數(shù)學(xué)產(chǎn)生的結(jié)果有時(shí)是美麗的、令人難以置信的，或者僅僅是意想不到的。結(jié)果如下：

1、四色定理

四色定理

四色定理最早是在1852年由一個(gè)叫Francis Guthrie的人發(fā)現(xiàn)的，他當(dāng)時(shí)正在嘗試在英格蘭所有的郡的地圖上涂上顏色。沒(méi)有多少事要做。他發(fā)現(xiàn)了一件有趣的事，他只需要最多四種顏色，就可以確保共享邊界的所有線都不會(huì)有相同的顏色。Guthrie想知道這是否適用于任何地圖，而這個(gè)問(wèn)題成了一個(gè)多年未解決的數(shù)學(xué)好奇心。

1976年，這個(gè)問(wèn)題終于由肯尼思·阿佩爾和沃爾夫?qū)す辖鉀Q了。他們發(fā)現(xiàn)的證據(jù)相當(dāng)復(fù)雜，部分依賴計(jì)算機(jī)，但它指出，在任何政治地圖中，只需要四種顏色來(lái)給每個(gè)國(guó)家著色，這樣就不會(huì)有同一種顏色的國(guó)家接觸。

2、布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理

布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理

這個(gè)定理來(lái)自于數(shù)學(xué)中的一個(gè)分支，叫做拓?fù)鋵W(xué)，是由Luitzen Brouwer發(fā)現(xiàn)的。雖然它的技術(shù)表達(dá)是相當(dāng)抽象的，它有許多迷人的現(xiàn)實(shí)世界的含義。假設(shè)我們有一張照片（比如《蒙娜麗莎》），我們可以拿一份。然后我們可以做任何我們想做的事情，讓它變大，讓它變小，旋轉(zhuǎn)它，弄皺它，什么都行。布勞威爾的不動(dòng)點(diǎn)定理說(shuō)，如果我們把這個(gè)副本蓋過(guò)我們的原始圖片，必須有至少一個(gè)點(diǎn)，在副本上，是完全超過(guò)了原來(lái)的點(diǎn)。它可能是蒙納的眼睛、耳朵或可能的微笑的一部分，但它必須存在。

這也是三維的：假設(shè)我們有一杯水，我們拿著勺子，想攪拌多少就攪拌多少。根據(jù)布勞威爾定理，至少會(huì)有一個(gè)水分子，和我們開(kāi)始攪動(dòng)之前的位置是完全相同的。

3、羅素的悖論

羅素

在20世紀(jì)之交，許多人被一個(gè)叫做集合論的新的數(shù)學(xué)分支迷住了?；旧?，集合是對(duì)象的集合。當(dāng)時(shí)的想法是，任何事情都可以變成一套：所有類型的水果組合和所有美國(guó)總統(tǒng)的組合都是完全有效的。另外，這一點(diǎn)也很重要，集合可以包含其他集合。1901年，著名數(shù)學(xué)家伯特蘭·羅素意識(shí)到這種思維方式有一個(gè)致命的缺陷，那就是，沒(méi)有任何東西能被做成一套。

羅素決定對(duì)事物進(jìn)行元分析，并描述了一個(gè)包含所有那些不包含自己的集合。所有水果的集合本身并不包含，所以它可以和其他許多水果一起包含在羅素的集合中。但羅素的布景又如何呢？它本身并不包含，所以它也應(yīng)該包括在內(nèi)。但是等等……現(xiàn)在它確實(shí)包含了它本身，所以我們自然要把它取出來(lái)。但我們現(xiàn)在必須把它放回去等等。這一邏輯悖論引發(fā)了對(duì)集合論的徹底改革，集合論是當(dāng)今數(shù)學(xué)最重要的分支之一。

4、費(fèi)爾馬最后定理

費(fèi)爾馬最后定理

還記得畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的定理嗎？它與直角三角形有關(guān)，并且表示兩個(gè)最短邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方(x平方+y平方=z平方)。Pierre de Fermat最著名的定理是，如果用大于2的任何數(shù)替換平方（例如，不能說(shuō)x立方的+y立方的=z立方的立方），那么這個(gè)等式就不成立，只要x、y和z是正整數(shù)。正如費(fèi)馬自己寫的：“我發(fā)現(xiàn)了這方面的一個(gè)真正奇妙的證據(jù)，這個(gè)空白處太窄了，難以容納?！边@真的太糟糕了，因?yàn)楫?dāng)費(fèi)馬特在1637年提出這個(gè)問(wèn)題時(shí)，它已經(jīng)有一段時(shí)間沒(méi)有得到證實(shí)了。有一段時(shí)間，我的意思是，它在1995年被一個(gè)叫安德魯·威爾斯的人證明了。

