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弗雷格 杜瑞芝 (大連理工大學(xué)) 弗雷格，F(xiàn)．L．G．(Frege，F(xiàn)riedrich Ludwig Go-ttlob)1848年11月8日生于德國維斯馬(Wismar)；1925年7月26日卒于巴德克萊茵(Bad Kleinen)．?dāng)?shù)學(xué)、邏輯學(xué)、哲學(xué)． 弗雷格出生的年代正值德國民主革命開始．維斯馬是一個(gè)遠(yuǎn)離德國政治中心的小商業(yè)城鎮(zhèn)，革命風(fēng)潮對(duì)這里影響很小．弗雷格出生在一個(gè)信奉路德教的中產(chǎn)階級(jí)家庭，在血統(tǒng)上是混雜的(部分是德國的，部分是波蘭的)．其父亞歷山大·弗雷格(AlexanderFrege)開辦了一所女子學(xué)校．他去世后這所學(xué)校就由他妻子來管理．1869年，母親奧古斯特·弗雷格(Auguste Frege)送弗雷格到耶拿大學(xué)就讀．當(dāng)時(shí)弗雷格就把數(shù)學(xué)作為自己的主要興趣，但也選修了化學(xué)、物理和哲學(xué)．他的老師——數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家E．阿貝(Abbe)及時(shí)發(fā)現(xiàn)了他的才能，成為他畢生信念的支持者．在阿貝的幫助下，他離開耶拿，來到格丁根大學(xué)繼續(xù)深造．1873年，在數(shù)學(xué)家E．謝林(Schering)的指導(dǎo)下，弗雷格以論文“論平面上虛影的幾何圖形”(Ueber eine geometrische Darstellung derim ginaren Gebilde in der Ebene)獲得哲學(xué)博士學(xué)位．該論文通過對(duì)平面上虛影圖形性質(zhì)的討論，闡明了幾何學(xué)基于直覺的觀點(diǎn)．他在格丁根還參加了著名哲學(xué)家R．H．洛采(Lotze)的講座．洛采的邏輯觀念，特別是他對(duì)純邏輯的看法，對(duì)弗雷格邏輯思想的形成有著重要的影響． 弗雷格在格丁根大學(xué)獲得博士學(xué)位之后，又回到耶拿大學(xué)．在阿貝的幫助下，他于1874年以論文“基于量值概念外延的演算方法”(Rechungsmethoden，die sich auf eine Erweitung desGr ssenbegriffes gr nden)獲得了無薪大學(xué)講師的資格①．在這篇論文中，弗雷格提出了用于運(yùn)算的量值概念，并斷言算術(shù)真理產(chǎn)生于量值概念．1879年，弗雷格的《概念語言》問世之后，他又一次在阿貝的推薦下成為耶拿大學(xué)的編外教授．1896年成為榮譽(yù)教授．弗雷格在耶拿大學(xué)執(zhí)教40余年，講授過數(shù)學(xué)的各分支學(xué)科及有關(guān)的邏輯系統(tǒng)，舉辦過“概念符號(hào)”講座，他一直致力于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、數(shù)學(xué)哲學(xué)和邏輯理論的研究．1918年退休． 弗雷格首先是作為一位數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家而聞名于世的．他在數(shù)學(xué)上的主要成就，是使自C．F．高斯(Gauss)以來所建立的數(shù)學(xué)體系更精確和完善，確立了算術(shù)演算的基本規(guī)則．他第一個(gè)建立了初步自足的命詞演算系統(tǒng)和量詞理論，首次提供了現(xiàn)代意義下的數(shù)理邏輯的一個(gè)體系，因而成為數(shù)理邏輯的奠基人．他提出數(shù)學(xué)可以化歸為邏輯的思想，成為邏輯主義的創(chuàng)始人．弗雷格還是一位杰出的哲學(xué)家．