圖片來源：Klaus Kremmerz for Quanta Magazine

來源 Quanta Magazine

撰文 Erica Klarreich

翻譯 戚譯引

審校 孫英特

在 9 月 20 日發(fā)布的一篇論文里，波恩大學(xué)的彼得·舒爾茨（Peter Scholze）和法蘭克福大學(xué)的雅各布·斯蒂克斯（Jakob Stix）稱，望月新一（Shinichi Mochizuki）發(fā)布的系列論文中有一個“嚴(yán)重的，無法解決的錯誤”，用斯蒂克斯的話說。望月新一是京都大學(xué)的一名極富才華的數(shù)學(xué)家，在 2012 年，他在論文中嘗試證明ABC猜想，這是數(shù)論中最深奧的問題之一。

~ 望月新一關(guān)于ABC猜想的論文 ~

Mochizuki, Shinichi (2011), 'Inter-universal Teichmüller Theory: A Progress Report', Development of Galois–Teichmüller Theory and Anabelian Geometry. The 3rd Mathematical Society of Japan, Seasonal Institute.

Mochizuki, Shinichi (2012a), Inter-universal Teichmuller Theory I: Construction of Hodge Theaters

Mochizuki, Shinichi (2012b), Inter-universal Teichmuller Theory II: Hodge–Arakelov-theoretic Evaluation

Mochizuki, Shinichi (2012c), Inter-universal Teichmuller Theory III: Canonical Splittings of the Log-theta-lattice

Mochizuki, Shinichi (2012d), Inter-universal Teichmuller Theory IV: Log-volume Computations and Set-theoretic Foundations

盡管數(shù)論學(xué)家召開了多場會議來討論望月的證明，他們?nèi)匀浑y以理解它的深層思想。那些論文總計五百多頁，論述極為晦澀難懂，而且引用了另外五百多頁的望月先前的工作。斯坦福大學(xué)數(shù)學(xué)家布萊恩·康拉德（Brian Conrad）形容研讀這些論文有“一種無限后退的感覺”。

諾丁漢大學(xué)的伊萬·費(fèi)森科（Ivan Fesenko）在一封郵件中寫道，約 12 到 18 名深入研究過這個證明的數(shù)學(xué)家認(rèn)為它是對的。但康拉在去年十二月的一次博客討論中評論，只有“跟望月在同一條軌道”的數(shù)學(xué)家為證明的準(zhǔn)確性作出了擔(dān)保，“就算是私下討論，也沒有其他人愿意說他們肯定這個證明是完備的”。

不過，在十二月的一篇博客文章中，芝加哥大學(xué)的法蘭克·卡里加利（Frank Calegari）指出：“數(shù)學(xué)家很不愿意指出望月的論證中有問題，因為他們不能指出任何確定性的錯誤?！?/span>

這個局面現(xiàn)在有了變化。舒爾茨和斯蒂克斯在文章中指出，在望月新一的四篇論文中的第三篇，“推論 3.12”的證明的末尾處的一行論證有根本缺陷。這條推論對望月新一的 ABC 猜想的證明極為重要。

舒爾茨說：“我認(rèn)為 ABC 猜想仍然是公開問題，每個人仍然有機(jī)會證明它?！?/span>

圖片來源：Nyani Quarmyne for Quanta Magazine

舒爾茨和斯蒂克斯的結(jié)論的理論依據(jù)不僅來自他們自己對論文的研究，還來自于一次為期一周的訪問。三月，他們到京都大學(xué)訪問了望月及同事星裕一郎（Yuichiro Hoshi），討論了這個證明。舒爾茨說，這次訪問發(fā)揮了巨大的作用，讓他和斯蒂克斯能夠?qū)⒎磳σ庖娺M(jìn)一步提煉出精華。兩人在報告中寫道，他們“得出結(jié)論，（ABC 猜想）沒有被證明“。

但是，那次會面導(dǎo)致了一個令人不滿的奇特結(jié)果：望月無法說服舒爾茨和斯蒂克斯，他的論證是可靠的；而另外兩人也無法說服望月新一，他的論證并不可靠。望月新一已經(jīng)將舒爾茨和斯蒂克斯的文章貼到了自己的網(wǎng)站上，并附上了幾篇自己的文章作為反駁。（本文作者曾邀請望月和星作出評論，但兩人沒有回復(fù)。）

