三角函數(shù)是最基本的初等函數(shù)之一，是以角度(數(shù)學(xué)上常以弧度制為基礎(chǔ))為自變量，角度對(duì)應(yīng)任意角終邊與單位圓交點(diǎn)坐標(biāo)為應(yīng)變量的函數(shù)。

所以，我們要想理解三角函數(shù)，得從如下幾個(gè)角度入手。

①特殊三角形中的三角函數(shù)

我們?cè)诔踔?我之前的文章也有提過(guò))學(xué)習(xí)過(guò)三角函數(shù)的入門(mén)知識(shí)。

如下圖：即三角函數(shù)的定義，正限制是什么？余弦值又是什么？正切值又是什么？

看圖可以知道，正弦sin表示對(duì)邊比斜邊，而余弦cos表示鄰邊比斜邊，正切tan表示對(duì)邊鄰邊。

這是最基本的概念，我們不需要知道為什么？因?yàn)閿?shù)學(xué)家就是這樣定義的，接下來(lái)我們要用這個(gè)概念了解任意角的三角函數(shù)。

②任意三角函數(shù)，加坐標(biāo)系，引入單位圓是基礎(chǔ)

了解了三角函數(shù)的基本定義是不夠的，因?yàn)橛械男』锇榘l(fā)現(xiàn)無(wú)法求出sin167°的值。那么如何才可以求出呢？

細(xì)心的朋友會(huì)發(fā)現(xiàn)，哎，不對(duì)啊，我們初中了解的知識(shí)不是完整的函數(shù)啊，只是其中的特殊例子，所以無(wú)法普遍應(yīng)用很正常??！那么今天我們就來(lái)正真了解一下三角函數(shù)。

首先，把三角形放入坐標(biāo)系中，如下圖。接著引入單位圓(單位圓，斜邊為1)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)∠BOC的正弦值就等于B點(diǎn)的縱坐標(biāo)，而它的余弦值就是他的橫坐標(biāo)。于是乎：B(cos∠BOC,sin∠BOC)

③任意角三角函數(shù)定義

我們以O(shè)X為始邊(X軸正半軸)，O為軸心，開(kāi)始逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，OX與圓交點(diǎn)為C。

我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度為0°-90°時(shí)，就是我們初中接觸過(guò)的三角函數(shù)，而大于90°小于180°的時(shí)候，就成了鈍角的函數(shù)了。鈍角的函數(shù)怎么求呢？

我們通過(guò)上面結(jié)論，知道終邊與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)就是旋轉(zhuǎn)角度的正弦和余弦值。而在0°到180°，鈍角的函數(shù)值都有銳角與其關(guān)于Y軸對(duì)稱。而由對(duì)稱知識(shí)可知，關(guān)于y對(duì)稱，Y坐標(biāo)不變，而X坐標(biāo)互為相反數(shù)。即正弦不變，余弦互為相反數(shù)。即sinX＝sin(180°-X)，cosX＝-cos(180°－X)，得到這點(diǎn)，我們就可以把任意鈍角轉(zhuǎn)化為銳角，就可以求出其函數(shù)值了。于是有sin167°＝sin13°

④兩個(gè)特殊例子

根據(jù)上面的思維，我們繼續(xù)分析。當(dāng)一個(gè)角分別加90°，180°時(shí)，結(jié)果又會(huì)如何呢？

先加90°，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)(看上圖)這是它的終邊交點(diǎn)坐標(biāo)與之前角度相比有了變化。什么變化呢？仔細(xì)看一下會(huì)明白它的縱坐標(biāo)是原圖的橫坐標(biāo)，而橫坐標(biāo)是其縱坐標(biāo)。于是可得公式:sinx＝cos(90°＋x)

cosx＝sin(90°＋x)

再來(lái)看180°的圖形(下圖)，我們發(fā)現(xiàn)加180°之后，兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱。

又初中對(duì)稱知識(shí)可知，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，其橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)。

于是，sinx＝-sin(180°＋x)

cosx＝-cos(180°＋x)

⑤弧度制

三角函數(shù)是以角度為自變量的，為了方便運(yùn)算，引入了弧度制。

那么什么是弧度制呢？(看下圖)

弧長(zhǎng)與半徑的比就是弧的度數(shù)，于是180°的弧對(duì)應(yīng)的弧度是π，90°＝π/2，60°＝π/3

⑥幾個(gè)基本的公式

有了上面的基礎(chǔ)，我覺(jué)得你看下表就應(yīng)該可以看明白了吧！學(xué)三角函數(shù)的時(shí)候，老師都會(huì)給大家講解公式的推導(dǎo)。有的朋友看一下不懂，就覺(jué)得把公式記住就可以了。于是，他就開(kāi)始記下面的公式，然后經(jīng)常出錯(cuò)。上面我給大家講解了一下思路，希望大家按著這個(gè)思路把下面公式一個(gè)一個(gè)自己弄出來(lái)，這樣我覺(jué)得你的三角函數(shù)這塊就沒(méi)多大問(wèn)題了。

⑦思考題

求出下面各函數(shù)值

sin135°，cos135°，sin225°，cos225°

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