他的絕大部分著作都具有明顯的哲學(xué)特征．他認(rèn)為：“一個(gè)好的數(shù)學(xué)家，至少是半個(gè)哲學(xué)家；一個(gè)好的哲學(xué)家，至少是半個(gè)數(shù)學(xué)家．”他直接把傳統(tǒng)哲學(xué)對(duì)思維內(nèi)容和認(rèn)識(shí)能力的探討，轉(zhuǎn)向?qū)φZ言表達(dá)形式和語言內(nèi)部框架的考慮．他認(rèn)為對(duì)語言意義的分析，是哲學(xué)研究的主要任務(wù)．弗雷格對(duì)哲學(xué)任務(wù)的重新規(guī)定，標(biāo)志著當(dāng)代西方分析哲學(xué)的開端．因此他被譽(yù)為當(dāng)代分析哲學(xué)的真正奠基者． 弗雷格的主要著作有：《概念語言》、《算術(shù)的基礎(chǔ)》、《函項(xiàng)與概念》(Function und Begriff，1891)、《論意義和所指》( ber Sinn und Bedeutung，1892)、《論概念和對(duì)象》( berBegriff und Gegenstand，1892)、《算術(shù)的基本規(guī)律》1—2卷(以下簡(jiǎn)稱《基本規(guī)律》)． 弗雷格的科學(xué)生涯大致可以分為五個(gè)時(shí)． 在第一個(gè)時(shí)期，弗雷格主要從事純邏輯的研究．其研究成果總結(jié)在1879年出版的《概念語言》中．用數(shù)學(xué)方法研究邏輯問題，一般認(rèn)為是由G．W．萊布尼茨(Leibniz)提出的文字學(xué)設(shè)想開始．他提出過有關(guān)思維演算的思想．萊布尼茨的這種先驅(qū)性想法沒有及時(shí)得到應(yīng)有的發(fā)展．在淹沒了一個(gè)世紀(jì)之后，19世紀(jì)英國的兩位數(shù)學(xué)家A．德摩根(De Morgen)和G．布爾(Boole)用代數(shù)的方法建立了邏輯代數(shù)．但這種邏輯代數(shù)與亞里士多德(Ar-istotle)的形式邏輯本質(zhì)上是相似的．在1874—1879年間，弗雷格攻讀了布爾學(xué)派和一些哲學(xué)邏輯學(xué)家的著作．除上文提到的洛采外，18世紀(jì)德國哲學(xué)家A．特倫德倫堡(Trendelenburg)的著作對(duì)弗雷格也有較大的影響．通過特倫德倫堡的工作使弗雷格了解到萊布尼茨關(guān)于邏輯語言的觀點(diǎn)．弗雷格還追隨特倫德倫堡，把他的邏輯符號(hào)系統(tǒng)稱作“概念語言”．弗雷格用心研究萊布尼茨和I．康德(Kant)的邏輯學(xué)和數(shù)學(xué)哲學(xué)方面的著作，有選擇地接受了兩位哲學(xué)家的思想．在弗雷格晚年，他是這樣描述自己的研究動(dòng)機(jī)的：“我開始是搞數(shù)學(xué)．在我看來，這門科學(xué)急需更好的基礎(chǔ)：……語言邏輯的不完善對(duì)這種研究是一種障礙．我在《概念語言》中尋求彌補(bǔ)．所以，我就從數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)向了邏輯．” 經(jīng)過5年的沉思，弗雷格完成了一部劃時(shí)代的著作——《概念語言》．在這本書里，弗雷格把從洛采和特倫德倫堡，以及從萊布尼茨和康德那里得到的觀點(diǎn)，變成一種全新的邏輯．這本不足80頁的小書是弗雷格的不朽之作．弗雷格在此建立的邏輯有效地終結(jié)了亞里士多德邏輯兩千多年來一直占據(jù)的統(tǒng)治地位，完成了始于幾百年前G．伽利略(Galilei)破除亞里士多德物理學(xué)的進(jìn)程．在《概念語言》中，弗雷格創(chuàng)造了一種表意的語言，即“純粹思想的語言”．正如他在這本書的副標(biāo)題中所說——它可以使我們完全精確地表達(dá)判斷的概念內(nèi)涵．弗雷格認(rèn)為，真理分為兩種，一種真理的證明必須以經(jīng)驗(yàn)事實(shí)為根據(jù)，例如物理學(xué)中的定理．