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勒讓德 徐州師范學(xué)院 侯德潤 勒讓德，A．M．(Legendre，Adrien-Marie)1752年9月18日生于法國巴黎；1833年1月9日卒于巴黎．?dāng)?shù)學(xué). 勒讓德出身于一個富裕家庭，就讀于巴黎的馬扎林(Maza-rin)學(xué)院．他受過科學(xué)教育，特別是數(shù)學(xué)方面的高等教育．他的數(shù)學(xué)老師 J．F．M．阿貝(Abbè)是一個小有名氣并且在宮庭中受到尊敬的數(shù)學(xué)家．1770年勒讓德18歲時，就在阿貝的主持下通過了數(shù)學(xué)和物理方面的畢業(yè)論文答辯．他的經(jīng)濟(jì)條件足以使他全力以赴地從事科學(xué)研究工作．但盡管如此，他還是在1775年到1780年在巴黎的軍事學(xué)校教過數(shù)學(xué)．他的研究工作受到科學(xué)界的注意，并在1782年獲得柏林科學(xué)院的獎勵．1783年3月30日，他取代 P．S．拉普拉斯(Laplace)作為一名力學(xué)副研究員被選進(jìn)科學(xué)院，1785年被提升為合作院士． 1787年，他被科學(xué)院指派擔(dān)任巴黎和格林尼治天文臺聯(lián)合進(jìn)行的大地測量工作，并參加了皇家學(xué)會．1790年前后，與一位19歲的姑娘瑪格麗特·庫塞(Marguerite Couhin)結(jié)婚．1791年4月13日，他被任命為一個三人委員會的委員，設(shè)置該委員會的目的是解決為確立標(biāo)準(zhǔn)米而進(jìn)行的天文運(yùn)算和三角測量問題．1793年科學(xué)院被查禁，他一度被迫隱居，由他的年輕妻子幫助他創(chuàng)造了一個安靜的環(huán)境繼續(xù)從事研究工作．他們一直沒有子女． 1794年，巴黎行政區(qū)的公眾教育委員會任命勒讓德為馬拉(de Marat)?？茖W(xué)校的純粹數(shù)學(xué)教授．不久該校解散，他又擔(dān)任公眾教育國家執(zhí)行委員會第一辦公室主任，領(lǐng)導(dǎo)處理度量衡、發(fā)明創(chuàng)造以及對科學(xué)工作者的獎勵等事宜，不久成為該委員會的高級秘書．1799年，他繼拉普拉斯之后在巴黎綜合工科學(xué)校擔(dān)任研究生答辯的數(shù)學(xué)主考人，1815年辭職，得到一筆3000法郎的養(yǎng)老金．1813年，J．L．拉格朗日(Lagrange)去世，由勒讓德取代了他在經(jīng)度局的位置，并在那里終其余生． 勒讓德在數(shù)學(xué)方面的貢獻(xiàn)，首先表現(xiàn)在橢圓函數(shù)論．有許多理由足以說明他是橢圓函數(shù)論的奠基人．在他之前，C．麥克勞林(Maclaurin)和 J．R．達(dá)朗貝爾(d'Alembert)曾研究過可以用橢圓或雙曲線的弧表示的積分．G．C．法尼亞諾(Fagnano)在1716年曾證明，對任意給定的橢圓或雙曲線，可以用無窮多種方法指定兩條弧，使得其差等于一個代數(shù)量．他還證明過，伯努利雙紐線(x2+y2)2=a2(x2-y2)的弧能夠像圓弧那樣被代數(shù)地加以乘、除．這是橢圓積分簡單應(yīng)用的第一個說明．這一積分被勒讓德記作F(x)，他認(rèn)為用它可以決定所有其他的積分．從法尼亞諾的研究出發(fā)，L．歐拉(Euler)著手處理更一般的橢圓積分，并得出了現(xiàn)在稱為第一類和第二類橢圓積分的加法定理．1768年，拉格朗日把歐拉的發(fā)現(xiàn)納入通常的分析程序．1775年，J．