原文:plus.maths.org/content/os/issue29/features/quadratic

譯者:煙波藍(lán)   翻譯小組成員

校對:Panlan  翻譯小組組長

通常來說，一個數(shù)學(xué)公式極少會同時引起國內(nèi)各路媒體的關(guān)注，更難成為英國議會討論的焦點。但是在2003年，我們在中學(xué)時期就學(xué)過的、非常經(jīng)典的二次方程卻是一個例外。

Where we begin（所有爭議的起點）

在一次全國教師聯(lián)合會議上，二次方程成為了眾矢之的，它被批判為數(shù)學(xué)家強(qiáng)行施加給無辜的、毫無戒備的學(xué)生們的“酷刑”中的典型案例之一。這個新奇有趣的指控促使二次方程成為了當(dāng)時黃金時段的電臺節(jié)目的討論主角，在那里它被一個更習(xí)慣于對付首相的咄咄逼人的采訪者質(zhì)疑。泰晤士報特意在頭條位置（通?？侵亓考墕栴}如對社會道德或者現(xiàn)代世界的健康的討論）指出，一元二次方程是毫無用處的、數(shù)學(xué)是無用的，并且沒有人想學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不必浪費(fèi)時間。為避免有關(guān)一元二次方程的不利看法在民眾心里一直占據(jù)上風(fēng)，二次方程對英國生存的重要性在英國下議院被提出并討論（值得高興的是，較為正面的觀點被提出）。

局面將會走向何處？二次方程真的要被封殺了嗎？有人在意嗎？數(shù)學(xué)家真的是用二次方程折磨年輕的一代以腐蝕他們不朽靈魂的邪惡怪物嗎？

也許是這樣，但這并不是二次方程的錯。事實上, 二次方程不僅在我們所知的人類文明的整體中發(fā)揮了關(guān)鍵的作用, 而且在可能探測到其他外星人的文明, 甚至像看衛(wèi)星電視這樣重要的現(xiàn)代活動中都扮演著舉足輕重的作用。此外，除了圣經(jīng)，還有什么能夠被認(rèn)為對生命有著如此重大的影響呢？事實上, 毫無疑問， 二次方程式在真正意義上可以拯救你的生命。

巴比倫人(The Babylonians)

巴比倫人記錄9倍乘法表的楔形文字板的正面和背面

這一切都始于大約公元前三千年的巴比倫人。他們是世界上最早的文明之一，在很多領(lǐng)域，如農(nóng)業(yè)、灌溉和寫作上取得了偉大成果。他們繪制出了太陽、月亮和行星運(yùn)行的軌跡圖，并將它們記錄在粘土片上（你仍然可以在大英博物館里看到）。巴比倫人賦予我們現(xiàn)代文明里很重要的角度的概念。由于計算上的小錯誤，他們把一個圓周劃分成 360 份，每一份代表一年中的一天。同時，他們也有（不那么令人愉快的）收稅制度，這也是巴比倫人需要解決一元二次方程的重要原因之一。

讓我們來假設(shè)你是一個巴比倫農(nóng)民，在你農(nóng)場的某個地方有一塊正方形田地，你可以在此種莊稼。那么，你可以種多少莊稼呢？如果你將土地的邊長增大一倍，你會發(fā)現(xiàn)可種的莊稼量變?yōu)樵瓉淼乃谋?，其原因是，你可種植的莊稼量和你的土地面積是成比例的，也就是和邊長的平方成比例。用數(shù)學(xué)語言來說，假設(shè) x 為土地的邊長，m 是你可以在這一塊正方形土地上單位面積可以種植的莊稼量，c 是你總共可種植的莊稼量，那么

c = mx2

這就是我們的第一個二次方程，樸素簡單，卻又熠熠生輝。二次方程和面積像家族中的兄弟姐妹一樣緊緊聯(lián)系在一起。但是，此時我們并不需要解決任何問題——直到收稅人到來。納稅人來啦！他興致勃勃地對農(nóng)民說：“我希望你給我收貨 c 量的莊稼以便來繳納你農(nóng)場的稅收。”農(nóng)民現(xiàn)在就陷在困境里了：他需要多大的土地來種植對應(yīng)數(shù)量的莊稼呢？事實上，我們可以很容易就解出答案:

用計算器找出平方根對于我們來說是輕而易舉的，但是對巴比倫人來說卻是個大問題。不過他們發(fā)明了一種逐次逼近法來得到近似值，該方法與現(xiàn)代計算機(jī)用來解決比二次方程更難的問題的算法（稱為牛頓-拉夫遜方法，Newton-Raphson method）相同。

現(xiàn)在，我們延伸到更一般情況，不是所有的土地都是正方形的。假設(shè)這個農(nóng)民有一塊形狀更復(fù)雜的、由兩個三角形組成的土地（如上圖所示）。