另一種真理的證明似乎可以純粹從邏輯規(guī)律出發(fā)．他認(rèn)為算術(shù)命題就是屬于后一種的．在探討如何根據(jù)思維的邏輯規(guī)律經(jīng)過推理以得到算術(shù)命題時(shí)，必須絕對(duì)嚴(yán)格，要防止未被查覺的直觀因素滲入，因此必須使推理過程沒有漏洞．他覺得日常語言是表達(dá)嚴(yán)密思想的障礙．當(dāng)所表達(dá)的關(guān)系越復(fù)雜時(shí)，日常語言就越不能滿足要求．因此他創(chuàng)造了這種概念語言．他說，用這種語言進(jìn)行推理，最有利于覺察隱含的前提和有漏洞的步驟．這種語言和日常語言相比，就好像機(jī)械手和人手相比，或者像顯微鏡和肉眼相比一樣．利用這種語言，弗雷格成功地構(gòu)造了一個(gè)嚴(yán)格的邏輯演算體系．下面簡(jiǎn)要介紹一下弗雷格邏輯演算的內(nèi)容． 1．弗雷格嚴(yán)格區(qū)別了命題的表達(dá)和斷定．他認(rèn)為，我們只有能夠表達(dá)一個(gè)思想，理解一個(gè)思想，才能對(duì)它加以斷定．他引進(jìn)斷定符號(hào)“├”．“├┌”表示“┌是被斷定的”．其中垂直短線“｜”稱為判斷短線，水平短線“—”稱為內(nèi)容短線．“—┌”是一個(gè)整體，它只表達(dá)可斷定的內(nèi)容，即命題的表達(dá)．而“├┌”才表示命題的斷定．如“├┌”表示“不同的磁極相互吸引”這一斷言，而“—┌”只是表達(dá)了不同磁極相互吸引這一思想，而對(duì)這一思想的正確性沒有任何判斷． 2．弗雷格明確提出真值蘊(yùn)涵的思想并指出它與日常語言的區(qū)別．他采用否定和蘊(yùn)涵作為基本的邏輯聯(lián)結(jié)詞．他用小豎線“ ”放在內(nèi)容短線下面表示否定．“┬┌”表示“非┌”．符號(hào) 表示“△蘊(yùn)涵┌”．他列舉了┌和△的四種可能的真值組合：(1)┌肯定，△肯定；(2)┌肯定，△否定；(3)┌否定，△肯定；(4)┌否定，△否定．用符號(hào)“ ”表示以上第三種可能不實(shí)現(xiàn)而其余三個(gè)可能性中的每一個(gè)都可實(shí)現(xiàn)．弗雷格說，當(dāng)┌為真時(shí)，△蘊(yùn)含┌?？杀粩喽?，在此情形下，△可以是任一命題，其具體內(nèi)容完全無所謂．┌和△不必有因果關(guān)系，與日常語言中的“如果……則”不同． 3．弗雷格引進(jìn)一個(gè)內(nèi)容同一的符號(hào)．設(shè)┌和△為任意名稱，即不一定是命題記號(hào)，他規(guī)定，“├(┌≡△)”的意思是“名稱┌和名稱△有相同的概念內(nèi)容，使得┌總是能由△替換，反之亦然”．他還指出，由他的新符號(hào)所聯(lián)結(jié)的名稱不僅代表它們的內(nèi)容而且代表名稱自身．后來，他改用符號(hào)“=”，“=”不被看成兩個(gè)名字之間的關(guān)系，而是看成名字的指稱之間的關(guān)系．“=”用于專門的指稱，相當(dāng)于等詞；用于命題的指稱(真值)，則相當(dāng)于現(xiàn)在的等值符號(hào)． 4．弗雷格把數(shù)學(xué)中的函數(shù)概念引入邏輯演算，從而建立了量詞的理論．他采用變目和函項(xiàng)兩個(gè)術(shù)語，┌表示變目，記號(hào)Φ(┌)表達(dá)變目┌的一個(gè)不確定的函項(xiàng)．記號(hào)Ψ(┌，△)表達(dá)按順序所取的兩個(gè)變目┌和△的一個(gè)函項(xiàng)．假定如下一種函項(xiàng)：當(dāng)它由變目填滿時(shí)，它表達(dá)可能的判斷內(nèi)容．于是，“├Φ(┌)”讀作“┌有性質(zhì)Φ”，“├Ψ(┌，△)”讀作“┌與△有關(guān)系Ψ”．弗雷格使用這種符號(hào)的主要優(yōu)點(diǎn)是，它能夠比普通語言所提供的方式更令人滿意地表達(dá)一般性．在此基礎(chǔ)上，弗雷格引進(jìn)了全稱量詞和存在量詞 表示“不管怎樣取函項(xiàng)的變目，函項(xiàng)總是一個(gè)事實(shí)”．