在反駁中，望月認(rèn)為舒爾茨和斯蒂克斯的批評是源自對他的工作的“某些基本的誤解”。他寫道，他們的“負(fù)面姿態(tài)”不能說明（他的理論中）任何缺陷的存在。

正如望月新一的聲譽(yù)讓數(shù)學(xué)界將他的工作視為證明 ABC 猜想的一次嚴(yán)肅的嘗試，舒爾茨和斯蒂克斯的地位保證了數(shù)學(xué)界會關(guān)注他們所說的內(nèi)容。年僅三十歲的舒爾茨在這個領(lǐng)域中已經(jīng)聲名鵲起，今年八月，他獲得了數(shù)學(xué)界的最高榮譽(yù)菲爾茲獎。而斯蒂克斯是望月的研究領(lǐng)域——非阿貝爾幾何學(xué)（anabelian geometry）中的專家。

康拉德說：“彼得和雅各布都是極其謹(jǐn)慎而深思熟慮的數(shù)學(xué)家，他們的任何顧慮……絕對值得被嚴(yán)肅對待?！?/span>

 康拉德將 ABC 猜想稱為“數(shù)論中最杰出的猜想之一”，它始于一個你能想到的最簡單的問題：a b = c。設(shè) a、b、c 為正整數(shù)，且沒有任何公共的素數(shù)因子——例如，我們可以考慮 8 9 = 17，或 5 16 = 21；但 6 9 = 15 不符合條件，因為6、9 和 15 都能被 3 整除。

給定這樣的一個方程，然后考慮這三個數(shù)字所有的素因數(shù)。例如，對 5 16 = 21，我們的質(zhì)因數(shù)是 5、3、2、7。將這些數(shù)字相乘，得到 210，這個數(shù)字比原先的等式中任何一個數(shù)字都要大得多。相比之下，對等式 5 27 = 32，其質(zhì)因數(shù)為 5、3 和 2，它們的乘積為 30，比原先的等式中的 32 要小。這個乘積之所以變得很小，是因為 27 和 32 是由較小的素因數(shù)（分別為 3 和 2）多次乘積得到。

如果你開始探索其他的 ABC 組合，你會發(fā)現(xiàn)第二種情形極其罕見。例如，從 1 到 100 之間，你能得到 3044 個不同的數(shù)字組合，而其中只有 7 個組合的質(zhì)數(shù)乘積小于 c。這種組合極少出現(xiàn)。ABC 猜想最初在上世紀(jì)八十年代被提出，對這個直覺判斷進(jìn)行了描述。

具體而言，回到 5 27 = 32 的例子中，32 要大于 30，但只比它大一點點。它小于 30²，小于 30^1.5，甚至小于 30^1.02（約等于 32.11）。ABC 猜想聲稱，如果你選擇任何一個大于 1 的指數(shù)，那么只有有限個 ABC 組合，其中 c 大于素因數(shù)的乘積的相應(yīng)的冪。

牛津大學(xué)的金明迥（Minhyong Kim）說：“ABC 猜想是一個關(guān)于乘法和加法的基本命題?！倍沁@樣的命題，“讓你感覺仿佛正在揭開一個你從未見過的數(shù)字系統(tǒng)的某種非?；A(chǔ)的結(jié)構(gòu)”。

而且，a   b = c  方程的簡潔意味著大量其他的問題都落入了它的范圍之中。例如，費(fèi)馬大定理描述形式為 xⁿ   yⁿ = zⁿ 的方程，而卡特蘭猜想（Catalan's conjecture）認(rèn)為 8 和 9 是僅有的兩個連續(xù)的完全冪數(shù)（因為 8 = 2³，9 = 3²），它涉及到方程 x^m  1 = yⁿ。而 ABC 猜想將以特定形式將對這兩個定理提出新的證明，并解決大量與其相關(guān)的公開問題。

