【題記】

什么是深刻？所謂深刻就是面對(duì)真問(wèn)題，堅(jiān)持答案不標(biāo)新立異，而在于合情合理，這就是我眼中的深刻。一句話，簡(jiǎn)單即深刻。

以當(dāng)下把握未來(lái)，以課程超越課堂。我們要做的是豐富學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程的知識(shí)；對(duì)學(xué)生的需求里當(dāng)下的困難保持敏感性；在互動(dòng)中產(chǎn)生豐富的細(xì)節(jié)和故事；對(duì)詩(shī)和遠(yuǎn)方的追求。

德行即知識(shí)。——蘇格拉底

多年前，華應(yīng)龍老師在杭州舉辦大型公開(kāi)教學(xué)活動(dòng)中執(zhí)教的是《神奇的莫比烏斯圈》，很多拿到會(huì)議材料的老師（當(dāng)然包括我）都感到詫異：這是一節(jié)什么課？莫比烏斯圈是什么？它又神奇在哪兒呢？

帶著這樣的心情，我們一同欣賞了這節(jié)課。以下是幾個(gè)實(shí)錄片斷：

片斷一：做紙圈

師：同學(xué)們喜歡看魔術(shù)嗎？今天老師就給大家表演一個(gè)小魔術(shù)。（表演）

師：怎么樣？今天我們也一起來(lái)玩一個(gè)魔術(shù)。請(qǐng)同學(xué)們拿出桌上的一張紙條，說(shuō)說(shuō)這張紙條有幾個(gè)面？幾條邊？

生：有兩個(gè)面，4條邊。

師：現(xiàn)在，我們能把它變成兩個(gè)面，兩條邊嗎？請(qǐng)?jiān)谛〗M中討論，并嘗試操作一下。（小組活動(dòng)后交流）

生：我們只要把這張紙條對(duì)接起來(lái)，用膠水粘好，就變成兩個(gè)面，兩條邊了。（邊說(shuō)邊比劃，做成了如下圖所示的樣子）

師：請(qǐng)同學(xué)們摸一摸兩條邊和兩個(gè)面……這里的兩條邊有什么特點(diǎn)？?jī)蓚€(gè)面是平面還是曲面呢？

生：兩條邊都變成曲線了。

生：兩個(gè)面都是曲面，一個(gè)在里面，一個(gè)在外面。

師：（又拿出一張同樣的紙條）現(xiàn)在我這里有一張同樣的紙條，我先扭一扭，旋轉(zhuǎn)180°，再對(duì)接粘貼起來(lái)（教師的操作如下圖所示）。

請(qǐng)同學(xué)們想一想，這里的紙圈會(huì)是幾條邊、幾個(gè)面呢？

（同學(xué)們思考片刻）

生：還是兩條邊，兩個(gè)面。

生：我想，可能是兩條邊，一個(gè)面。

生：既然老師要我們猜想，說(shuō)明可能和原來(lái)完全不一樣。我想可能是一條邊、一個(gè)面吧。

（這時(shí)下面聽(tīng)課的老師也禁不住撕下記錄本上的一頁(yè)紙，做成紙圈，比劃著，議論著，場(chǎng)上場(chǎng)下議論紛紛。）

師：好，現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們跟我做一個(gè)這樣的紙圈，然后沿著它的曲面的中線位置用筆畫(huà)一條線，請(qǐng)大家試試，你發(fā)現(xiàn)什么啦？

（同學(xué)們做成莫比烏斯圈，并沿著中線畫(huà)線）

生：我發(fā)現(xiàn)這條線一直畫(huà)下去，與起點(diǎn)匯合了，說(shuō)明它只有一個(gè)面。

生：我還發(fā)現(xiàn)我把這個(gè)紙圈的邊上做了一個(gè)記號(hào)，并從這個(gè)記號(hào)開(kāi)始一直用手摸下去，繞了一圈又到了做記號(hào)的地方，說(shuō)明這個(gè)紙圈只有一條邊。

師：為什么這個(gè)紙圈會(huì)變成一條邊、一個(gè)面呢？

生：因?yàn)榘鸭垪l扭轉(zhuǎn)180°后，兩條邊對(duì)接上了，正反兩個(gè)面也連在一起了。

師：對(duì)!我們把原來(lái)沒(méi)有扭轉(zhuǎn)而對(duì)接起來(lái)的曲面叫做雙側(cè)面。而把這種扭轉(zhuǎn)后對(duì)接的曲面叫做單側(cè)面，這種單側(cè)面的紙圈，叫做“莫比烏斯圈”，是由法國(guó)數(shù)學(xué)家莫比烏斯在1858年發(fā)現(xiàn)的。你可別小瞧這個(gè)紙圈，它的奇妙之處可不少喲。下面就一起來(lái)研究……

