我們的數(shù)學(xué)游戲

在Suki和Sula 1-4歲之間，我們的數(shù)學(xué)啟蒙，多是圍繞在數(shù)字和形狀的認(rèn)知上。

比如在認(rèn)數(shù)字方面，我們用彈珠數(shù)數(shù)，和數(shù)字板對(duì)應(yīng)：

用數(shù)字排序來(lái)拼出圣誕樹：

做成圓點(diǎn)數(shù)字盤，Suki用數(shù)字夾子去匹配對(duì)應(yīng)的圓點(diǎn)。

我們也用珠子穿小棍的方式，去對(duì)應(yīng)數(shù)字，來(lái)玩數(shù)數(shù)的游戲。

學(xué)習(xí)形狀時(shí)，我們使用形狀模板來(lái)描畫，比較形狀的大小。

我在紙面畫出規(guī)則的線條和形狀，Suki用硬豆子去描繪形狀、記憶線條規(guī)律。

我們還自制了幾何板，用皮筋來(lái)探索點(diǎn)線面構(gòu)成的形狀。

我用不織布剪成各種形狀，Suki玩形狀拼圖粘貼的游戲，一邊貼我們一邊記憶形狀名稱。

這一類的游戲我們還做了很多，基本上都是圍繞能夠數(shù)出1～20個(gè)物體，20以上的唱數(shù)，和認(rèn)知所有基本形狀。

這個(gè)階段完成以后，我們似乎進(jìn)入一個(gè)瓶頸：數(shù)學(xué)啟蒙還要如何進(jìn)階呢？加減法似乎還有點(diǎn)早。還有哪些數(shù)學(xué)概念是孩子需要在學(xué)齡前接觸和了解的呢？

皮亞杰的認(rèn)知實(shí)驗(yàn)

近期我回到倫敦大學(xué)進(jìn)修“發(fā)展心理學(xué)”。課程很有挑戰(zhàn)，也接觸到了很多非常有趣的心理學(xué)內(nèi)容。

其中我最感興趣的就是皮亞杰（Jean Piaget, 1896-1980）的兒童認(rèn)知發(fā)生理論。皮亞杰是兒童心理學(xué)的開創(chuàng)者，被譽(yù)為心理學(xué)史上除了弗洛伊德以外的另一位“巨人”，他的認(rèn)知發(fā)生理論對(duì)當(dāng)代西方心理學(xué)的發(fā)展和教育改革具有重要影響。

皮亞杰對(duì)兒童思維或智力發(fā)展進(jìn)行了規(guī)模龐大和系統(tǒng)完整的研究，用大量的時(shí)間觀察孩子和進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。他尤其感興趣于孩子在特定年齡段所犯的那些“相似的錯(cuò)誤”。他意識(shí)到兒童在特定的年齡階段有特定的認(rèn)知結(jié)構(gòu)水平，會(huì)通過(guò)自己的“理論”和“臆想”解釋身邊的世界，認(rèn)知水平是像臺(tái)階一樣按照年齡段遞進(jìn)，階段出現(xiàn)的先后次序是恒定不變的。

很多兒童心理學(xué)工作者對(duì)皮亞杰理論進(jìn)行了研究，并對(duì)他的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了重復(fù)性的檢驗(yàn)。據(jù)估計(jì)，僅僅關(guān)于“守恒”一項(xiàng)內(nèi)容的重復(fù)，驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)就達(dá)3000次以上。

我們?cè)谡n堂上溫習(xí)了皮亞杰和孩子們所做的許多認(rèn)知實(shí)驗(yàn)，過(guò)程讓人忍俊不禁又極有啟示性。尤其是在數(shù)學(xué)認(rèn)知的范疇，孩子們?cè)谙嗨频哪昙o(jì)，幾乎都會(huì)犯同樣的數(shù)學(xué)認(rèn)知錯(cuò)誤。

尤其對(duì)于2-7歲“前運(yùn)算階段”的孩子，皮亞杰的實(shí)驗(yàn)顯示出這個(gè)年齡段的孩子最容易掉入一些特定的數(shù)學(xué)認(rèn)知“陷阱”中，因而也啟示給我們，孩子可以前往進(jìn)階理解的下一步的數(shù)學(xué)概念都是哪些。

