微積分其實(shí)很簡單！只有理解，才會(huì)應(yīng)用！本專欄將和您一起，從最通俗易懂的角度，用最易于理解的方法，真正內(nèi)化吸收微積分的核心概念與算法，幫您輕松掌握與應(yīng)用！

從一到多

大凡做研究，往往都是從一到多的過程，先理解最簡單的“一”，再擴(kuò)展到“二”，再把二的規(guī)律試試看用在“三”上行不行，如果沒問題，那就直接總結(jié)得到了“n”的規(guī)律了。

道生一，一生二，二生三，三生萬物。

——《道德經(jīng)》

微積分也不例外，當(dāng)我們研究完最簡單的“一元函數(shù)”，就不禁要想，“多元函數(shù)”的微積分是什么樣子的呢？

空間中的曲面——二元函數(shù) z（x,y）

偏導(dǎo)數(shù)

前面咱們講過了導(dǎo)數(shù)，知道了導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是斜率。

理解微積分真諦：導(dǎo)數(shù)與微分

咱們還用MATLAB計(jì)算導(dǎo)數(shù)：

當(dāng)時(shí)咱們說，要寫上 x 表示是對(duì) x 求導(dǎo)，而函數(shù)中如果有其它的字母就都當(dāng)成是常數(shù)，不管它們。

其實(shí)，這就是多元函數(shù)中的——

偏導(dǎo)數(shù)

重復(fù)一下，對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)，就是把除x外的其它變量都當(dāng)成常量，再求導(dǎo)。

由此也能猜出來，在MATLAB中，求偏導(dǎo)還是用這個(gè) diff 函數(shù)。

偏導(dǎo)數(shù)幾何解釋

我用Solidworks（一款三維建模軟件）畫了一個(gè)八分之一球，表示一個(gè)二元函數(shù)——

z = z(x,y)

想求： z 對(duì) x 的偏導(dǎo)函數(shù)。

這時(shí)，可以認(rèn)為 y 是一個(gè)常量，那么就沿著 “y = 任意值”切一刀，切出了一條美妙的曲線，函數(shù)變成了 z=z(x)，就變成學(xué)過的曲線求導(dǎo)了。

所以，為什么叫“偏”導(dǎo)數(shù)，就是說，求導(dǎo)數(shù)的時(shí)候“偏心眼”了，只覺得一個(gè)變量是“親變量”，而其它的變量看都不看，直接當(dāng)常量拋棄了。

z對(duì)x的偏導(dǎo) 與 z對(duì)y的偏導(dǎo) 分別表示為：

全微分

微積分的核心思想，就是先求一個(gè)變量的微分，再對(duì)其進(jìn)行積分，前面咱們學(xué)習(xí)了一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，后來又學(xué)習(xí)了積分，綜合學(xué)過的理解，我們總結(jié)一下微分的意義：

dy = y' dx

y的變化=y受x的影響 * x的變化

那么，如何對(duì)一個(gè)多元函數(shù)進(jìn)行微分呢？

比如，z = z(x,y)，那么 dz 如何表示呢？

其實(shí)非常簡單，跟一元函數(shù)完全一樣，大概意思是：

z的變化 = z受x的影響*x的變化 + z受y的影響*y的變化

就是這么簡單，別管你是幾元函數(shù)，分別把每一元對(duì)z產(chǎn)生的影響效果相加，就行了！

表示為：

SO EASY!

畫成幾何圖就是這樣：

全微分的幾何理解

幾何意義是：畫出一個(gè)平面四邊形，來近似代替原來的曲面，這個(gè)平面四邊形最遠(yuǎn)點(diǎn)抬高的距離就是 dz，而這個(gè)距離恰好等于中間兩點(diǎn)抬高距離的和。

梯度

多元函數(shù)微分學(xué)中，除了偏導(dǎo)數(shù)和全微分，第三重要的概念，就是“梯度”了。