即“凡a都是Φ．在這里，全稱量詞是基本概念，存在量詞則通過全稱量詞而表達(dá)為 它表達(dá)“至少有一個(gè)a是Φ”． 5．弗雷格建立了9條公理，用現(xiàn)代的符號(hào)表示為： (1)├a→(b→a)， (2)├(c→(b→a))→((c→b)→(c→a))， (3)├(d→(b→a))→(b→(d→a))， (4)├(b→a)→(┐a→ ┐b)， (5)├ ┐┐a→a， (6)├a→ ┐┐a， (7)├(c=d)→(f(c)→f(d))， (8)├c=c， 公理以外有四條變形規(guī)則： (2)代入規(guī)則，弗雷格使用了但沒有嚴(yán)格地陳述． 假定a并不在表達(dá)式Г中出現(xiàn)，而且a僅處于Φ(a)的變目空位中． a不在┌和△中出現(xiàn)，Φ(a)中的a只處于變目空位中．事實(shí)上，這條規(guī)則是第三條規(guī)則的推廣． 弗雷格在上述公理和規(guī)則的基礎(chǔ)上，進(jìn)行了大量的推演，成功地構(gòu)造了一種基本自足的邏輯演算，從而給出了歷史上第一個(gè)嚴(yán)格的關(guān)于邏輯規(guī)律的公理系統(tǒng)——現(xiàn)代的邏輯系統(tǒng)．它實(shí)質(zhì)上包含了作為現(xiàn)代數(shù)理邏輯基礎(chǔ)的兩個(gè)演算系統(tǒng)——命題演算系統(tǒng)和一階謂詞演算系統(tǒng)． 不幸的是，弗雷格這本劃時(shí)代的小冊(cè)子被數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家們忽視了．他在《概念語言》中建立的新邏輯沒有馬上被人理解．其中使用復(fù)雜而陌生的符號(hào)來表達(dá)新奇的概念，確使讀者望而生畏．德國數(shù)學(xué)家E．施羅德(Schrder)發(fā)表長(zhǎng)篇文章，對(duì)該書進(jìn)行全面批評(píng)．事實(shí)上，直到B．A．W．羅素(Russell)1901年開始發(fā)現(xiàn)弗雷格著作的價(jià)值之前，《概念語言》幾乎沒有讀者． 《概念語言》出版之后，弗雷格的創(chuàng)造生涯進(jìn)入第二時(shí)期．在這一時(shí)期，弗雷格開始形成邏輯主義的觀點(diǎn)．在最初幾年，他由于自己的著作沒有受到重視而大受挫折，沒有發(fā)表任何作品．但他仍然在重新思考和深刻挖掘自己的哲學(xué)和數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，并逐漸形成了他的數(shù)學(xué)哲學(xué)的三個(gè)主要原則：第一，他反對(duì)在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題上的經(jīng)驗(yàn)主義，否認(rèn)數(shù)學(xué)來源的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)真理的先天性；第二，他認(rèn)為數(shù)學(xué)真理是客觀的，這種客觀性基于數(shù)學(xué)的非經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)．在他看來，客觀性是思想的必要條件；第三，他主張一切數(shù)學(xué)最終都可化歸為邏輯，數(shù)學(xué)概念可以定義為邏輯普遍要求的概念，數(shù)學(xué)公理可以從邏輯原則中得到證明．這第三條原則后來被羅素作為邏輯主義的基本主張而廣為傳播，弗雷格因此成為邏輯主義的創(chuàng)始人之一． 弗雷格在《算術(shù)的基礎(chǔ)》中力圖作為邏輯的延展去建立數(shù)學(xué)．為此，首先要從邏輯推出算術(shù)．為使大家能夠理解他的著作，他對(duì)自己的觀點(diǎn)及關(guān)于數(shù)和算術(shù)所流行的各種哲學(xué)觀點(diǎn)作了非形式的說明．