在初中數(shù)學(xué)中有這樣一個(gè)定理:在直角三角形中，若一個(gè)銳角為30°，則它所對(duì)的邊是斜邊的一半.它通過角的關(guān)系揭示出了邊的關(guān)系，從角的類別跨出到了邊的類別，建立了不同類別之間的聯(lián)系，所以非常重要，那么在證明線段之間的倍分關(guān)系時(shí)，我們就要注意提醒自己，題中是否含有30°、60°或120°的特殊角，或者通過某種方法構(gòu)造含30°的直角三角形.這一定理運(yùn)用比較廣泛，下面結(jié)合八年級(jí)的習(xí)題分別說明。

一.直接運(yùn)用含30°角的直角三角形的性質(zhì)

1.如圖，在等邊三角形ABC中，AE=CD，AD，BE相交于點(diǎn)P，BQ⊥AD于點(diǎn)Q.

求證:BP=2PQ.

【分析】由等邊三角形ABC知，AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°且AE=CD，顯然△ACD≌△BAE.結(jié)論要證BP=2PQ，想到在直角三角形BQP中，找30°角或60°，而∠BPQ=∠ABP+∠BAP，由△ACD≌△BAE，可知∠ABP=∠CAD，所以∠BPQ=∠BAP+∠CAD=∠BAC=60°則達(dá)到目的.

證明:∵△ABC為等邊三角形，∴AC=AB，∠C=∠BAC=60°，又AE=CD，∴△ACD≌△BAE，∴∠CAD=∠ABE，∵∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°，∴∠ABE+∠BAP=∠BPQ=60°，∵BQ⊥AD，∴∠BQP=90°，∴∠PBQ=90°一∠BPQ=30°，∴BP=2PQ.

2.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD=AB，∠ABD=30°.

求證:AD=DC.

【分析】欲證，AD=CD，想到什么:等腰三角形三線合一;想到證底角相等？不管你想到哪個(gè)定理和性質(zhì)，還得聯(lián)系其他條件，條件有，等腰直角三角形BAC，有∠ABD=30°，這些條件又與結(jié)論怎樣聯(lián)系呢？那我們就要畫輔助線試著分析一下，因?yàn)椤螦BD=30°，AB=BD，可得，∠BAD=∠BDA=75°，過點(diǎn)A作AE⊥BD于E，E為垂足，使30°的角處于直角三角形中，則有∠EAD=15°，AE=AB/2，又分析出∠CAD=15°，則AD是∠CAE的角平分線，而DE⊥AE，于是想到過點(diǎn)D作DF⊥AC于F，則可證△EAD≌△FAD，得AF=AE=AB/2=AC/2，∴F是AC的中點(diǎn)，∴DF垂直平分AC，∴AD=DC，得證.如圖

證明:過點(diǎn)A作AE⊥BD于E，過點(diǎn)D作DF⊥AC于F，∴∠AEB=∠AED=∠AFD90°則在Rt△AEB中，∵∠ABD=30°，∴AE=AB/2，又∵AB=AC，則AE=AC/2，在△ABD中，∵AB=BD，∠ABD=30°，∴∠BAD=1/2(180°一30°)=75°，∵∠BAC=90°，∴∠DAC=15°，而在Rt△AED中，可知∠BAE=60°，∴∠EAD=15°，所以根據(jù)∠DAC=∠EAD=15°，∠AED=∠AFD=90°，AD=AD，可得△EAD≌△FAD，∴AF=AE=AC/2，即F是AC的中點(diǎn)，∴DF垂直平分AC，∴AD=DC.

