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解題研究|八類立體幾何“動態(tài)”問題策略探究

 FX_WBQ 2019-09-01

https://mp.weixin.qq.com/s/UdzoRp62YAYd6VvNzWez5A

 一、前言

“動態(tài)”問題是高考立體幾何問題最具創(chuàng)新意識的題型，它滲透了一些“動態(tài)”的點、線、面等元素，給靜態(tài)的立體幾何題賦予了活力，題意更新穎，同時，由于“動態(tài)”的存在，也使立體幾何題更趨靈活，加強了對學生空間想象能力的考查。在解決動態(tài)幾何問題時。關(guān)鍵在于要注重動態(tài)元素所引發(fā)的圖形變化過程,動中窺靜,靜中見靜,以靜止動。


二、 命題點分析

角度一:截面問題
截面問題是高考立體幾何題中比較常見的題型，由于截面的“動態(tài)”性，使截得平面的結(jié)果也具有一定的可變性。

例題1

數(shù)學第六感

點評：本題屬于結(jié)論開放型探索性命題，可直接利用條件證明，也可在先假設(shè)結(jié)論成立，反溯其具備的條件或推出矛盾從而加以否定。這類問題求解關(guān)鍵是執(zhí)果索因，追溯結(jié)論具備的條件。

例題2

數(shù)學第六感


角度二:動點軌跡問題
動點軌跡問題是高考立體幾何“動態(tài)”問題最為新穎的一種命題形式，它重點體現(xiàn)了在立體幾何與解析幾何的知識交匯處設(shè)計圖形。不但考查了立體幾何點線面之間的位置關(guān)系，而且又能巧妙地考查求軌跡的基本方法，是高考表現(xiàn)最為活躍的一種題型。

例題3

數(shù)學第六感

點評：本題考查點到平面的距離，利用點到直線的距離將平面問題類比到空間中點到面的距離，據(jù)此找到滿足題意的點是否存在即可.

例題4

數(shù)學第六感

點評：將動態(tài)的線線垂直轉(zhuǎn)化為靜態(tài)的線面垂直，是解決這類問題的主要方法。關(guān)鍵從兩平面的交線等特殊直線入手，以靜制動。

例題5

數(shù)學第六感

點評：動點軌跡問題是較為新穎的一種創(chuàng)新命題形式，它重點體現(xiàn)在解析幾何與立體幾何的知識交匯處設(shè)計圖形。不但考察了立體幾何點線面之間的位置關(guān)系，而且又能巧妙地考察求軌跡的基本方法，是最為活躍的一種創(chuàng)新題型。

角度三:折疊、展開問題

圖形的折疊和展開必然會引起部分元素位置關(guān)系的變化，求解這類問題要注意對變化前后線線、線面位置關(guān)系、所成角及距離等加以比較，一般來說，位于棱的兩側(cè)的同一半平面內(nèi)的元素其相對位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系在翻折前后不發(fā)生變化，分別位于兩個半平面內(nèi)的元素其相對關(guān)系和數(shù)量關(guān)系則發(fā)生變化。不可變量可結(jié)合原圖型求解，變化了的量應在折后立體圖形中來求證。

例題6

數(shù)學第六感


角度四:最值范圍問題

例題7

數(shù)學第六感

點評：化曲（折）為直，是研究空間幾何體表面上兩點路徑最短問題的有效方法。其中，由于實現(xiàn)目標手段的多樣性所引起的分類討論應引起必要的重視。

例題8

數(shù)學第六感

點評：立體幾何題中經(jīng)常會涉及角度、距離、面積、體積最大值、最小值的計算，很多情況下，我們可以把這類動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為目標函數(shù)，從而利用代數(shù)方法
求目標函數(shù)的最值。

例題9

數(shù)學第六感

點評：由于目標函數(shù)是關(guān)于三次函數(shù)的最值問題，因此用導數(shù)求解最方便。

角度五:探索新問題

例題10

數(shù)學第六感

點評：由于立體幾何題中“動態(tài)”性的存在，使有些問題的結(jié)果變得不可確定，探索型問題正好通過這種“動態(tài)性”和不確定性考查學生的發(fā)散性思維。引入變量，利用空間垂直關(guān)系及向量數(shù)量積定義將幾何問題代數(shù)化，是本題求解的關(guān)鍵。


角度六:定位問題

例題11

數(shù)學第六感

點評：利用向量的數(shù)量積將幾何問題代數(shù)化，是求解空間幾何動態(tài)問題最常見的方法，利用待定系數(shù)法求找法向量又是求解關(guān)鍵。

角度七:距離角度問題

例題12

數(shù)學第六感

點評：求兩點間的距離或其最值。一種方法，可建立坐標系，設(shè)點的坐標，用兩點間距離公式寫出距離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題；另一種方法，幾何法，根據(jù)幾何圖形的特點，尋找那兩點間的距離最大（小），求其值。

角度八:實際應用題

例題13

數(shù)學第六感

點評：該題的背景為學生所熟悉，考查了學生閱讀理解、空間想象及處理圖形的能力。

例題14

數(shù)學第六感

點評:

1.所求三棱錐的底面積一定，高取最大值時，體積最大，高的最大值顯然是球面上的點到三棱錐底面的最大距離，即為球的半徑加上球心到三棱錐底面的距離。

2．將V表示為x的函數(shù)和用導數(shù)求函數(shù)最值。

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