然后他指出，要從邏輯推出算術(shù)，首先必須給出數(shù)和自然數(shù)的定義． 弗雷格接受他的前輩的觀點(diǎn)：所有大于1的自然數(shù)可由指出它們的前趨即用“2=1+1”，“3=2+1”一類等式來定義．但他認(rèn)為，這些定義是不完全的，因?yàn)槭褂昧恕皵?shù)1”和“加1”這兩個(gè)未定義的概念．他考察了從歐幾里得(Euclid)到G．康托爾(Cantor)以來的許多數(shù)學(xué)家的著作，發(fā)現(xiàn)關(guān)于數(shù)的定義是相當(dāng)混亂的．他指出在此之前所見到的一切關(guān)于數(shù)的定義都含有基本的邏輯錯(cuò)誤．他說：“數(shù)是什么？這是一個(gè)最根本的問題．如果我們對(duì)這個(gè)問題都不能做清楚的回答，豈不是一個(gè)笑話？”又說：“數(shù)學(xué)的本質(zhì)就在于，一切能證明的都要證明，而不是通過歸納法來驗(yàn)證．因此，我們也應(yīng)考慮如何來證明關(guān)于正整數(shù)的命題．” 弗雷格發(fā)展了《概念語言》中關(guān)于數(shù)學(xué)序列的理論．在那里他用“遺傳性”定義了“y屬于從x開始的f-序列”和“y是x的f-后裔”，為自然數(shù)的定義和說明數(shù)學(xué)歸納法作了理論和技術(shù)上的準(zhǔn)備．弗雷格給出的自然數(shù)的定義的核心在于使用了“一一對(duì)應(yīng)”的概念：屬于兩個(gè)概念F和G的對(duì)象借助于關(guān)系Φ一一對(duì)應(yīng)，如果(1)每一個(gè)屬于概念F的對(duì)象對(duì)于屬于概念G的一個(gè)對(duì)象，有關(guān)系Φ；(2)對(duì)于屬于概念G的每一個(gè)對(duì)象，存在一個(gè)屬于概念F并與前者有關(guān)系Φ的對(duì)象；(3)對(duì)所有x，y和z而言，如果x對(duì)y和z有關(guān)系Φ，那么y和z就是同樣的；(4)對(duì)所有x，y和z而言，如果x和y對(duì)z有關(guān)系Φ，那么x和y就是同樣的． 弗雷格在此基礎(chǔ)上構(gòu)造了以下三個(gè)定義： (1)“概念F與概念G是等數(shù)的”與“存在一個(gè)關(guān)系Φ，使得屬于概念F的對(duì)象與屬于概念G的對(duì)象一一對(duì)應(yīng)”其意義是相同的． (2)屬于概念F的數(shù)是“與概念F等數(shù)”這一概念的外延． (3)“n是一個(gè)數(shù)”與“存在一個(gè)概念使得n是屬于它的數(shù)”其意義是相同的． 接著他又定義了“n在自然數(shù)序列中是m的直接后繼”：“存在一個(gè)概念F和一個(gè)歸于它的對(duì)象x，使得屬于概念F的數(shù)是n，屬于概念‘歸于F但不同于x’的數(shù)是m”．這實(shí)質(zhì)上是后繼函數(shù)的定義． 在這些工作的基礎(chǔ)上，弗雷格取0作為數(shù)列的起點(diǎn)，提出如下定義： 0是屬于概念“不同于自身”的數(shù)， 1是屬于概念“同于0”的數(shù)， 2是屬于概念“同于0或同于1”的數(shù)， 3是屬于概念“同于0或同于1或同于2”的數(shù)， …… 可見，1在自然數(shù)序列中是0的直接后繼，2在自然數(shù)序列中是1的直接后繼，等等． 事實(shí)上，弗雷格所用到的“一一對(duì)應(yīng)”概念與康托爾所謂的集合的“等價(jià)”意義是一樣的，弗雷格指出，他的數(shù)與康托爾理論中集合的“勢(shì)”或“基數(shù)”是相同的．兩個(gè)概念同數(shù)，就是兩個(gè)集合等價(jià)．概念“與概念F等數(shù)”的外延，就是與集合F等價(jià)的一切集合構(gòu)成的集合．所以弗雷格實(shí)際上是把數(shù)定義為集合的集合，或類的類．