如果你有興趣，也可以和自己的孩子試一試，看看皮亞杰挖的那些認(rèn)知陷阱，你的孩子是不是中招了？看看孩子的數(shù)學(xué)認(rèn)知處在哪個(gè)位置？我和Suki也嘗試了皮亞杰的一些實(shí)驗(yàn)。除了數(shù)數(shù)和認(rèn)知形狀，以下這些數(shù)學(xué)概念和特性，都是孩子們需要時(shí)間去進(jìn)階理解的。

1. 液體的體積不變?cè)瓌t

這是皮亞杰最經(jīng)典的認(rèn)知實(shí)驗(yàn)，幾乎所有3-5歲的孩子都會(huì)“中招”。

實(shí)驗(yàn)過(guò)程：成人在孩子面前放兩只矮胖的玻璃杯，里面放入等量的水。問(wèn)孩子，哪個(gè)杯子的水更多？通常孩子能夠答對(duì)：“是一樣的！”

但如果成人把其中一個(gè)杯子里的水倒入一個(gè)細(xì)高的杯子，再問(wèn)孩子哪個(gè)杯子里的水更多，大部分孩子都會(huì)回答細(xì)高的杯子里的水更多，因?yàn)樗€更高！這個(gè)認(rèn)知的誤差，通常要到6-7歲才能逾越。

Suki在這個(gè)實(shí)驗(yàn)前面也掉入了陷阱，怎么也不理解為什么不是細(xì)高杯子里的水更多。

這個(gè)實(shí)驗(yàn)給孩子的認(rèn)知啟示是：液體的體積不根據(jù)容器的改變而改變。

2. 固體的體積不變?cè)瓌t

實(shí)驗(yàn)過(guò)程：成人捏出一樣大小的兩個(gè)橡皮泥的球體，問(wèn)孩子，它倆誰(shuí)更大？孩子通常會(huì)回答：“一樣大。”

成人把其中一個(gè)球體壓成扁平狀，再問(wèn)孩子哪個(gè)更大，幾乎所有3-5歲的孩子都會(huì)指出：球體的橡皮泥比壓扁的橡皮泥體積更大。

這個(gè)實(shí)驗(yàn)給孩子的認(rèn)知啟示是：物體的體積大小不根據(jù)形狀改變而改變。

3. 長(zhǎng)度的守恒問(wèn)題

實(shí)驗(yàn)過(guò)程：兩根筷子對(duì)齊排列，成人問(wèn)孩子，它倆誰(shuí)更長(zhǎng)？孩子通?；鼗卮穑?span>“一樣長(zhǎng)。”

成人把其中一根筷子水平移動(dòng)，再問(wèn)孩子哪個(gè)更長(zhǎng)，很多孩子就會(huì)認(rèn)為被移動(dòng)的那根筷子更長(zhǎng)了：因?yàn)楸M端突顯了出來(lái)。

這個(gè)實(shí)驗(yàn)給孩子的認(rèn)知啟示是：物體的長(zhǎng)度不根據(jù)位置改變而改變。

4. 數(shù)量的守恒問(wèn)題

實(shí)驗(yàn)過(guò)程：在孩子面前放5枚一樣的硬幣（我們用了小立方體模具），在成人面前也放5枚同樣的硬幣，等距擺好，問(wèn)孩子誰(shuí)的硬幣多。大部分3-5歲的孩子都會(huì)說(shuō)一樣多。

成人面前的硬幣不動(dòng)，但是孩子面前的硬幣間距拉長(zhǎng)了，再問(wèn)孩子，誰(shuí)的硬幣多？

這時(shí)大多數(shù)3-5歲的孩子都會(huì)落入陷阱，認(rèn)為自己面前的硬幣更多，因?yàn)榕帕衅饋?lái)更長(zhǎng)了。這個(gè)誤區(qū)通常要等到孩子6歲左右才能“闖關(guān)成功”。