5、世界末日論

這篇文章的大多數(shù)讀者都是人，這是一個(gè)相當(dāng)合理的假設(shè)。作為人類，這個(gè)條目將特別發(fā)人深省：數(shù)學(xué)可以用來(lái)確定我們物種何時(shí)會(huì)滅絕。不管怎樣使用概率。

這個(gè)論點(diǎn)基本上是說(shuō)，人類的時(shí)間差不多到了。這個(gè)論點(diǎn)的一個(gè)版本（歸屬于天體物理學(xué)家J.Richard Gott）出奇地簡(jiǎn)單：如果一個(gè)人認(rèn)為人類的整個(gè)生命周期是從出生到死亡的時(shí)間線，那么我們就可以確定我們現(xiàn)在所處的時(shí)間線。

因?yàn)楝F(xiàn)在只是我們作為一個(gè)物種存在的一個(gè)隨機(jī)點(diǎn)，所以我們可以用95%的準(zhǔn)確率說(shuō)，我們處在時(shí)間線的中間95%的位置。如果我們現(xiàn)在說(shuō)，我們正好是進(jìn)入人類生存的2.5%，我們就得到了最長(zhǎng)的預(yù)期壽命。如果我們說(shuō)我們有97.5%的人生活，那我們的平均壽命就最短了。這使我們能夠得到人類預(yù)期壽命的范圍。根據(jù)哥特的說(shuō)法，從5100年到780萬(wàn)年之間，人類死亡的概率是95%。所以，這就是你要做的，人類最好把它列在那張遺愿清單上。

6、非歐幾里德幾何

非歐幾里德幾何

另一點(diǎn)你可能會(huì)記得從學(xué)校是幾何學(xué)，這是一部分?jǐn)?shù)學(xué)涂鴉在你的筆記是重點(diǎn)。我們大多數(shù)人所熟悉的幾何學(xué)叫做歐幾里德幾何學(xué)，它是基于五個(gè)相當(dāng)簡(jiǎn)單的自明真理，即公理。它是線和點(diǎn)的規(guī)則幾何，我們可以在黑板上畫出來(lái)，在很長(zhǎng)一段時(shí)間里，它被認(rèn)為是幾何學(xué)工作的唯一方式。

然而，問(wèn)題在于，歐幾里德在2000多年前所描述的不言而喻的事實(shí)，并不是每個(gè)人都如此不證自明。有一條公理（稱為平行公設(shè)）從未正確地適用于數(shù)學(xué)家，幾個(gè)世紀(jì)以來(lái)，許多人試圖使它與其他公理相協(xié)調(diào)。在18世紀(jì)初，人們嘗試了一個(gè)大膽的新方法：把第五個(gè)公理簡(jiǎn)單地?fù)Q成別的東西。一個(gè)新的幾何學(xué)系統(tǒng)被發(fā)現(xiàn)，而不是破壞整個(gè)系統(tǒng)的幾何學(xué)，現(xiàn)在被稱為雙曲幾何學(xué)。這導(dǎo)致科學(xué)界發(fā)生了徹底的范式轉(zhuǎn)換，并為許多不同類型的非歐幾何打開(kāi)了大門。其中一個(gè)比較突出的類型叫做黎曼幾何，它被用來(lái)描述愛(ài)因斯坦的相對(duì)論（有趣的是，我們的宇宙不遵守歐幾里德幾何?。?/p>

7、歐拉公式

歐拉公式

歐拉公式是這個(gè)列表中最強(qiáng)大的結(jié)果之一，這要?dú)w功于有史以來(lái)最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家之一，Leonhard Euler。他一生中發(fā)表了800多篇論文，其中許多是瞎子。

乍一看，他的結(jié)果看起來(lái)非常簡(jiǎn)單：e^(i*pi)+1=0。對(duì)于那些不知道的人，e和pi都是數(shù)學(xué)常量，它們出現(xiàn)在各種意想不到的地方，而我代表的是假想單位，一個(gè)數(shù)等于-1的平方根。關(guān)于歐拉公式，值得注意的是它是如何將數(shù)學(xué)中五個(gè)最重要的數(shù)（例如，pi，0，和1）組合成這樣一個(gè)優(yōu)雅的方程的。物理學(xué)家理查德·費(fèi)曼（Richard Feynman）將其稱為“數(shù)學(xué)中最顯著的公式”，其重要性在于將數(shù)學(xué)的多個(gè)方面統(tǒng)一起來(lái)的能力。