蘭登(Landen)又證明了雙曲線的每一條弧能夠用一個橢圓的兩條弧來度量．1786年，勒讓德出版了他的關(guān)于橢圓弧的積分的著作．其中第一部分是在他知道蘭登的發(fā)現(xiàn)之前就已寫出的．他避免應(yīng)用雙曲線的弧，而采用作一個適當(dāng)構(gòu)造的橢圓弧的表的辦法來代替．他給出蘭登定理的一個新的解釋，并且用同一方法證明了每一個給定的橢圓是一個無限多的橢圓序列的一部分．求出兩個任意選定的橢圓的周長，就可以求得所有其他橢圓的周長．有了這條定理，就有可能把一個給定橢圓的求長問題化成兩個其他的和圓相差任意小的橢圓的求長問題． 不過，這一課題及一般形式的超橢圓函數(shù)理論，需要更系統(tǒng)的處理．這正是勒讓德在他的“關(guān)于橢圓超越性的論文”(Mémoire sur les transcendantes elliptiques，1793)一文中所提供的．他提出對這一類型的所有函數(shù)應(yīng)進(jìn)行比較，將其區(qū)別歸類，把每一個變成可能的最簡形式，并利用最容易、最快速的近似法對其求值，進(jìn)而作為一個整體從理論上建立一個算法系統(tǒng)． 勒讓德后來的研究，從幾個方面完成了這一理論．1809年，他發(fā)表了“各種不同定義的積分的研究”(Recherches sur diverses sortes d’intégrales difinies)一文，繼續(xù)從事對歐拉積分(這一術(shù)語是勒讓德給出的)，特別是對Г函數(shù)的研究．1811年，勒讓德在《積分練習(xí)》(Exercices de 第三類積分為 其中η為參數(shù)．每一個橢圓積分可被表示為這三種超越類型的一個組合． 定理指出： (μ)可以被一個任意常數(shù)(整數(shù)或有理數(shù))相乘．經(jīng)過這樣的研究，勒讓德對三種類型的積分中的每一種都導(dǎo)出了許多結(jié)果． 角．根據(jù)蘭登定理，他建立了一種變換，后來稱之為二次變換，即如果 復(fù)使用這種變換，勒讓德建立了橢圓函數(shù)表，于1817年公開發(fā)表． 1826年，勒讓德又出版了《橢圓函數(shù)論》(Traité des foncti-ons elliptiques)，在第二卷中列有9張這種表．最后一張表是函數(shù)F和E的 時取10位小數(shù)，在45°至90°之間時取9位小數(shù)．他曾寫信給 C．G．J．雅可比(Jacobi)，說他在無任何外力幫助的情況下致力于如此冗長而乏味的工作，但卻樂此不疲，并認(rèn)為這一工作的重要性完全可以和 H．布里格斯(Briggs)的對數(shù)表媲美． 1827年，雅可比也開始研究橢圓函數(shù)．他寫信把自己的和N．H．阿貝爾(Abel)的發(fā)現(xiàn)告訴給勒讓德．面對年輕對手的挑戰(zhàn)，勒讓德的態(tài)度是非常熱心和直率的．他在《橢圓函數(shù)論》第3卷的序言中贊揚(yáng)了這位“柯尼斯堡的年輕幾何學(xué)家”以及阿貝爾．后來又發(fā)表了《橢圓函數(shù)論》的3個附錄．前兩個主要介紹了雅可比的工作，也提到阿貝爾，其中包括橢圓函數(shù)和勒讓德積分的反函數(shù)．勒讓德以其慣有的略嫌冗長的模式討論了將橢圓函數(shù)推廣到復(fù)數(shù)域和雙周期．附錄三主要討論阿貝爾的工作和他的大定理．1832年3月4日，勒讓德總結(jié)他的工作說：“我們僅接觸到這一課題的表面．可以預(yù)言它將隨數(shù)學(xué)家的工作而日趨成熟，最終將構(gòu)成超越函數(shù)分析中的一個最漂亮的部分．” 數(shù)論是勒讓德特別關(guān)注的第二個重要領(lǐng)域．