這個(gè)實(shí)驗(yàn)給孩子的認(rèn)知啟示是：數(shù)量守恒，數(shù)量的多少是不受物體的擺放方式影響的。

5. 公平原則

實(shí)驗(yàn)過(guò)程：成人給孩子一個(gè)餅干，給自己兩個(gè)餅干，問(wèn)孩子“這樣公平嗎”？

孩子們都會(huì)回答：“不公平，因?yàn)槟阌?span>2個(gè)我只有1個(gè)。”

當(dāng)成人把孩子的那一個(gè)餅干掰成了兩半，再問(wèn)孩子“現(xiàn)在公平嗎？”

很多3-5歲的孩子都會(huì)說(shuō)：“公平！因?yàn)槲覀兌加?span>2塊餅干了。”

這個(gè)實(shí)驗(yàn)給孩子的認(rèn)知啟示是：物體的總量多少應(yīng)該是由它的數(shù)量和每個(gè)個(gè)體的體量共同決定的。

6. 順序無(wú)關(guān)原則

實(shí)驗(yàn)過(guò)程：成人在孩子面前擺出7個(gè)硬幣（或7個(gè)物體），擺成一個(gè)圓，讓孩子從特定的某個(gè)硬幣開始數(shù)，孩子數(shù)出7個(gè)。

問(wèn)孩子如果他從另一個(gè)硬幣開始，一共是幾個(gè)硬幣？大部分孩子遇到這個(gè)問(wèn)題，都是要再數(shù)一遍，心里才敢確定還是7個(gè)，他們不敢直接喊出來(lái)：從哪里開始數(shù)都是同樣數(shù)量的7個(gè)硬幣！

這個(gè)實(shí)驗(yàn)給孩子的認(rèn)知啟示是：我們可以用任何順序數(shù)數(shù)，無(wú)論從哪里開始數(shù)，都能得到一樣的數(shù)。

7. 數(shù)軸

在學(xué)習(xí)加減法之前，一個(gè)對(duì)孩子很重要并且很直觀的概念是“數(shù)軸”。在數(shù)軸上，每一個(gè)數(shù)都是一個(gè)等距的單位?？梢越o3-6歲的孩子試試下面這個(gè)實(shí)驗(yàn)。

實(shí)驗(yàn)過(guò)程：將硬幣（或者相同物品）分成3個(gè)、5個(gè)、7個(gè)三組，問(wèn)孩子哪一組最多，哪一組最少，大部分3-6歲的孩子都可以回答正確，但是要問(wèn)“哪一組位于中間”，對(duì)很多孩子來(lái)說(shuō)就有點(diǎn)困難了。

在學(xué)習(xí)加減法之前，不僅要能數(shù)出物體的數(shù)量，也可以通過(guò)學(xué)習(xí)數(shù)軸，知道3比5少，7比5多，5處在3和7之間，且距離相等。到了這個(gè)時(shí)候，孩子才能真正理解“加”和“減”這兩個(gè)動(dòng)作都依據(jù)同一原理——數(shù)軸。

進(jìn)行數(shù)軸的引導(dǎo)，最好的游戲就是桌游，比如“蛇梯棋”。

蛇梯棋盤上每一格都是一個(gè)數(shù)字，數(shù)字之間是等距的，這個(gè)設(shè)計(jì)和數(shù)軸很相似的。骰子丟出哪個(gè)數(shù)，棋子就往前走幾步，這樣就等同于做“加法”。當(dāng)碰到蛇頭，棋子就要退后幾步，這里就是做“減法”了。

皮亞杰的這些數(shù)學(xué)認(rèn)知實(shí)驗(yàn)是不是很有趣？除了數(shù)學(xué)以外，這位心理學(xué)巨人還給孩子進(jìn)行了很多其他類別的認(rèn)知實(shí)驗(yàn)，比如他發(fā)現(xiàn)2～7歲的孩子一次只能用一種系統(tǒng)來(lái)分類（比如色彩或者形狀），而無(wú)法在其中自由切換；還有兒童的“我向思維”，也就是兒童無(wú)法意識(shí)到別人可以有與自己完全不同的思考方式和視角，傾向于從自己的角度出發(fā)看待事物。

大家有興趣的話我以后可以繼續(xù)分享。

安瀟 2017年11月 于 倫敦