那么依據(jù)∠DAC=∠DCA是否也可證AD=DC呢？只要同學(xué)們善于分析，還是可以的，下面給出一種作輔助線的方法，希望同學(xué)們仔細(xì)體會(huì).以BC為邊在△ABC的同側(cè)作等邊三角形BEC，連接AE，如圖，

由于正三角形，等腰直角三角形的對(duì)稱性可知，EA平分∠BEC，所以∠BEA=30°，由于∠ABC=60°，∠ABC=45°，∠ABD=30°，所以∠EBA=∠CBD=15°，而AB=BD，BE=BC，∴△EBA≌△CBD，∴∠BCD=∠BEA=30°，則∠ACD=15°，由上邊證得知∠DAC=15°，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=DC，此法關(guān)鍵是作出一個(gè)等邊三角形，有同學(xué)要問，你怎么就知道作等邊三角形呢？顯然我也是學(xué)來的，多總結(jié)，多歸納，多記憶，多體會(huì)，你也會(huì)知道這種輔助線。

【對(duì)應(yīng)練習(xí)】

1.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以AC，AB為邊在△ABC外側(cè)作等邊△ACD和等邊△ABE，連接DE交AB于F，求證:DF=EF.

二.連線段構(gòu)造含30°角的直角三角形

3如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥AC于E，AE=8，求CE的長.

【分析】本題不難，∵AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，所以很自然的要連接AD，則AD⊥BC，而∠BAC=120°，∴∠C=30°，∠DAC=60°，∠ADE=30°，因?yàn)锳E=8，所以AD=16，所以AC=32，則CE=AC一AE=32一8=24.

4.如圖，已知在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，DE垂直平分AB交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，求證:CE=2BE.

【分析】條件有，DE垂直平分AB，根據(jù)'垂直平分線上的點(diǎn)，到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，所以連接AE，則BE=AE，因?yàn)椤螦=120°，則∠B=∠C=30°，同時(shí)∠BAE=∠B=30°，則∠EAC=90°，所以CE=2AE=2BE.

三.延長兩邊構(gòu)造含30°角的直角三角形

5.如圖，在四邊形ABCD中，AD=4，BC=1，∠A=30°，∠B=90°，∠ADC=120°，求CD的長.

【分析】由于∠A=30°，∠B=90°，依托圖形，延長BC，延長AD，交于點(diǎn)E，構(gòu)造含30°角的直角三角形，如下圖

則AE=2BE，∠E=60°，又∵∠ADC=120°，∴∠EDC=60°，∴三角形DEC為等邊三角形，∴DC=DE=CE，設(shè)DC=a，則4十a(chǎn)=2(1十a(chǎn))，解得a=2，即DC=2，本題還可作垂線段等構(gòu)造含30°角的直角三角形，有好多種方法， 同學(xué)們自己做一下.

四.作垂線段構(gòu)造含30°角的直角三角形

6.如圖，在四邊形ABCD中，∠B=90°，DC∥AB，AC平分∠BAD，∠DAB=30°，求證:AD=2BC.

【分析】此題有AC平分∠BAD，CD∥AB，則出等腰△ADC(角分平，等腰呈)，又∠B=90°，想到角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，所以過點(diǎn)C作CE⊥AD，交AD延長線于E，則BC=CE，而AD=DC，又DC∥AB，∠DAB=30°，∴DC=2BE，則AD=2BC.(過性質(zhì)，定理，引出相應(yīng)的輔助線，成功的實(shí)現(xiàn)了轉(zhuǎn)化).

7.如圖，在△ABC中，BD=DC，AD⊥AC，∠BAD=30°，求證:AC=AB/2.

【分析】∵∠BAD=30°，∴過點(diǎn)B作BE⊥AD，交AD的延長線于點(diǎn)E，如圖

則BE=AB/2，∠BED=∠CAD=90°，又∠ADC=∠BDE，BD=DC，∴△BDE≌△CDA，∴AC=BE=AB/2.(本題因BD=DC，所以倍長中線也可證出)

【總結(jié)】輔助線往往來于定理或性質(zhì)，或圖形的完整補(bǔ)充，我們可以做一些難題，更重要的是，通過做題，歸納總結(jié)方法.

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