片斷二：剪紙圈

師：現(xiàn)在，如果用剪刀沿莫比烏斯圈的中線剪開(kāi)，猜一猜將變成什么樣呢？

生：我想它會(huì)變成兩個(gè)紙圈吧。

生：可能會(huì)變得一張長(zhǎng)紙條了。

生：我想也是兩個(gè)紙圈，而且兩個(gè)紙圈套在一起。

生：是一個(gè)紙圈。

師：同學(xué)們很積極地進(jìn)行猜想，值得表?yè)P(yáng)?，F(xiàn)在大家一起剪一剪，看看到底是什么樣子？

（學(xué)生早已躍躍欲試了，迫不及待地開(kāi)始剪起來(lái)。下面的聽(tīng)課老師也饒有興趣地嘗試著。））

師：發(fā)現(xiàn)了什么？有什么感受？

生：我猜對(duì)了！原來(lái)真是變成了一個(gè)更大的紙圈！

生：不可思議，怎么會(huì)是這樣的呢？！

……

師：好玩吧，還有更奇妙的呢。大家想不想試一試？

生：老師，快說(shuō)吧，怎么玩呢？

師：好，今天我們就來(lái)上一堂瘋狂的數(shù)學(xué)課！現(xiàn)在同學(xué)們的桌子還有一個(gè)紙條，現(xiàn)在我們把它沿縱向三等分，并把中間的一格涂上不同的顏色。（如下圖）

然后像剛才一樣，把它做成一個(gè)“莫比烏斯圈”。如果沿著它的其中一條等分線剪開(kāi)，請(qǐng)你們猜一猜，要剪幾次？結(jié)果會(huì)是怎樣的呢？

……

（同學(xué)們又一次被激發(fā)，結(jié)果變成了大小兩個(gè)紙圈，而且套在一起！意料之外，匪夷所思?。?！同學(xué)們始終沉浸在猜想與探求的快樂(lè)中，并數(shù)學(xué)的神奇魔力深深吸引著，不知不覺(jué)一堂課就這樣過(guò)去了。）

數(shù)學(xué)課原來(lái)可以這樣上！這是我聽(tīng)完課的第一感受。

這是一堂不同尋常的課！整堂課中，學(xué)生在“猜想―驗(yàn)證―驚奇―猜想―驗(yàn)證－驚奇……”中一次又一次感受著數(shù)學(xué)的神奇魅力。

這是一次大膽的嘗試！把這樣的內(nèi)容設(shè)計(jì)成一堂數(shù)學(xué)活動(dòng)課，我佩服華老師敢于挑戰(zhàn)新課程、新課堂、新教學(xué)的勇氣!

英國(guó)教育家帕梅拉．利伯克所說(shuō)：“人們偏愛(ài)數(shù)學(xué)是因?yàn)樗浅Ｓ杏?，然而更重要是，?duì)于我們特別是對(duì)于孩子來(lái)說(shuō)其吸引力在于智力或美學(xué)上的滿足?！?/span>

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生在智力上或美學(xué)上真正理解了數(shù)學(xué)，體驗(yàn)了數(shù)學(xué)，保持對(duì)數(shù)學(xué)的濃烈興趣，不斷增強(qiáng)學(xué)習(xí)探索的內(nèi)驅(qū)力。整堂課中，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣被激發(fā)了，我們可以試想一下，學(xué)生感興趣了，有欲罷不能的探求欲望了，我們還用發(fā)愁學(xué)生學(xué)不好數(shù)學(xué)，在課堂沒(méi)有什么收獲嗎？

于是我想說(shuō)：“沒(méi)有學(xué)不好的學(xué)生，只有不好的教學(xué)設(shè)計(jì)！”

透過(guò)這堂課，它還告訴我們這樣的信息；新課程、新教學(xué)、新課堂對(duì)教師提出了更高的要求，要求教師們廣聞博覽，用文化學(xué)的思想來(lái)觀照數(shù)學(xué)教學(xué)，以心理學(xué)的思想來(lái)把握學(xué)生的學(xué)習(xí)心向，用“以人為本”的教育理念重視審視課堂，同時(shí)又要與新課程理念相吻合，這樣才能設(shè)計(jì)出令學(xué)生喜歡、驚奇的數(shù)學(xué)活動(dòng)課，讓學(xué)生徜徉其中，收獲多多。

