一、雅可比橢圓函數(shù)的幾何模型：

1、單位圓(x²+y²=1)上一點(diǎn)P(x，y)的線密度λ：

      規(guī)定：λ=1/√(1-k²y²).   (0＜k＜1)

2、單位圓的弧角ψ和弧量u：

（1）弧角所對(duì)應(yīng)弧的質(zhì)量，叫弧量。

（2）弧角和弧量的起點(diǎn)和正負(fù)規(guī)定相同，其所在象限一致。

3、雅可比橢圓函數(shù)的定義：

（1）y=sinψ=sn(u，k)=sn(u).    (橢圓正弦)

（2）x=cosψ=cn(u，k)=cn(u).   (橢圓余弦)

（3）1/λ=dn(u，k)=dn(u).         (橢圓模弦)

4、弧量與橢圓正弦的積分關(guān)系式：

         u=∫(0,ψ)[1/√(1-k²sin²θ)]dθ

           =∫[0,sn(u)][(1-t²)(1-k²t²)]^-1/2dt.

二、雅可比橢圓函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：

（1）cn²(u)+sn²(u)=1.      dn²(u)+k²sn²(u)=1.

（2）sn(-u)=-sn(u).    cn(-u)=cn(u).     dn(-u)=dn(u).  

（3）[sn(u)]′=cn(u)dn(u)

         [cn(u)]′=-sn(u)dn(u)

         [dn(u)]′=-k²sn(u)cn(u).

三、雅可比橢圓函數(shù)的李氏第一定理：

      若   u₁+u₂+u₃=0，

      則   sn(u₁)cn(u₂)dn(u₃)+sn(u₂)cn(u₁)+sn(u₃)dn(u₁)=0.

      其中，u₁、u₂、u₃可任意交換(共6種)。

由此定理，可直接推導(dǎo)出雅可比橢圓函數(shù)的加法公式。

四、雅可比橢圓函數(shù)的李氏第二定理：

       若   u₁+u₂+u₃=0，

       則   ∫(0,u₁)sn²tdt+∫(0,u₂)sn²tdt+∫(0,u₃)sn²tdt

            =sn(u₁)sn(u₂)sn(u₃).

由此定理，定義新的函數(shù)：

              sm(u,k)=∫(0,u)sn²tdt,

即得sm(u,k)的加法公式：

      sm(u₁+u₂,k)= sm(u₁,k)+ sm(u₂,k)+sn(u₁)sn(u₂)sn(u₁+u₂).