早在1785年，他所發(fā)表的“不定分析的研究”(Recherches d’analyse indétermi-née)一文中即載有二次剩余互反律及其若干應(yīng)用的一個說明，把數(shù)分解成三個平方數(shù)的理論的概述，還陳述了一條以后變得很有名的定理：“每一個首項和公比互素的算術(shù)級數(shù)中都含有無限多個素數(shù)．”1798年，他又發(fā)表了他的《數(shù)論隨筆》(Essai sur la théoriedes nombres)一書的第一版．他在這本書里，用更系統(tǒng)和更徹底的方法處理了“不定分析的研究”中的那些論題．該書是18世紀(jì)數(shù)論學(xué)科的主要著作之一．第二版以《數(shù)論》(Théorie des nom-bres)為名于1808年出版．在這一版的引言中，勒讓德提到要高度注意嚴(yán)密性，這一點是值得贊揚(yáng)的．在這一版中，他利用和 P．de費馬(Fermat)的無窮遞減法有關(guān)的技巧證明了整數(shù)乘積的變換性．作為歐拉和拉格朗日的一個直接追隨者，勒讓德和他們一樣，經(jīng)常使用連分?jǐn)?shù)的算法，用來解一階不定方程，并用來證明費馬方程x2-Ay2=1 恒有一個整數(shù)解．以后他又給第二版增加了兩個附錄(1816，1825)．第二個附錄中含有方程x5+y5=z5不可能有整數(shù)解的一個漂亮的證明．接著就是對這條定理的更復(fù)雜情形的考察．該書第三版分成兩卷，于1830年5月問世．第三版發(fā)展了第一版中的內(nèi)容，并添上一些在很大程度上受到 C．F．高斯(Gauss)影響的新思想．這一版特別有價值．它和高斯的《算術(shù)研究》(Disquisitiones Arithmeticae，1801)一起同為這門學(xué)科中的標(biāo)準(zhǔn)著作． 勒讓德還追隨拉格朗日研究過二次型，在某些方面得到了完善的結(jié)果．例如，他證明了每一個非8k+7型的奇數(shù)是三個平方數(shù)的和．在這一結(jié)果的基礎(chǔ)上，A．L．柯西(Cauchy)在1812年針對多項式數(shù)的情形證明了費馬定理． 勒讓德對數(shù)論的主要貢獻(xiàn)是提出二次剩余的互反律．這是18世紀(jì)數(shù)論中最富于首創(chuàng)精神的可能引出最多成果的發(fā)現(xiàn)．1785年，他用一個冗長而不完善的說明提出這一定律．1801年，高斯對勒讓德的陳述進(jìn)行了批評，并宣稱他是第一個能夠嚴(yán)格敘述這一命題的人．1808年，勒讓德采用了這位年輕的批評者所給出的證明．他發(fā)明了記號(p/q)，令其等于1或-1，以表示p是q的二次剩余或二次非剩余．在這種記號下，二次互反律說，如果p和q是不同的奇素數(shù)，那末 (p/q)(q/p)=(-1)(p-1)(q-1)/4． 1830年，他又把他認(rèn)為是更好的雅可比的證明補(bǔ)充了進(jìn)去． 作為一個非常熟練的計算工作者，勒讓德提出了有價值的數(shù)表．他編列了二次型的二次和一次的因子以及費馬方程x2-Ay2=±1的最小解．后一張表出版于1798年，并在1808年用一種更簡略的刪節(jié)本形式重?。? 勒讓德還是解析數(shù)論的先驅(qū)者．他在1798年提出了素數(shù)分布定律的初步形式，1808年又使其更加精確化，呈現(xiàn)為如下形式：如果y是小于 納法發(fā)現(xiàn)這一定律的．1793年，高斯由直覺看出了素數(shù)的漸近分布定律．但是，第一個明確給出這一條非凡定律的，還是勒讓德． 另一方面，勒讓德早在1785年便說明了在每一個算術(shù)級數(shù)ax+b(此 對數(shù)論研究開辟了一個十分廣闊的園地之后，勒讓德在1830年又試圖闡述阿貝爾的關(guān)于方程代數(shù)解的概念．