8、圖靈的萬(wàn)能機(jī)器

萬(wàn)能機(jī)器

我們生活在一個(gè)由計(jì)算機(jī)控制的世界里。你現(xiàn)在正在電腦上閱讀這份清單！不用說(shuō)，電腦是20世紀(jì)最重要的發(fā)明之一，但如果你知道電腦的核心是理論數(shù)學(xué)，這可能會(huì)讓你吃驚的是，它的核心就是從理論數(shù)學(xué)領(lǐng)域開(kāi)始的。

數(shù)學(xué)家艾倫圖靈開(kāi)發(fā)了一個(gè)理論對(duì)象稱為圖靈機(jī)。圖靈機(jī)就像一臺(tái)很基本的計(jì)算機(jī)：它使用一個(gè)無(wú)限長(zhǎng)的磁帶和3個(gè)符號(hào)（比如0,1和空白），然后操作一組指令。指令可以是將0更改為1，將一個(gè)空格向左移動(dòng)，或者填空并向右移動(dòng)一個(gè)空格。這樣，圖靈機(jī)就可以用來(lái)執(zhí)行任何定義良好的函數(shù)。

圖靈接著又描述了通用車削機(jī)，它是一種圖靈機(jī)，可以用任何輸入模擬任何圖靈機(jī)。這基本上就是存儲(chǔ)程序計(jì)算機(jī)的概念。圖靈只使用數(shù)學(xué)和邏輯，在技術(shù)甚至可以制造一臺(tái)真正的計(jì)算機(jī)之前，他就創(chuàng)建了計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域。

9、無(wú)限的不同層次

無(wú)窮大已經(jīng)是一個(gè)很難掌握的概念。人類不是生來(lái)就能理解無(wú)窮無(wú)盡的事物的，正因?yàn)槿绱?，?shù)學(xué)家們對(duì)無(wú)窮大一直持謹(jǐn)慎態(tài)度。直到19世紀(jì)下半葉，喬治·康托才發(fā)展出數(shù)學(xué)中稱為集合論的分支，這個(gè)理論使他能夠思考無(wú)窮大的本質(zhì)。而他的發(fā)現(xiàn)確實(shí)令人難以置信。

結(jié)果是，每當(dāng)我們想象無(wú)窮大，總會(huì)有不同類型的無(wú)窮大。無(wú)窮大的最低級(jí)是整數(shù)的量（1，2，3…），它是一個(gè)可數(shù)無(wú)窮大。通過(guò)一些非常優(yōu)雅的推理，Cantor確定在這之后還有另一個(gè)無(wú)窮的級(jí)別，即所有實(shí)數(shù)的無(wú)窮大。這種無(wú)限是不可數(shù)的，這意味著，即使你在宇宙中擁有所有的時(shí)間，你也不可能列出所有的實(shí)數(shù)，而又不失一些。但是等一下，事實(shí)證明在那之后還有更多不可數(shù)的無(wú)窮級(jí)。有多少？當(dāng)然是無(wú)限的數(shù)字。

10、哥德?tīng)?/span>的不完全性定理

哥德?tīng)?/strong>

1931年，奧地利數(shù)學(xué)家哥德?tīng)栕C明了兩個(gè)定理，它們震撼了數(shù)學(xué)世界的核心，因?yàn)樗鼈円黄鹫故玖艘恍┝钊司趩实臇|西：數(shù)學(xué)不是，也永遠(yuǎn)不會(huì)是完整的。

在不涉及技術(shù)細(xì)節(jié)的情況下，哥德?tīng)?/span>表明，在任何正式系統(tǒng)中，都有某些關(guān)于該系統(tǒng)的真實(shí)陳述，而該系統(tǒng)本身是無(wú)法證明的。從根本上說(shuō)，他證明了公理化系統(tǒng)不可能是完全自成一體的，這與之前所有的數(shù)學(xué)假設(shè)背道而馳。永遠(yuǎn)不會(huì)有一個(gè)包含所有數(shù)學(xué)的封閉系統(tǒng)，只有那些隨著我們不成功的嘗試而變得越來(lái)越大的系統(tǒng)。

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