雅各布·斯蒂克斯是非阿貝爾幾何領(lǐng)域的專家，這正是望月工作的領(lǐng)域。圖片來源：MFO

哥倫比亞大學(xué)的多利安·戈德菲爾德（Dorian Goldfeld）曾寫道，這個猜想“仿佛永遠(yuǎn)處在已知與未知的邊界之上”。

ABC 猜想的證明將帶來極其豐富的成果，這使得數(shù)論學(xué)家相信證明這一猜想很可能極其困難。因此，當(dāng) 2012 年有傳言稱望月已經(jīng)給出了證明，許多數(shù)論學(xué)家一頭扎進(jìn)了他的工作中，卻被陌生的語言和不同尋常的表達(dá)方法弄得一頭霧水。定義綿延好幾頁，接下來是命題同樣冗長的定理，而他的證明基本上只說：“從定義中直接可得”。

卡里加利在十二月的博文中寫道：“每次我聽到一個專家（私底下）對望月的論文進(jìn)行分析，報告都令人厭煩地相似：大量的細(xì)節(jié)，然后是一道未被證明的結(jié)論的懸崖。”

舒爾茨是論文的早期讀者之一。他以能夠快速深度吸收數(shù)學(xué)知識聞名，走得比許多數(shù)論學(xué)家都要遠(yuǎn)；在論文發(fā)布之后不久，他便讀完了四篇主要的論文，他稱之為“艱難的閱讀”。舒爾茨對冗長的定理和簡短的證明感到困惑，他覺得這有效但不夠充分。他后來寫道，在中間的兩篇文章里，“似乎并沒有發(fā)生什么”。

隨后，舒爾茨轉(zhuǎn)向第三篇論文中的推論 3.12。數(shù)學(xué)家通常用“推論“（corollary）一詞表示之前的重要定理的次級結(jié)論。但是，對于望月的推論 3.12，數(shù)學(xué)家們同意這是 ABC 猜想證明的核心。卡里加利寫道，沒有它“就根本沒有證明”，“那是一個關(guān)鍵步驟”。

這條推論是中間兩篇論文中唯一一條證明過程超過幾行的定理——足足有九頁。舒爾茨在閱讀過程中發(fā)現(xiàn)，有一個地方他完全不能跟上邏輯。

舒爾茨當(dāng)時只有 24 歲，他相信這個證明過程有缺陷。但他大多數(shù)時候沒有參與關(guān)于論文的討論，只在被直接詢問意見的時候作出回答。盡管如此，他認(rèn)為其他數(shù)學(xué)家或許會在論文中找到被他忽略的重要思想。或者，他們也許最終會作出和他一樣的結(jié)論。他認(rèn)為，無論以哪種方式，數(shù)學(xué)界肯定能找到點什么。

與此同時，其他數(shù)學(xué)家正在與這些論文艱苦搏斗。2015 年末，一場討論望月工作的會議在牛津大學(xué)進(jìn)行，許多人對此滿懷希望。但是，康拉德在會議之后不久發(fā)表的一篇報告中寫道，當(dāng)幾個與望月合作密切的學(xué)者試圖描述證明的核心思想的時候，聽眾仿佛遇到了“一團(tuán)濃霧”。他寫道：“那些理解了這項工作的人需要更好地向算術(shù)幾何（代數(shù)幾何的一個分支）學(xué)家解釋它為何有效”。

在康拉德的帖子發(fā)布之后幾天內(nèi)，就有三位數(shù)學(xué)家分別主動郵件聯(lián)系了他（其中一位就是舒爾茨），他們都提到了同一件事：他們都閱讀和理解了那些論文，直到遇到了某個點。“每個人都表示，那個絆住了他們的證明就是 3.12”，康拉德后來寫道。

金也從另一位數(shù)學(xué)家越川皓永（Teruhisa Koshikawa，現(xiàn)任職于京都大學(xué)）那里聽到了相似的對推論 3.12 的質(zhì)疑。而斯蒂克斯也被卡在了同一個地方。漸漸地，多位數(shù)論學(xué)家開始意識到這個推論是一個死結(jié)，但他們?nèi)圆幻鞔_到底是這個論證有漏洞，還是望月需要更好地解釋他的論證。