勒讓德認(rèn)為，他已令人信服地證明了對于高于四次的方程來說，求得一般的解是不可能的．他還對研究方程的數(shù)值解法表示過興趣，特別是研究過根的分離和把它們展開成連分?jǐn)?shù)．1808年，他提出了關(guān)于代數(shù)基本定理的證明，與 J．R．阿爾岡(Argand)在1806年給出的證明十分類似． 在他的《幾何學(xué)原理》(Eléments de géométrie，1794)的附注4(發(fā)表于該書的第一版)中，勒讓德利用連分?jǐn)?shù)的算法建立了蘭伯特定理(1761)：圓的周長和直徑的比是一個無理數(shù)．他改進(jìn)了這一結(jié)果，證明了這個比的平方也是一個無理數(shù)，并補(bǔ)充說：“很可能數(shù)π甚至不包含在代數(shù)無理數(shù)中，但是要嚴(yán)格說明這個命題似乎是非常困難的．” 在他整個一生中，勒讓德都對數(shù)論有著極大的興趣．他非常了解這個題目的困難．因此在他最后的幾年當(dāng)中，經(jīng)歷了一個對它不再抱希望的過程．例如，他在1828年寫信給雅可比說：“我打算奉勸你不要化太多的時間去研究這類問題；它們是非常困難的，而且往往是毫無成效的．” 天體力學(xué)是勒讓德在他早年科學(xué)研究生涯中關(guān)心過的另一個領(lǐng)域．他年輕時曾從事關(guān)于星球的相互吸引問題和它們的平衡方式的研究．1783年1月，他在科學(xué)院宣讀過一篇關(guān)于這一問題的論文，該文發(fā)表在《外國博學(xué)者文集》(Recueil des savants étran- gers，1785)一書中．他在這篇文章中證明了一條定理：如果旋轉(zhuǎn)體對位于軸的延長線上每一外點的引力為已知，則它對每一外部點的引力也可求得．文章中出現(xiàn)了我們現(xiàn)在所謂的勒讓德多項式．對這一多項式的研究引起了以后一系列浩瀚的工作． 1784年7月，勒讓德在科學(xué)院宣讀了“關(guān)于行星形狀的研究”(Recherches sur la figure des planètes)．他在此文中推導(dǎo)出勒讓德多項式的一些性質(zhì)，并將這些性質(zhì)和其他性質(zhì)運(yùn)用到萬有引力的問題上．此后不久，他又發(fā)表了“關(guān)于地球形狀結(jié)果的三角運(yùn)算”(Mémoire sur les opérations trigonomètriques dont les résultats dépendent de la figure de la terre)．在這篇文章中有一個關(guān)于球面三角的“勒讓德定理”： “當(dāng)一個(球面)三角形的邊相對球半徑是很小的時候，它非常近似于一個直線三角形．如果從它的每一個角中減去這三個角之和與二直角(之和)之差的三分之一，則按這一方式所得的角可以被看作是一個直線三角形的角，這個三角形和已知三角形有相等的邊長．” 1790年，勒讓德發(fā)表了“論重積分”(Mémoire sur les inté-grales doubles)一文．他在這篇文章里完成了他關(guān)于球體吸引的分析、包括對非均勻球體情形的研究，以及某些微分方程的特殊積分的探討． 18世紀(jì)末，由R．de普隆尼(Prony)領(lǐng)導(dǎo)的法國勘測局編制了三張數(shù)學(xué)用表，即：按一直角的每千分之十度計算角的余弦，精確到小數(shù)第22位；按一直角的每千分之一百度計算正弦的對數(shù)，精確到小數(shù)第12位；以及從1到200 000各個數(shù)的對數(shù)，也是精確到小數(shù)第12位．