利用康托爾的語言，概括弗雷格關(guān)于數(shù)的定義： (1)一個(gè)集合的基數(shù)是所有等價(jià)于它的集合的集合． (2)0=df·｛^｝(空集合的單元集) 1=df·｛0｝ 2=df·｛0，1｝ 3=df·｛0，1，2｝ 弗雷格的后續(xù)函數(shù)的定義實(shí)際上是說：后續(xù)函數(shù)把等價(jià)集合的集合m映射到一個(gè)新的集合的集合Φ(m)(即n)，Φ(m)中的每一個(gè)集合是由在m中的某一個(gè)集合加上一個(gè)新分子而得到． 由此可見，自然序列中的每一個(gè)數(shù)，有一個(gè)直接后繼的數(shù)．這樣，自然數(shù)就由0和后繼函數(shù)而確定下來． 有邏輯學(xué)家評(píng)論，弗雷格的這個(gè)定義系統(tǒng)是哲學(xué)技巧中極其卓越的成就．人們也很容易理解，為什么弗雷格認(rèn)為他至少使得算術(shù)化歸為邏輯是可能的． 在《算術(shù)的基礎(chǔ)》的最后幾頁，弗雷格指出，其他類型的數(shù)，也可以用類似的方式加以定義．實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)同樣可以刻畫為概念的外延．在《基本規(guī)律》的第二卷中，他闡明了這個(gè)方案是如何實(shí)施于實(shí)數(shù)的． 康托爾在1884年也給出數(shù)的定義，但弗雷格的定義比康托爾的更為精確． 弗雷格從邏輯出發(fā)定義了數(shù)和自然數(shù)，他對(duì)自然數(shù)的歸納定義也是對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的最好說明．他認(rèn)為，借助于上述定義，自然數(shù)的概念就被化歸成了邏輯的概念；自然數(shù)的理論則可以借助于上述定義和邏輯得到建立，這樣，算術(shù)理論就被“邏輯化”了． 弗雷格在他的第三時(shí)期集中精力寫作《基本規(guī)律》．原計(jì)劃寫三卷，實(shí)際上只完成兩卷(1893，1903)．弗雷格準(zhǔn)備在這部專著中，從邏輯出發(fā)去展開除了幾何學(xué)以外的全部數(shù)學(xué)．他認(rèn)為，邏輯的原則是完全可靠的，一旦完成了上述工作，數(shù)學(xué)“就被固定在一個(gè)永恒的基礎(chǔ)上了．” 1893年，出版了《基本規(guī)律》第一卷，它是《算術(shù)的基礎(chǔ)》的理論的嚴(yán)謹(jǐn)發(fā)展，書中改進(jìn)了《概念語言》符號(hào)系統(tǒng)，提出了不同的公理，闡述了高階謂詞演算．從《概念語言》到《基本規(guī)律》，弗雷格的邏輯發(fā)生了三個(gè)主要變化：(1)他在自己的系統(tǒng)中加上了函項(xiàng)的值域這一概念；(2)區(qū)分了意義的兩個(gè)方面，即“所指”和“意義”；(3)更為嚴(yán)格地規(guī)定了與對(duì)象相對(duì)的函項(xiàng)的性質(zhì)，明確提出了“第一層函項(xiàng)”和“第二層函項(xiàng)”的區(qū)別．第一層函項(xiàng)就是以前所定義的函項(xiàng)，其變目是對(duì)象，第二層函項(xiàng)就是函項(xiàng)的函項(xiàng)，其變目是函項(xiàng)，例如在Mβ(F(β))中，Mβ就是第二層函項(xiàng)，其變目是F．弗雷格還把概念分為第一層概念和第二層概念．這些邏輯上的變化在《基本規(guī)律》第一卷之前的5篇文章①中就已經(jīng)提出并作了解釋． 弗雷格在《基本規(guī)律》第一卷中建立了另一個(gè)邏輯系統(tǒng)——二階謂詞演算，提出了新的公理．他用‘xF(x)代表F(x)的值域，例如，若F(x)表達(dá)“x是人”，則它的值域‘xF(x)就表達(dá)“人類”．他還引進(jìn)代表定冠詞的函項(xiàng)符號(hào)＼x．如＼’xF(x)讀為“那個(gè)具有性質(zhì)F的x”．用現(xiàn)在的符號(hào)表示弗雷格的新公理如下： 在這個(gè)新系統(tǒng)中，除分離規(guī)則和代入規(guī)則之外，弗雷格還把原來系統(tǒng)的一些公理和定理作為新的推理規(guī)則．