橢圓極點(diǎn)極線初探

imelee 2018-09-12

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本文是高中時(shí)期寫的一篇論文，其后幾年也改動(dòng)過幾次，現(xiàn)在 csdn 也支持顯示 LaTeX 公式了(利用mathjax)，于是把這篇文章搬到這里來，順便熟悉一下 MarkDown 編輯器編輯數(shù)學(xué)公式.

橢圓曲線將其所在平面分成了三個(gè)部分：橢圓內(nèi)部、橢圓曲線上、橢圓外部，對(duì)于橢圓曲線上的點(diǎn)，正如大家所熟知的，它們的坐標(biāo)都滿足橢圓的方程：

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

而對(duì)于橢圓內(nèi)部的點(diǎn)，它們的坐標(biāo)都滿足不等式：

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} < 1

這個(gè)很好理解，對(duì)于橢圓內(nèi)部任何一點(diǎn)，總能在橢圓上找到一個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，使其橫坐標(biāo)相同而縱坐標(biāo)的絕對(duì)值大于橢圓內(nèi)的點(diǎn)，而橢圓曲線上的這個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程

???

，那么橢圓內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足不等式

???

就是顯然的事情了。
至于橢圓外部的點(diǎn)，那就只有成立不等式：

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} > 1

因?yàn)橹皺E圓曲線與其方程之間以及橢圓內(nèi)部的平面區(qū)域與其不等式之間都是可以互推的。

接下來討論橢圓的切線問題，在橢圓上任取一個(gè)點(diǎn) $P (x_{0}, y_{0})$ ，那么該點(diǎn)處的切線方程將是:

\frac{x_{0} x}{a^{2}} + \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1

這直線為何就是切線方程呢？在這直線上任取一點(diǎn)

T (x_{T}, y_{T})

，有：

(\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}) + (\frac{x_{T}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{T}^{2}}{b^{2}}) ⩾ 2 (\frac{x_{0} x_{T}}{a^{2}} + \frac{y_{0} y_{T}}{b^{2}}) = 2

所以得到:

\frac{x_{T}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{T}^{2}}{b^{2}} ⩾ 1

這表明直線

???

上除點(diǎn)

P

外任何一點(diǎn)都在橢圓外，與橢圓只有

P

一個(gè)交點(diǎn)，所以它理所當(dāng)然就是點(diǎn)

P

處的切線方程。

現(xiàn)在在橢圓外任選一個(gè)點(diǎn) $P (x_{0}, y_{0})$ ，并由它向橢圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為 $T_{1} (x_{1}, y_{1})$ 和 $T_{2} (x_{2}, y_{2})$ ，由于點(diǎn) $P$ 同時(shí)在兩條切線上，所以同時(shí)成立著:

\frac{x_{0} x_{1}}{a^{2}} + \frac{y_{0} y_{1}}{b^{2}} = 1, \frac{x_{0} x_{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0} y_{2}}{b^{2}} = 1

由此立刻得知切點(diǎn)弦

T_{1} T_{2}

的方程是:

\frac{x_{0} x}{a^{2}} + \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1

這一點(diǎn)令人驚訝，要注意這時(shí)點(diǎn)

P

是在橢圓外，所以不要與剛才所證的切線方程混淆了。同樣的方程，因?yàn)辄c(diǎn)

P

位置的不同，它代表的直線也不同。相信讀者此時(shí)也會(huì)不失時(shí)機(jī)的提出如下問題：如果點(diǎn)

P

是在橢圓內(nèi)部，那么方程

???

又代表什么樣的直線呢？此刻還不好回答，但后文自然而然的會(huì)得出結(jié)論。

接著討論弦的中點(diǎn)的問題，在橢圓上任取兩點(diǎn) $T_{1} (x_{1}, y_{1})$ 和 $T_{2} (x_{2}, y_{2})$ ，線段 $T_{1} T_{2}$ 中點(diǎn)為 $Q (x_{Q}, y_{Q})$ ，那么首先成立著等式：

\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{1}^{2}}{b^{2}} = 1, \frac{x_{2}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{2}^{2}}{b^{2}} = 1

兩式相減得到:

\frac{x_{1}^{2} - x_{2}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{1}^{2} - y_{2}^{2}}{b^{2}} = 0

進(jìn)一步變形為:

\frac{y_{1} - y_{2}}{x_{1} - x_{2}} \frac{\frac{y_{1} + y_{2}}{2}}{\frac{x_{1} + x_{2}}{2}} = - \frac{b^{2}}{a^{2}}

所以弦

T_{1} T_{2}

及中點(diǎn)與橢圓中心連線

O Q

兩者斜率之積為定值\footnote{本文中都不考慮斜率不存在等特殊情況，只就一般性的情況進(jìn)行敘述，以得出一般性的結(jié)論。}:

k_{T_{1} T_{2}} k_{O Q} = - \frac{b^{2}}{a^{2}}

據(jù)此可以知道若另作一弦使其所在直線平行于

O Q

，那么其中點(diǎn)與橢圓中心的連線必平行于直線

T_{1} T_{2}

，即兩個(gè)方向存在著相互性，這稱之為橢圓的一組“共軛方向”，而這個(gè)結(jié)論則可以視為橢圓中的垂徑定理。此外還可以知道，對(duì)于橢圓內(nèi)部任何一個(gè)點(diǎn)，在經(jīng)過它的所有弦中，只有唯一一條能使它成為弦的中點(diǎn)，而該弦的方向，就是該點(diǎn)與橢圓中心連線的共軛方向。而如果在這里平行移動(dòng)弦

T_{1} T_{2}

，直到它成為橢圓的切線

l

，假如切點(diǎn)為

P (x_{0}, y_{0})