這項工作由以勒讓德為首的分析學(xué)家們組成的一個小組進(jìn)行準(zhǔn)備，勒讓德設(shè)計了一些新的公式用以確定正弦的相繼的差，并根據(jù)一些恒等式對計算出來的結(jié)果相互驗證．1802年，勒讓德寫道：“這三張表是用新方法計算出來的，主要是基于差分演算的方法，它們是樹立于科學(xué)事業(yè)中最出色的紀(jì)念碑之一．”這些手抄表的抄本被收存在經(jīng)度局中．有一篇解釋性的文章發(fā)表在《?？茖W(xué)校論文集》(Mémoires de l'Institut，1801)里． 還有一個重要領(lǐng)域是勒讓德的著作中所涉及到的，即初等幾何——特別是平行線理論．他在這方面的著作《幾何學(xué)原理》多次再版并被翻譯成英文、德文、羅馬尼亞文，支配了這門課程的初等教育幾乎達(dá)一個世紀(jì)．附于書中的詳細(xì)注釋至今尚有一定的價值．1793年，公眾教育委員會又委托他和拉格朗日合寫了一本題為《微分學(xué)和幾何學(xué)原理》( léments de calcul et de géométrie)的教材．《幾何學(xué)原理》中的教義式的表述，標(biāo)志著法國在很大程度上對歐幾里得的迷信．在非歐幾何學(xué)家為了使他們的概念被公眾接受所作的斗爭中，這本書倍受責(zé)難．1832年，勒讓德曾回憶起他在1794年至1823年為證明歐幾里得平行公理所作的種種努力，他本人從未認(rèn)識到這一切都是徒勞的．實際上，在他的一個似乎是無可挑剔的證明中，可以找到一個謬誤．正如I．牛頓(New-ton)的眾多信徒一樣，勒讓德也篤信絕對空間和直線三角形邊的“絕對的量”．遵循拉格朗日在《都靈雜錄》(Mémoires de Turin，1761)中所提出的倍受青睞的“量的齊次性法則”，勒讓德在1794年建立了三角形的內(nèi)角和定理．假若給定三角形的一條邊a和該邊的兩個鄰角B，C，則此三角形可以唯一確定．第三個角A應(yīng)為已知各量的函數(shù)： 認(rèn)為：“這一結(jié)果說明一條邊a可以等于一個沒有維數(shù)的純粹數(shù)量，這是荒謬的．”量的齊次性法則必然使得這個長度在一開始就不能在公式 便容易得到A+B+C=π． 直到生命的結(jié)束，勒讓德從不懷疑這一推理的價值．失敗的原因是他在最后的分析中總是依賴那些按歐幾里得的觀點看來是“顯然”的命題．例如：凹向相反的兩條凸周線必在有限遠(yuǎn)處相交；在一個角的內(nèi)部總可作出一條直線使其與角的兩邊相交；過不共線的三個點總可以作出一個圓．他在球面幾何和球面三角方面的鑒別力并沒有使他消除對絕對歐氏空間的盲目信任．他在1832年寫道：“這條關(guān)于三角形的三個角的和的定理應(yīng)該認(rèn)為是那些基本真理之一．這些真理是不容爭論的，它們是數(shù)學(xué)永恒真理的不朽的例子．” 勒讓德的科學(xué)活動從大約1770年起到1832年止，在18和19世紀(jì)各從事了30年．他是拉格朗日的一位杰出的門徒，也超過了歐拉的所有弟子．他和當(dāng)時其他數(shù)學(xué)家一樣，既處理抽象數(shù)學(xué)，也研究數(shù)學(xué)在宇宙系統(tǒng)中的應(yīng)用．他的著作是過渡性的，很快就陳舊了．但盡管如此，他仍是一位不平凡的計算工作者，一位熟練的分析學(xué)家，而且總的說來，是一位優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家，特別在橢圓函數(shù)論和數(shù)論方面做出了杰出的貢獻(xiàn)． |
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