在這一系統(tǒng)中處理了命題演算，謂詞演算，類理論和關(guān)系理論，更重要的是進(jìn)行了推導(dǎo)算術(shù)的工作． 《基本規(guī)律》第一卷出版后，再次受到冷遇．只有G．皮亞諾(Peano)在1895年作了評(píng)述，但他對(duì)這本書的內(nèi)容沒有足夠的理解．這再一次使弗雷格深感痛苦．然而，弗雷格并沒有放棄自己的目標(biāo)，他繼續(xù)撰寫《基本規(guī)律》第二卷，其中主要論述實(shí)數(shù)的理論，并用較多的篇幅批評(píng)當(dāng)時(shí)流行的觀點(diǎn)． 但是，弗雷格并沒有完成他的計(jì)劃．因?yàn)橐斫鈹?shù)學(xué)科學(xué)的性質(zhì)，除了算術(shù)以外，還必須考慮無窮集合的理論——集合論．弗雷格沒有深入研究集合論，沒有接觸到關(guān)于無窮集合的各種問題，特別是悖論問題．1902年，正當(dāng)弗雷格等待《基本規(guī)律》第二卷付印的時(shí)候，他收到了羅素6月16日寫給他的信．信中首先稱頌他的工作：“就我所知，您的工作是我們時(shí)代中最好的．”“在許多具體問題上，我發(fā)現(xiàn)您的著作都進(jìn)行了討論、區(qū)分和定義，這使其他邏輯學(xué)家的工作黯然失色．”具有諷刺意味的是，羅素的來信既標(biāo)志著弗雷格的工作開始得到承認(rèn)，也宣告了他的獨(dú)創(chuàng)性工作的終結(jié)．因?yàn)榱_素在他的信中接著寫道： “只有在一點(diǎn)上我遇到了困難①，……由于下述矛盾：令W為不能論斷自身的謂詞的謂詞，W可以論斷自身嗎？每種回答都隱含著它的否定①，因而人們必須得出，W不是一個(gè)謂詞．同理，沒有不包含自身的作為整體的類的類．由此我得到，在某種條件下，一個(gè)可定義的集合沒有構(gòu)成一個(gè)整體．” 羅素當(dāng)時(shí)并沒有完全認(rèn)識(shí)到他的發(fā)現(xiàn)是怎樣嚴(yán)重地威協(xié)著弗雷格的邏輯主義綱領(lǐng)．但是，弗雷格本人毫無疑問地認(rèn)識(shí)到這個(gè)矛盾的潛在致命力．他對(duì)羅素來信的反映迅速而強(qiáng)烈，他馬上復(fù)信[15]： “您發(fā)現(xiàn)的矛盾引起了我極大的震驚，我?guī)缀蹩梢哉f是驚愕不已，因?yàn)樗鼊?dòng)搖了我建立算術(shù)基礎(chǔ)的企圖，……我的《基本規(guī)則》第二卷看來是有缺陷的．我無疑要補(bǔ)充一個(gè)附錄，對(duì)您的發(fā)現(xiàn)作出論述．” 在1903年，弗雷格出版了帶有一個(gè)后記(寫于1902年10月)的《基本規(guī)則》的第二卷．他在后記中不無悲哀地寫道： “對(duì)于一個(gè)科學(xué)工作者來說，最不幸的事情莫過于：當(dāng)他完成他的工作時(shí)，發(fā)現(xiàn)他的知識(shí)大廈的一塊基石突然動(dòng)搖了．正當(dāng)本書的印刷接近完成之際，伯倫特·羅素先生給我的一封信使我陷入這種境地．這封信是關(guān)于我的公理V的問題．我本人從來沒有掩蓋這條公理缺乏其他公理所具有的并必為邏輯規(guī)律所正當(dāng)要求的自明性． …… 成為問題的恰恰不是我建立算術(shù)的特殊方式，而是算術(shù)是否完全可能有一個(gè)邏輯基礎(chǔ)．” 弗雷格的第四時(shí)期是在極度消沉中度過的．這一時(shí)期長(zhǎng)達(dá)十幾年．最初，他相信能有補(bǔ)救的辦法使他的系統(tǒng)避免矛盾．他首先提出一種設(shè)想：可能有一些概念沒有相應(yīng)的類．然后他用修改第Ⅴ公理的辦法來阻止羅素悖論的衍生．但是，后來邏輯學(xué)家的工作證明，他所做的努力并不足以使他的系統(tǒng)避免不一致．他還打算論述集合論的邏輯悖論(1906)．經(jīng)過幾年的努力之后，弗雷格似乎不那么相信能夠找到解決矛盾的辦法．