對特定的 a 與 b，農(nóng)民在這塊地上可以種的莊稼量為

這和我們平時常見的等式相差無幾了，但對這些貪婪的稅務(wù)官來說也不是那么容易解出來了。然而，巴比倫人又神通廣大地解出來了！首先我們在等式左右同時除以 a 并整理得到

然后，用配方法化成左側(cè)為完全平方形式：

與上式結(jié)合，得到

現(xiàn)在這個等式就可以通過求平方根解決了。答案就是著名的求根公式：

整理之后即是：

這個公式更常見的是-4ac而不是4ac，因為一元二次方程通常為下面形式：

眾所周知，求平方根運(yùn)算可以得到一個正數(shù)和一個負(fù)數(shù)，這也使得一元二次方程有兩個解。想想有多少數(shù)學(xué)問題只有唯一解，你就會覺得一元二次方程有多神奇了！

我們現(xiàn)在得到的結(jié)論通常都是一元二次方程在實際教學(xué)中的全部了，這也是記者們采訪數(shù)學(xué)家時都關(guān)注的話題。僅僅從 a，b 和 c 的賦值就得到兩個答案這一點就可以提出無數(shù)個題，但這并不是數(shù)學(xué)所關(guān)心的話題。得到一個公式僅僅只是漫漫長路中的第一步。我們不由得提問，這個公式意味著什么；它可以帶我們探索宇宙中的哪些奧妙；得到一個公式真的很重要嗎？現(xiàn)在讓我們來看看這個公式將會帶給我們什么。

令希臘人震驚的一個發(fā)現(xiàn)和

數(shù)學(xué)折紙游戲帶來的重要比例

現(xiàn)在讓我們穿越回到一千多年前的古希臘，看看他們對一元二次方程所做的研究。古希臘人是杰出的數(shù)學(xué)家，他們做出了很多我們現(xiàn)在都還在運(yùn)用的數(shù)學(xué)結(jié)論。他們感興趣解決的方程之一就是(簡單的)一元二次方程

他們知道這個方程有解，即是一個直角邊長為 1 的等腰直角三角形的斜邊長。

這來源于畢達(dá)哥拉斯的定理：如果一個直角三角形的兩個直角邊分別為 a、b，則斜邊 c 的長度為

令 a=b=1，且 x=c，則

因此，

那么，在這個例子里 x 是什么？或者，那個古希臘人曾問過的問題——x 是個怎樣的數(shù)？古希臘人為什么對這個問題這么重視呢？原因在于他們慣有的對比例的敏感性。他們認(rèn)為所有的數(shù)都互相成比例。確切來說，這意味著所有的數(shù)都是形式

的分?jǐn)?shù)（a、b均為整數(shù)），比如 1/2, 3/4 和 355/113。于是自然而然地，他們認(rèn)為 √2 

也是一個分?jǐn)?shù)。然而，令他們十分震驚的是，事實并不是這樣。事實上，

這里的“…” 意味著 √2 的小數(shù)部分無規(guī)律地擴(kuò)展到無限（我們在之后對無序性的研究中會再次遇到這種情況）

√2 是第一個被確認(rèn)為的無理數(shù)(irrational number，也就是說，它不是分?jǐn)?shù)或有理數(shù))，其他的無理數(shù)例如 ，π，e，和我們熟知的大部分?jǐn)?shù)。直到十九世紀(jì)，我們才找到比較系統(tǒng)的方法來研究這一類數(shù)字。 不是有理數(shù)這一發(fā)現(xiàn)同時引起了巨大興奮（一百只公牛因此被宰以慶祝這一成就）和巨大恐慌，導(dǎo)致其發(fā)現(xiàn)者不得不自殺（這是對數(shù)學(xué)狂熱份子的一個可怕警告）。此時，希臘人放棄了代數(shù)，轉(zhuǎn)而投向了幾何學(xué)。

√2 完完全全不是一個晦澀難懂的數(shù)字，相反，生活中  的應(yīng)用極其普遍，比如 A4 紙的長寬比。在歐洲，紙張均是用 A系列的標(biāo)準(zhǔn)制作的，A0是面積最大的，有 。A系列的紙張尺寸之間有很緊密的聯(lián)系。我們將一張 A1 紙沿著它較長的那條邊對折，就可以得到 A2 紙，再次對折，就可以得到 A3 紙，再次對折，就是 A4紙。A系列的紙都被設(shè)計成長寬比相同的紙，也就是說，每一種尺寸的紙張都有相同的形狀。

