立體幾何中的最值問題一般涉及到距離、面積、體積、角度等四個(gè)方面 .

①此類問題 多以規(guī)則幾何體為載體,涉及到幾何體的結(jié)構(gòu)特征以及空間線面關(guān)系的邏輯推理、

空間角與距離的求解等,題目較為綜合 ;

②此類問題 充分考查圖形推理與代數(shù)推理，同時(shí)往往也需要將問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，

比如求一些最值時(shí)，向平面幾何問題轉(zhuǎn)化，這些常規(guī)的降維操作需要備考時(shí)加強(qiáng)關(guān)注與訓(xùn)練．

解決此類問題一般可從以下三個(gè)方面思考：

1、利用傳統(tǒng)方法或空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算,建立所求的目標(biāo)函數(shù),轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解；

2、根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，變動(dòng)態(tài)為靜態(tài)，直觀判斷在什么情況下取得最值；

3、將幾何體平面化，如利用展開圖，在平面幾何圖中直觀求解。

一、距離最值問題

【例題1】如圖 (1) 所示，矩形 ADFE ，矩形 CDFG ，正方形 ABCD 兩兩垂直，

且 AB = 2 ，若線段 DE 上存在點(diǎn) P 使得 GP⊥BP ，則邊 CG 長度的最小值為多少 ？

圖（1）

【解析】

分別以 DA , DC , DF 為坐標(biāo)軸 建立空間坐標(biāo)系，如上圖（1）所示 ：

設(shè) CG = a , P(x , 0 , z) ,

則 x/2 = z/a , 即 z = ax/2 . (相似三角形的性質(zhì))

又 B(2 , 2 , 0) , G(0 , 2 , a) ,

所以 向量 BP = {x-2 , -2 , ax/2} , 向量 GP = {x , -2 , ax/2-a} .

注意：向量不僅有大小而且有方向！

向量 PB ? 向量 PG = x(x-2) + 4 + ax/2 ? (ax/2-a) = 0 . {向量垂直}

∵ x ≠ 0 且 x ≠ 2 ,

∴ a^2 = 16/(2x-x^2) - 4 .

∵ x∈(0 ,2) ,

∴ 2x-x^2 ∈（0 , 1] ,

∴ 當(dāng) 2x-x^2 = 1 時(shí)，a^2 取得最小值 12，

∴ a 的最小值為 2√3 .

二、面積最值問題

【例題2】已知球 O 是正三棱錐 (底面為正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心) ，

A - BCD 的外接球，BC = 3 , AB = 2√3 , 點(diǎn) E 在線段 BD 上 , 且 BD = 3BE，

過點(diǎn) E 作圓 O 的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是 （ ）.

A.[π，4π] B.[2π，4π] C.[3π，4π] D.（0，4π]

【答案】B .

化立體問題為平面問題,結(jié)合平面幾何的相關(guān)知識(shí)求解 .

在求解過程當(dāng)中會(huì)結(jié)合一些平面幾何知識(shí)，例如三角形的中位線，平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等 .

【例題3】如圖 (2) 所示，在三棱錐 P - ABC 中，PA⊥面 ABC，AB⊥AC 且 AC = 1，

AB = 2 , PA = 3 , 過 AB 作截面交 PC 于 D，則截面 ABD 的最小面積為 （ ）.

圖（2）

【答案】C .

【解析】

如圖 (2) 所示，當(dāng) PC⊥面 ABD 時(shí)，截面 ABD 的面積最小，此時(shí)有

三、體積最值問題

【例題4】如圖 (3) 所示，已知平面 α 交平面 β = l , α⊥β，A，B 是直線 l 上的兩點(diǎn)，

C，D 是平面 β 內(nèi)的兩點(diǎn)且 DA⊥l , BC⊥l , DA = 4 , AB = 6 , CB = 8 .

p 是平面 α 上的一動(dòng)點(diǎn) , 且有 ∠APD = ∠BPC，則四棱錐 P-ABCD 體積的最大值是 （ ）.

圖（3）

A. 48 B.16 C.24√3 D. 144

【答案】 A .

本題主要考查面面垂直的性質(zhì)，棱錐的體積公式以及求最值問題.

求最值的常見方法有

①配方法 ; ②換元法；③不等式法；④單調(diào)性法；⑤圖像法 .

若函數(shù)為一元二次函數(shù)，常采用配方法求函數(shù)求值域，其關(guān)鍵在于正確化成完全平方式，并且一定要先確定其定義域；

本題首先根據(jù)線面關(guān)系將體積最值轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題，然后應(yīng)用方法 ① 解答.

四、角的最值問題

【例題5】如圖 (4) 所示，四邊形 ABCD 和 ADPQ 均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn) M 在線段 PQ 上，E，F(xiàn) 分別為 AB , BC 的中點(diǎn) .

設(shè)異面直線 EM 與 AF 所成的角為 θ ，則 cosθ 的最大值是多少？

圖（4）

【答案】 2/5 .

【解析】

建立如圖 (5) 所示的空間坐標(biāo)系 .

圖（5）

設(shè) AB = 1 ，則 向量 AF = {1 ,1/2 , 0} , E(1/2 , 0 , 0) .

設(shè) M（0，y，1）(0 ≤ y ≤ 1) , 則 向量 EM = {-1/2 , y , 1} ,

由于異面直線所成角的范圍為 （0，π/2 ] , 所以

令 8y + 1 = t , 1 ≤ t ≤ 9 , 則

當(dāng) t = 1 時(shí)取等號(hào)，所以

當(dāng) y = 0 時(shí)，取得最大值 2/5 .

空間的角的問題，只要便于建立坐標(biāo)系均可建立坐標(biāo)系，然后利用公式求解。

解本題要注意 :

空間兩直線所成的角是不超過90度的 ;

幾何問題還可結(jié)合圖形分析何時(shí)取得最大值 .

當(dāng)點(diǎn) M 在點(diǎn) P 處時(shí)，EM 與 AF 所成角為直角，此時(shí)余弦值為0（最?。?/p>

當(dāng)點(diǎn) M 向左移動(dòng)時(shí)，EM 與 AF 所成角逐漸變小，

點(diǎn) M 到達(dá)點(diǎn) Q 時(shí)，角最小，余弦值最大 .