隨后，2017 年末有謠言稱望月的論文已被接受，即將發(fā)表，這令許多數(shù)論學(xué)家大驚失色。望月本人就是相關(guān)期刊《數(shù)學(xué)科學(xué)研究所公刊》（Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences，簡稱PRIMS）的主編，這個安排被卡里加利稱為“糟糕的決策”（不過編輯通常會避免讓自己陷于這樣的境地）。不過相比之下，許多數(shù)論學(xué)家更關(guān)心的是這些論文是否仍然如此難以閱讀——在他們看來。

在 2015 年的一場討論他的工作的學(xué)術(shù)會議上，望月新一出現(xiàn)在視頻中。圖片來源：Philipp Ammon for Quanta Magazine

芝加哥大學(xué)的馬修·艾默頓（Matthew Emerton）寫道：“沒有一個聲稱讀懂了這些論證的專家成功向（為數(shù)眾多的）其他仍舊一頭霧水的專家進(jìn)行了解釋?！?/span>

對于，卡里加利在一篇博文中批評這樣的情況是“徹底的災(zāi)難”，得到了眾多著名數(shù)論學(xué)家的一致贊同。“我們現(xiàn)在面臨著這個荒謬的情況，ABC 在京都成了一個定理，但是在其他任何地方都仍然是一個猜想”，卡里加利寫道。

PRIMS 很快對媒體作出回應(yīng)，聲明這些論文實際上并沒有被接受。不過在此之前，舒爾茨決定公開他先前一段時間對數(shù)論學(xué)家私下討論的內(nèi)容。他認(rèn)為，圍繞這一證明的討論變得“過于社會化”：“每個人都在說這感覺不像一個證明，但是沒有人說出來，‘實際上證明中有一個地方?jīng)]人能看懂’。

因此，在卡里加利博文的評論區(qū)，舒爾茨留言稱自己“完全無法跟上推論 3.12 的證明中圖 3.8 之后的邏輯”。他補(bǔ)充，“那些聲稱理解了證明的數(shù)學(xué)家不愿意承認(rèn)，這個地方還缺點什么?！?/span>

望月在京都大學(xué)的同事、菲爾茲獎得主森重文（Shigefumi Mori）給舒爾茨發(fā)送郵件，提議讓他和望月進(jìn)行一次會面。舒爾茨聯(lián)系了斯蒂克斯，三月，兩人來到京都，與望月和星談?wù)摿俗C明中的這道關(guān)卡。

在證明 ABC 猜想的嘗試中，望月將其轉(zhuǎn)換成一個關(guān)于橢圓曲線的問題，這是一種特殊的三次方程，有兩個變量 x 和 y。這個轉(zhuǎn)換過程很簡單，在望月的工作之前就已經(jīng)廣為人知——只需要將每一個 ABC 方程與一條圖像與 x 軸相交于 a、b 和原點的橢圓曲線聯(lián)系起來，但它能讓數(shù)學(xué)家探索橢圓曲線的豐富結(jié)構(gòu)，從而將數(shù)論與幾何、微積分和其他領(lǐng)域聯(lián)系起來。（同樣的轉(zhuǎn)換正是安德魯·威爾斯(Andrew Wiles) 1994 年證明費(fèi)馬大定理的核心過程。）

隨后，證明 ABC 猜想就相當(dāng)于證明橢圓曲線的兩個量值之間具備一定的不等關(guān)系。望月工作將這個不等關(guān)系進(jìn)一步轉(zhuǎn)換成另一種形式，斯蒂克斯說，這可以被認(rèn)為是對比兩個集合的體積量。推論 3.12 正是望月證明這個新的不等關(guān)系的過程，如果它成立，ABC 猜想就得到了證明。

正如舒爾茨和斯蒂克斯所描述的那樣，望月新一的證明中將兩個集合的體積量看作處在兩個不同的實數(shù)系的空間中，而這兩個空間可以看作是一個環(huán)上的六個不同的實數(shù)系空間中的一部分。并且其通過映射來解釋了每個空間和其環(huán)上的鄰域中的其它空間之間的相互關(guān)系。斯蒂克斯說，要想弄清楚集合的體積量之間的關(guān)系，就需要理解在每個不同的空間中的體積的測量標(biāo)準(zhǔn)之間的關(guān)系。

