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題說(shuō)《怎樣解題》（二十六）你以前見(jiàn)過(guò)它嗎？ 例2-1． 如圖§2.1- 1，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于點(diǎn)D，且AD=6，CD=3，求BD的長(zhǎng)。 解：因?yàn)椤螧AC=45°是個(gè)熟悉的元素，利用這個(gè)元素的方法，一般是構(gòu)造一個(gè)直角三角形以利用45°形成等腰直角來(lái)解決問(wèn)題。因此過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB，交AB于點(diǎn)E，如圖§2.1- 2。 因?yàn)锳D⊥BC（已知） 所以△ADC、△ABD為直角三角形，△ABC面積=1/2×BC×AD 所以AC^2=AD^2+DC^2（勾股定理） 所以AC^2=6^2+3^2 所以AC=3√5 因?yàn)镃E⊥AB（已作），∠BAC=45°（已知） 所以△AEC為等腰直角三角形，△BCE為直角三角形，△ABC面積=1/2×AB×CE 所以在△AEC 中AE=CE=AC/√2 因?yàn)锳C=3√5（已證） 所以AE=CE=3√5/√2=3/2×√10 設(shè)BD=x，則BC=x+CD 因?yàn)锽C=x+CD，CD=3（已知） 所以BC=x+3 因?yàn)椤鰽BC面積=1/2×BC×AD（已證），BC=x+3（已證），AD=6（已知） 所以△ABC面積=1/2×(x+3)×6 因?yàn)椤鰽BD為直角三角形（已證） 所以AB^2=AD^2+BD^2（勾股定理） 因?yàn)锳D=6（已知），BD=x（已設(shè)） 所以AB^2=6^2+x^2 求得AB=√（6^2+x^2） 因?yàn)椤鰽BC面積=1/2×AB×CE（已證），AB=√（6^2+x^2）（已證），CE=3/2×√10（已證） 所以△ABC面積=1/2×√（6^2+x^2）×3/2×√10 因?yàn)椤鰽BC面積=1/2×(x+3)×6（已證），△ABC面積=1/2×√（6^2+x^2）×3/2×√10（已證） 所以1/2×(x+3)×6=1/2×√（6^2+x^2）×3/2×√10 解這個(gè)方程得到x=2（其中還有一根為負(fù)值，舍去） 所以BD的長(zhǎng)為2 例2-2． 如圖§2.1- 3，已知直線L1∥L2，一個(gè)45°角的頂點(diǎn)A在L1上，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥L2，垂足為點(diǎn)D，AD=12。將這個(gè)角繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)（角的兩邊足夠長(zhǎng)），旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若角的兩邊與L2分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)（E在F左面），且AE＜AF，DE=4，求DF的長(zhǎng)。 解：如果解題者有例2-1的經(jīng)驗(yàn)，你以前見(jiàn)過(guò)它嗎？或者你見(jiàn)過(guò)同樣的題目以一種稍有不同的形式出現(xiàn)嗎？當(dāng)你看見(jiàn)本題時(shí)，自然會(huì)想起例2-1。本題與例2-1．在敘述的方式上似乎有很多的不同，例2-1給出已知數(shù)據(jù)的形式簡(jiǎn)潔明了，本題給出已知數(shù)據(jù)的方式云山霧罩，相對(duì)復(fù)雜，但經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的比較，可以知道，它們實(shí)質(zhì)上是一致的，因此，幾乎可以完全復(fù)制例2-1的解題經(jīng)驗(yàn)來(lái)解決本題。 過(guò)E作EG⊥AF，交AF于G，如圖§2.1- 4 AE=√(AD^2+DE^2)= √(12^2+4^2)=4√10 EG=AE/√2=4√10/√2=4√5 設(shè)DF=x，則EF=x+4 AF=√(AD^2+DF^2)=√(12^2+x^2) 1/2×(x+4)×12=1/2×√(12^2+x^2)×4√5 解得x=6 例2-1與例2-2的相似度在90%以上，可以說(shuō)幾乎完全一樣，它們即是互為同樣的題目，或者以一種稍有不同的形式出現(xiàn)的同樣的題目。 以上所講的內(nèi)容，是以一道完整的題目，即一個(gè)整體來(lái)考量的，而事實(shí)上，這句誘導(dǎo)語(yǔ)的使用還可以從局部或細(xì)節(jié)入手，即，局部啟發(fā)整體。它可以從題目的某些特征，某些元素做起，比如，你以前見(jiàn)過(guò)這個(gè)已知數(shù)據(jù)嗎？它是怎樣發(fā)揮作用的？你以前見(jiàn)過(guò)類似的未知量嗎？它是怎樣求出的？通過(guò)回答這些問(wèn)題，解題者就可以從記憶中提取出相關(guān)的元素，動(dòng)用蟄伏著的某些知識(shí)，“現(xiàn)在這道題目的任何特征，只要它在解答別的某些題目中起過(guò)作用，就可能再起作用?！保ā对鯓咏忸}》第92頁(yè)） 但是，對(duì)于一個(gè)雄心勃勃試圖提高自己解題水平的解題者來(lái)說(shuō)，是不愿意重復(fù)做過(guò)的題目的，對(duì)他們來(lái)說(shuō)，那可能是一種折磨。事實(shí)上，解題者遇到的題目大部分的相似度達(dá)不到100%。“或者你見(jiàn)過(guò)同樣的題目以一種稍有不同的形式出現(xiàn)”，比如，一道解答題，以填空題的形式出現(xiàn)，已知量和未知量量都一樣，但是以不同的敘述方式呈現(xiàn)，或者已知量和未知量量的大部分相同或相似，但還是有些區(qū)別，就像一個(gè)多年未見(jiàn)的老朋友，如果不在特定的場(chǎng)合比如同學(xué)會(huì)、校慶等等，你都不敢打招呼，寒暄之后，你總會(huì)發(fā)現(xiàn)若隱若現(xiàn)的原來(lái)熟悉的影子。你以前見(jiàn)過(guò)它嗎？或者你見(jiàn)過(guò)同樣的題目以一種稍有不同的形式出現(xiàn)嗎？如果解題者能肯定的回答這個(gè)問(wèn)題，解題者就識(shí)別出了兩道題目之間的相似性，找到了它們之間的共同點(diǎn)，就可以利用過(guò)去那道題的方法、念頭來(lái)解答本道題了。如果解題者連過(guò)去那道題的解答過(guò)程都忘記了，那么就需要把它找出來(lái)重溫一遍，這應(yīng)了一句話“向前進(jìn)，有時(shí)需要往后看”。     |
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