雖然他沒有公開放棄自己的主張，但也不再做進(jìn)一步的努力．至到1918年，弗雷格才徹底放棄把算術(shù)化歸為邏輯的一切希望，放棄了《基本規(guī)律》第三卷的寫作計(jì)劃．從此以后，他又進(jìn)入了新的研究時(shí)期．他的研究興趣仍在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上，并很自然地轉(zhuǎn)向幾何學(xué)，提出了幾何學(xué)是整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)的主張．弗雷格在1903年以后發(fā)表的論著很少． 雖然弗雷格的邏輯主義綱領(lǐng)沒有實(shí)現(xiàn)，但是他的獨(dú)創(chuàng)性工作對(duì)數(shù)學(xué)和哲學(xué)的發(fā)展都產(chǎn)生了重要影響．他的成就在有生之年沒有得到廣泛的承認(rèn)，只是通過少數(shù)幾位有洞察力的人的努力，他的思想才逐漸得到理解，并通過他們的工作得到發(fā)展． 首先認(rèn)識(shí)到弗雷格工作重要性的是羅素．羅素在他的《數(shù)學(xué)原理》(Principles of mathematics，1903)的附錄中，對(duì)弗雷格的邏輯進(jìn)行了深入細(xì)致的研究，對(duì)弗雷格的從《概念語言》到《基本規(guī)律》第一卷等論著作了廣泛詳盡的評(píng)論．羅素發(fā)展了弗雷格的思想，他和A．N．懷特海(Whitehead)在《數(shù)學(xué)原理》(Principia mathematica，1910)中精詳論證，充分展開了邏輯主義綱領(lǐng)．書中可以看出弗雷格的明顯影響，甚至羅素與弗雷格不同的觀點(diǎn)也是受到弗雷格著作中難點(diǎn)的啟示而提出的．羅素表示：“在邏輯分析問題上，我們主要是從弗雷格獲得教益．”稍后，羅素的學(xué)生和朋友L．維特根斯坦(Wittgenstein)成為弗雷格的崇拜者．這位20世紀(jì)的著名思想家明確指出，他的哲學(xué)工作的兩個(gè)來源是“弗雷格的巨著和我的朋友羅索的著作”．30年代末期，由弗雷格本人的學(xué)生L．卡爾納普(Carnap)以及美國邏輯學(xué)家A．丘奇(Church)的倡導(dǎo)，弗雷格的邏輯理論，特別是關(guān)于意義和所指的學(xué)說重新引起人們的研究興趣[27]．1950年，《算術(shù)的基礎(chǔ)》英譯本出版，在使用英語的數(shù)學(xué)家中產(chǎn)生很大影響． 1918年以前，弗雷格一直安靜地生活在耶拿這座小小的大學(xué)城內(nèi)．他身材矮小，性格膽怯羞澀．弗雷格的工作長(zhǎng)期得不到理解和承認(rèn)．一般認(rèn)為，他的著作對(duì)于大多數(shù)數(shù)學(xué)家來說是過于哲學(xué)化了，而對(duì)大多數(shù)哲學(xué)家來說又過于數(shù)學(xué)化了．弗雷格的著作長(zhǎng)期受到冷遇，在相當(dāng)長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)，哲學(xué)雜志和數(shù)學(xué)雜志都拒絕發(fā)表他的論文．由于得不到專業(yè)上的承認(rèn)，他在耶拿大學(xué)當(dāng)了好多年的編外教授．弗雷格還經(jīng)受了長(zhǎng)遠(yuǎn)計(jì)劃失敗的體驗(yàn)．所有這一切使他變得比較內(nèi)向．他長(zhǎng)期遠(yuǎn)離自己的數(shù)學(xué)和哲學(xué)同事．但是，弗雷格全心全意追求真理，從不追求個(gè)人名聲；他屢受拙折而不放棄自己的奮斗目標(biāo)；他勇于承認(rèn)自己的失敗并另辟蹊徑提出新的主張．弗雷格這種追求真理的執(zhí)著精神和科學(xué)態(tài)度值得后人學(xué)習(xí)． |
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