斯蒂克斯說：“如果兩個東西之間有不等關(guān)系，但是‘量尺’會因為你無法控制的一個因素而縮水，那么你就對這個不等關(guān)系的實際意義失去了控制?！?/span>

舒爾茨和斯蒂克斯相信，正是論證中的這個關(guān)鍵點導(dǎo)致了錯誤。在望月的映射中，“量尺”互相之間是局部相容的。但是斯蒂克斯說，如果你沿著環(huán)面的不同方向前進(jìn)，你最終會得到不同的測量標(biāo)準(zhǔn)。他說，這種情況就像是著名的埃舍爾階梯，你不停地向上走，卻總是來到比出發(fā)時更低的地方。

舒爾茨和斯蒂克斯稱，這種體積測量標(biāo)準(zhǔn)的不相容性意味著它所得出的不等關(guān)系建立在錯誤的量上面。而且他們表示，如果你作出調(diào)整，使得體積測量局部相容，那么這種不等關(guān)系就毫無意義。

加利福尼亞大學(xué)的數(shù)學(xué)家基蘭·凱德拉雅（Kiran Kedlaya）曾深入研究過望月的論文，他認(rèn)為舒爾茨和斯蒂克斯“識別出了一種使論證可能不成立的方式”，“所以，如果這個論證是正確的，它必須具備某種（與舒爾茨和斯蒂克斯所描述的）不一樣的、微妙得多的東西”。

望月反駁，那種微妙得多的東西正是證明所做的。他寫道，舒爾茨和斯蒂克斯犯了錯，任意將兩個不同的數(shù)學(xué)對象混為一談。他表示，當(dāng)他對同事說明舒爾茨和斯蒂克斯的反對意見的本質(zhì)時，他的描述“得到了驚人的一致反應(yīng)，那就是震驚甚至不相信（有時還伴隨著大笑?。?，這表明可能發(fā)生了巨大的誤解”。

現(xiàn)在，數(shù)學(xué)家們得消化一下舒爾茨和斯蒂克斯的論證，還有望月的回應(yīng)。但舒爾茨希望這個局面能與望月最初的一系列論文的遭遇有所不同，它不該停滯不前，因為他和斯蒂克斯的反駁的主旨并不高度技術(shù)性。他說，其他數(shù)論學(xué)家“應(yīng)該完全能夠跟上這個星期我們和望月之間的討論”。

而望月的看法截然不同。在他看來，舒爾茨和斯蒂克斯的批評來自于“缺少足夠的時間來深入思考所討論的數(shù)學(xué)”，或許還伴隨著“一種對于用新方式思考熟悉的數(shù)學(xué)對象的深層的不適，或者說陌生感”。

金說，那些已經(jīng)對望月的 ABC 猜想證明感到懷疑的數(shù)學(xué)家或許會將舒爾茨和斯蒂克斯的報告視為故事的結(jié)局。其他人或許會想要研讀新的報告，金自己就已經(jīng)開始了這項活動。他在一封電子郵件中表示：“我覺得我得更仔細(xì)研究一番，才能作出判斷?！?/span>

在過去幾年中，許多數(shù)論學(xué)家已經(jīng)放棄了試圖理解望月的論文。但如果望月和后來者能夠給出一個詳盡而自洽的解釋，說明為什么舒爾茨和斯蒂克斯的理解過于簡化（假設(shè)它就是這樣），那么“這可能將大大減少人們的疲憊感，或許還能讓人們更愿意重新研究這個課題”，凱德拉雅說。

與此同時，舒爾茨表示：“我認(rèn)為這不該被視為一個證明，除非望月能作出詳盡的修訂，并更好地解釋這個關(guān)鍵步驟。”他個人認(rèn)為：“我真沒有發(fā)現(xiàn)什么能讓我們離證明 ABC 猜想更接近的關(guān)鍵思想。”

金說，無論這場討論的結(jié)果是什么，找出望月的論證中這個特殊的部分都有助于讓問題更加清晰。他說：“雅各布和彼得所做的工作是對數(shù)學(xué)界的一個重要貢獻(xiàn)。無論發(fā)生什么，我很確信這些報告邁出了決定性的一步?！?/span>