由于對(duì)此課比較感興趣，禁不住它的誘惑，我就華老師的教學(xué)進(jìn)行一些小的改進(jìn)和充實(shí)，并進(jìn)行了教學(xué)嘗試。

我改進(jìn)的部分有開(kāi)始部分、中間部分和結(jié)尾部分。開(kāi)始部分是這樣的：

①把那個(gè)長(zhǎng)紙條的兩面分別分成12個(gè)格子，正面從左到右依次寫上：“從前有座山，山上有座廟，”。

②保持紙條下沿不離開(kāi)桌面，手持紙條上沿將它從上面翻下來(lái)，在它的背面依次寫：“廟里有個(gè)老和尚，他在講：”。如下圖：

正面：

背面：

③把這張紙條扭轉(zhuǎn)180°，然后首尾對(duì)接，粘成莫比烏斯圈。如下圖：

④把紙圈套在右手的食指上，向左邊捋一捋，念一念，就成了：

“從前有座山，山上有座廟，廟里有個(gè)老和尚，他在講：從前有座山，山上有座廟……”

師：請(qǐng)告訴我,你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：我發(fā)現(xiàn)：順著紙條上的字念下去，永遠(yuǎn)也念不完。

師：這說(shuō)明什么？

生：這說(shuō)明原來(lái)紙條的正面和反面連接起來(lái)了，就成了一個(gè)面！

師：對(duì)，以上所做的這個(gè)紙圈，是數(shù)學(xué)家名字命名的“莫比烏斯圈”?？蓜e小看這個(gè)小小的紙帶，雖然制作起來(lái)十分簡(jiǎn)單，卻奇特得叫人不可思議。例如，放一只螞蟻到紙帶上，讓它沿著圖中紙帶上所寫字的路線爬行（不經(jīng)過(guò)紙的邊沿），這只螞蟻就可以一起爬遍紙帶的兩個(gè)面，而在普遍的沒(méi)有旋轉(zhuǎn)180度而粘貼的紙帶上是不可能做到的?，F(xiàn)在卻可以輕而易舉地做到了。請(qǐng)同學(xué)們重新做一個(gè)“莫比烏斯圈”，拿起筆，用筆尖代表螞蟻，先在紙圈上做一個(gè)記號(hào)，再沿著紙圈的中線一直畫(huà)下去，畫(huà)完后告訴老師，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：（操作后）我發(fā)現(xiàn)螞蟻兜了一圈，又回到了原來(lái)做記號(hào)的地方，也就是起點(diǎn)。

師：如果沿著這條中線剪下來(lái)，又會(huì)發(fā)現(xiàn)什么奇妙之處呢？請(qǐng)同學(xué)們先猜想一下，再剪一剪……

中間部分我補(bǔ)充了一個(gè)探究性操作：

按下圖一在紙上剪下兩個(gè)十字形，紙帶寬約3厘米，長(zhǎng)可15厘米左右，再在十字上分別畫(huà)上兩條虛線，并在有陰影的部分涂上膠水。然后，把兩個(gè)十字形分別粘成圖二、圖三形狀。注意圖三中有一個(gè)紙圈扭了180°。如果把它們沿虛線剪開(kāi)，想想看會(huì)是 什么樣子，然后再剪剪看。

結(jié)束部分，華老師讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)“莫比烏斯圈”在日常生活中有哪些應(yīng)用，同學(xué)們?cè)谡n堂上說(shuō)了不少，如有學(xué)生說(shuō)可以利用它來(lái)做過(guò)山車，這樣兜了一圈又會(huì)回到起點(diǎn)了；有的說(shuō)……最后是華老師介紹了中國(guó)科學(xué)院門前的三葉結(jié)。

我要補(bǔ)充的是——

現(xiàn)在，這一成果已經(jīng)在科技上得到了應(yīng)用。如有一種電腦打印機(jī)（如AR－3200＋）用來(lái)打印文稿的色帶就是根據(jù)這一原理做成的，這種色帶是經(jīng)過(guò)180度旋轉(zhuǎn)后進(jìn)行對(duì)接，這樣可以使色帶在打印中兩面都得到充分利用，從而成倍地延長(zhǎng)其使用壽命，大大節(jié)省了耗材（用實(shí)物投影儀展示的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，突出顯示扭轉(zhuǎn)對(duì)接的部分）。你看它的設(shè)計(jì)多么巧妙?。?/span>

有興趣的同學(xué)可以自行猜想“莫比烏斯圈”的用途，再大膽設(shè)計(jì)，說(shuō)不定還可以申請(qǐng)到專利呢。（本文曾發(fā)表于國(guó)家級(jí)刊物《中小學(xué)教材教學(xué)》）