則是非奇非偶函數(shù)。

⑤圖象特征：冪函數(shù)，當(dāng)a＞0時(shí)，若0＜x＜1，其圖象在直線(xiàn)y=x下方，若x＞1，其圖象在直線(xiàn)y=x上方；當(dāng)a＜1時(shí)，若0＜x＜1，其圖象在直線(xiàn)y=x上方，若x＞1，其圖象在直線(xiàn)y=x下方。

〖補(bǔ)充知識(shí)〗二次函數(shù)

（1）二次函數(shù)解析式的三種形式

①一般式；

②頂點(diǎn)式；

③兩根式；

（2）求二次函數(shù)解析式的方法

①已知三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，宜用一般式。

②已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對(duì)稱(chēng)軸有關(guān)或與最大（?。┲涤嘘P(guān)時(shí)，常使用頂點(diǎn)式。

③若已知拋物線(xiàn)與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且橫線(xiàn)坐標(biāo)已知時(shí)，選用兩根式求更方便。

（3）二次函數(shù)圖象的性質(zhì)

①二次函數(shù)的圖象是一條拋物線(xiàn)，對(duì)稱(chēng)軸方程為頂點(diǎn)坐標(biāo)是。

③二次函數(shù)當(dāng)時(shí)，圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)。

（4）一元二次方程根的分布

一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分知識(shí)在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理（韋達(dá)定理）的運(yùn)用，下面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，系統(tǒng)地來(lái)分析一元二次方程實(shí)根的分布。

①k＜x1≤x2→

②x1≤x2＜k→

③x1＜k＜x2af(k)＜0→

④k1＜x1≤x2＜k2→

⑤有且僅有一個(gè)根x₁（或x₂）滿(mǎn)足k₁＜x₁（或x₂）＜k_2→f(k₁)f(k₂)0，并同時(shí)考慮f(k1)=0或f(k2)=0這兩種情況是否也符合

⑥此結(jié)論可直接由⑤推出。

（5）二次函數(shù)在閉區(qū)間[p，q]上的最值

（Ⅰ）當(dāng)a＞0時(shí)（開(kāi)口向上）

(Ⅱ)當(dāng)a＜0時(shí)(開(kāi)口向下)

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