現(xiàn)在我們可以研究這個長寬比到底是多少。假設(shè)一張紙長 x、寬 y，現(xiàn)在將它均分為兩張長為 y、寬為 x/2 的紙（如圖）。

第一張的長寬比為 x/y，第二張顏色較深是 y/(x/2), 或 2y/x ，使兩者相等，我們得到

即是

這便是又一個二次方程！幸運(yùn)的是，它可以轉(zhuǎn)化為我們已經(jīng)研究過的情況，我們可以解得

這個結(jié)果可以很容易得到驗證。只需拿一張A4紙（A3或者A5紙亦可），測量它的長度與寬度。我們還可以算出每張紙的面積。

A0紙張的面積A可由下面公式得出：

我們已知

所以我們立即可以得到這個二次方程(其中x是A0紙的長邊)：

因此我們可以得到，A2紙的長邊為

(請讀者自行思考原因)，A4紙的長邊為

讀者可以在紙張上自行驗證這個結(jié)果。

美國的紙張制作使用的是另一種長寬比不同的標(biāo)準(zhǔn)，叫做“foolscap（大裁）”。為了探究這種做法的原因，我們需要重新回到古希臘去解決另一個二次方程。一元二次方程在帶來了困惑、數(shù)學(xué)危機(jī)之后，終于為自己贖罪，展現(xiàn)了其在實際生活中的用途——黃金比例。這個成果一直到現(xiàn)在比如電影布景里都有很好的應(yīng)用，同時也在大自然中有很多神奇的例子。

讓我們從矩形開始，裁去一個以矩形寬度為邊長的正方形。假設(shè)矩形的長為 1、寬為 x，那么正方形的邊長為 x。將這個正方形裁去之后，我們得到一個較小的矩形，其長為 x、寬為 1-x，到目前為止，一切都顯得很抽象。但是古希臘人并不這樣想。他們認(rèn)為，長寬比最具美感的矩形（即所謂的黃金矩形）應(yīng)該是大、小矩形的構(gòu)成比例相同的矩形。為了使這個假設(shè)成立，我們得到這樣一個等式：

這又是另一個一元二次方程：一個有著極廣泛應(yīng)用的等式，它的正數(shù)解為：

x 的這個值被稱為黃金比例，通常用希臘字母φ 表示

黃金矩形在被應(yīng)用于窗戶的制作上，特別是格魯吉亞人的房屋?，F(xiàn)代的攝影和電影圖像中所追求的“完美形態(tài)”也應(yīng)用了黃金比例的原理。

這個等式也在研究兔子種群數(shù)量的實驗、向日葵花籽和植物莖干上葉子的排列規(guī)律的實驗中出現(xiàn)。它們都是通過斐波納契數(shù)列同黃金比例聯(lián)系起來的，斐波納契數(shù)列如下：

體現(xiàn)了黃金比例的帕臺農(nóng)神廟與向日葵花籽的排列遵循斐波納契數(shù)列的規(guī)律    

在斐波納契數(shù)列中，每一個數(shù)（從第三個數(shù)開始）都是前兩個數(shù)字的和。在15世紀(jì)，斐波納契在試圖預(yù)測未來兔子種群數(shù)量的時候發(fā)現(xiàn)了這個數(shù)列。如果你算出每個數(shù)字與其后數(shù)字的比，你就會得到這樣一個數(shù)列：

如你所料,這些數(shù)將越來越接近黃金比例 φ。

在尋找上面二次方程的兩個解的過程中，我們實際上也可以找到斐波納契數(shù)列的通項。如果 Fn 代表數(shù)列中的第 n 個數(shù)，F(xiàn)0=1，F(xiàn)1=1，那么 Fn  可以由以下通項得到

二次方程在圓錐曲線中的應(yīng)用：天文

古希臘人同時也對圓錐體感興趣，上圖就是一個典型的圓錐體。

這個圓錐體的一半可以看做手電筒的光線播。當(dāng)手電筒照到一個平面（比如墻壁），那么在移動手電筒時你會看到不同的投影。這些投影的邊界叫做圓錐曲線。如果我們沿著不同的角度將圓錐體切割，也同樣可以得到這樣的曲線。古希臘人研究了這些曲線，然后意識到它們可以被分為四類。如果你水平切割，則可以得到一個圓；在水平線的基礎(chǔ)上稍微傾斜一下角度，則可以得到橢圓；沿著平行圓錐的母線切割，得到拋物線；如果采用垂直截面，則會得到雙曲線。（如圖）

圓錐的橫截面可以是圓形；一個橢圓；一條拋物線；或一條雙曲線

圓錐曲線之所以作為我們故事的例子，是因為這四種曲線都可以由二次方程表示。假如（x，y）表示平面上的一個點，用二次方程表示x與y之間的關(guān)系，我們可以得到：

這些曲線自從古希臘就十分聞名并被廣泛研，但是似乎除了圓以外，其余的曲線并沒有實際應(yīng)用。然而，在16世紀(jì)，圓錐曲線卻改變了世界！正如我們將在Plus雜志下一期中所看到的，二次方程和圓錐曲線之間的聯(lián)系幫助我們認(rèn)識了宇宙運(yùn)作的方式。（未完待續(xù)）