，那么我們應(yīng)該得出：

k_{l} k_{O P} = - \frac{b^{2}}{a^{2}}

這與我們剛才所推導(dǎo)的點(diǎn)

P

處的切線方程正好吻合。

回到剛才過橢圓外一點(diǎn) $P (x_{0}, y_{0})$ 引兩條切線 $P T_{1}$ 及 $P T_{2}$ 的場(chǎng)景中，以 $Q$ 標(biāo)記切點(diǎn)弦 $T_{1} T_{2}$ 的中點(diǎn)，則點(diǎn) $Q$ 的坐標(biāo)必然滿足切點(diǎn)弦 $T_{1} T_{2}$ 的方程：

\frac{x_{0} x_{Q}}{a^{2}} + \frac{y_{0} y_{Q}}{b^{2}} = 1

這一點(diǎn)就很有意思了，因?yàn)檫@意味著點(diǎn)

P

位于下面的直線上：

\frac{x_{Q} x}{a^{2}} + \frac{y_{Q} y}{b^{2}} = 1

這是一條什么樣的直線呢？容易發(fā)現(xiàn)，它的方向就是

O Q

的共軛方向！現(xiàn)在回想一下前面所提的懸而未決的問題：對(duì)于橢圓內(nèi)的一點(diǎn)，方程

???

代表什么樣的直線，現(xiàn)在就可以理直氣壯的回答說，先找出以橢圓內(nèi)的這點(diǎn)為中點(diǎn)的弦，然后過此弦兩端點(diǎn)引橢圓切線，兩切線有一個(gè)交點(diǎn)，
這條直線就經(jīng)過了這個(gè)點(diǎn)，那么方向呢？將橢圓內(nèi)的這點(diǎn)與橢圓中心相連，其共軛方向就是該直線的方向！這段長長的描述顯得有些不符合數(shù)學(xué)美感，但至少我們解決了如下問題：針對(duì)橢圓上、橢圓內(nèi)、橢圓外的點(diǎn)

P (x_{0}, y_{0})

，方程

???

各自分別代表什么樣的直線，而且還可以知道，橢圓內(nèi)(除去中心)與橢圓外的點(diǎn)之間，存在著一種對(duì)稱關(guān)系，借此我們可以在這兩大平面區(qū)域之間，建立一對(duì)一的映射關(guān)系。

進(jìn)一步，直線 $O Q$ 與 $T_{1} T_{2}$ 是共軛的，而現(xiàn)在直線 $???$ 的方向也與 $O Q$ 共軛，這表明直線 $???$ 與切點(diǎn)弦 $T_{1} T_{2}$ 是平行的！比較一下方程 $???$ 與方程
$???$ 就可以得出結(jié)論：直線 $P Q$ 是經(jīng)過橢圓中心的！進(jìn)而記 $R$ 為線段 $P Q$ 與橢圓的交點(diǎn)，那么顯然：

\frac{x_{R}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{R}^{2}}{b^{2}} = 1

比較一下方程

???

與

???

，再加之我們知道

P

、

Q

、

R

三點(diǎn)共線，而且還過橢圓中心，所以：

x_{0} x_{Q} = x_{R}^{2}, y_{0} y_{Q} = y_{R}^{2}

由此得到：

O P \cdot O Q = O R^{2}

一切都是如此的完美。

前面曾經(jīng)考慮過，當(dāng)點(diǎn) $P (x_{0}, y_{0})$ 在橢圓內(nèi)部時(shí)，方程 $???$ 所代表的直線似乎難以描述，現(xiàn)在我們給它取一個(gè)好聽的名字：極線。準(zhǔn)確的說，是點(diǎn) $P$ 關(guān)于該橢圓的極線，而點(diǎn) $P$ 則稱為直線 $???$ 關(guān)于橢圓的極點(diǎn)。當(dāng)點(diǎn) $P$ 在橢圓曲線上時(shí)，它關(guān)于橢圓的極線就是橢圓在該點(diǎn)處的切線（相切），當(dāng)點(diǎn) $P$ 在橢圓外部時(shí)，它關(guān)于橢圓的極線就是對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)弦所在直線（相交），而當(dāng)點(diǎn) $P$ 在橢圓內(nèi)時(shí)，對(duì)應(yīng)的極線就在橢圓外部了（相離）。而且我們看到，點(diǎn) $P$ 無論位于哪個(gè)位置（橢圓中心除外），它關(guān)于橢圓的極線的方向都是 $O P$ 的共軛方向，所以如果讓點(diǎn) $P$ 在一條從橢圓中心出發(fā)的射線上由橢圓內(nèi)到橢圓外緩慢移動(dòng)，我們將看到它關(guān)于橢圓的極線由遠(yuǎn)及近平行移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn) $P$ 移到橢圓上的那一刻，極點(diǎn)剛好位于極線上，而極線也成為過極點(diǎn)的切線，此后，當(dāng)點(diǎn) $P$ 移動(dòng)到橢圓外時(shí)，極線則與橢圓橢圓相交，當(dāng)點(diǎn) $P$ 向無窮遠(yuǎn)處移動(dòng)時(shí)，極線則向橢圓中心無限靠近。容易看出，對(duì)于平面上任何一點(diǎn)（橢圓中心除外），它關(guān)于橢圓的極線都是唯一存在的，反過來，對(duì)于平面上任何一條不通過橢圓中心的直線，它關(guān)于橢圓的極點(diǎn)也是唯一存在的。而切點(diǎn)與切線，不過是極點(diǎn)剛好位于極線上的一種特殊情況罷了。

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來自： imelee > 《幾何》

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