菱形與雙動點問題

解析：

（1）答案：6

（2）

（3）先觀察“全程動畫”演示：

分類解答如下：

動點（在角內(nèi)）與菱形

如圖，P為∠AOB內(nèi)一點，OC=m(m為正數(shù)），過點P分別作PQ∥OA交OB于點Q，PM∥OB交OA于點M ．C為射線OA上任一點，連結(jié)CP并延長交OB于N點..

（1）若∠AOB=60°，OQ:OM:MC=1:4:2，探索CN、ON、OC之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明．

（2）當(dāng)點P在邊∠AOB的平分線上運動時，問：1/OM－1/ON的值是否發(fā)生變化？如果變化，指出該值隨m的變化情況；如果不變，請說明理由．

（3）在（2）的條件下，若m＝3，菱形OMPQ的面積為S[1]，△NOC的面積為S[2]，求(S[1] /S[2])的取值范圍.

解析如下：

（1）

（2）

（3）

動點與矩形（中考題改編）

如圖，矩形ABCD中，AB：BC＝1：2，F(xiàn)為射線BA上的一點，連接CF交BD于E點，交AD于G點，已知AF＝8，tan∠BCF＝1.5,

（1）求DG的長

（2）△BEF的面積；

（3）若矩形A'B'C'D'從B點出發(fā)，沿射線BA方向以每秒1個單位長度的速度平移，設(shè)移動時間為t（0≤t≤12）秒，矩形ABCD與△BEF重疊部分的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的t的取值范圍．

解析（解法多種，僅提供一種）：

（1）

（2）

（3）先觀察“全程”動畫.

第一種情況：當(dāng)0≤t≤3時

第二種情況：當(dāng)3<t≤8時

第三種情況：當(dāng)8<t≤12時

全程圖象：

全程圖形和圖象：

動點與動直線

如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝50，AC＝30，D、E、F分別是AC、AB、BC的中點．點P從點D出發(fā)沿折線CD－DE－EF－FC以每秒7個單位長的速度勻速運動；點Q從點B出發(fā)沿BA方向以每秒4個單位長的速度勻速運動，過點Q作射線QK⊥AB，交折線BC－CA于點G．點P、Q同時出發(fā)，當(dāng)點P繞行一周回到點C時停止運動，點Q也隨之停止．設(shè)點P、Q運動的時間是t秒．

（1）D、F兩點間的距離是__________；

（2）射線QK能否把四邊形CDEF分成面積相等的兩部分？若能，求出t的值．若不能，說明理由；

（3）當(dāng)點P運動到折線EF－FC上，且點P又恰好落在射線QK上時，求t的值；

（4）連結(jié)PG，當(dāng)PG∥AB時，請直接寫出t的值．

觀察“全程動態(tài)圖”

(說明：本題的動態(tài)圖的作圖視頻講解在《幾何畫板》使用——實例培訓(xùn)中)

圖文解析：（強(qiáng)調(diào)：本題從頭到尾均用三角函數(shù)的概念來解析，注意體會其中的過程）

(1)根據(jù)三角形的中位線定理和勾股定理不難得到DF=25

(2)依題意，QK必經(jīng)過矩形對角線的交點(當(dāng)然也經(jīng)過DF的中點).

（3）

（4）

第一種情況：

第二種情況：

動點與正方形

在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°.

 (1) 將△ADF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG（如圖①）.求證：△AEG≌△AEF； 

 (2) 若直線EF與AB，AD的延長線分別交于點M，N（如圖②）.求證：(EF^2)=(ME^2) (NF^2)；

 (3)將正方形改為長與寬不相等的矩形，若其余條件不變（如圖③），試探究線段EF，BE， DF之間的等量關(guān)系，并說明理由.

(說明：本題的動態(tài)圖的制作視頻講解在《幾何畫板》使用——實例培訓(xùn)中)

解析：

（1）

（2）

（3）

動直線與平行四邊形

　（2016·黑龍江龍東）已知：點P是平行四邊形ABCD對角線AC所在直線上的一個動點（點P不與點A、C重合），分別過點A、C向直線BP作垂線，垂足分別為點E、F，點O為AC的中點．

    （1）當(dāng)點P與點O重合時如圖1，易證OE=OF（不需證明）

    （2）直線BP繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)∠OFE=30°時，如圖2、圖3的位置，猜想線段CF、AE、OE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你對圖2、圖3的猜想，并選擇一種情況給予證明．

(說明：本題的動態(tài)圖的制作視頻講解在《幾何畫板》使用——實例培訓(xùn)中)

解析：

（1）

（2）由（1）證明思路及中點的常用輔助線不難得到：

第一情況：

進(jìn)一步，

第二種情況：結(jié)論是：CF＝OE－AE.　　類似證明.

　……

思考：如果P點落在AC的延長上呢？　　[類似結(jié)論和證明（略）]

動點、正方形與最值

如圖，已知：E、F是正方形ABCD的邊AD上的兩個動點，滿足AE=DF，連接CF交BD于點G,連接BE交AG于點H，若正方形的邊長為2，求線段DH長度的最小值..

拓展：若E、F在直線AD上的兩個動點，連接CH，其他條件不變，畫出對應(yīng)的圖形，并求出CH的最大值和最小值.

圖文解析：

先找不變的量：

∠AHB＝90°（為定值）——聯(lián)想到“直徑所對圓周角為90°”

變式1：等腰直角三角形ABD中，∠BAD＝90°，AD=BD=6，E為直線AD上的動點，過A點作AH⊥BE于H，連接DH，求DH的長的最大值與最小值.

解析：

變式2：等腰直角三角形ABD中，∠BAD＝90°，AD=BD=6，E為直線AD上的動點，過A點作AH⊥BE于H，F(xiàn)是在線段BD上，且DF=2BF，連接FH，求FH的長的最大值與最小值.

解析：FH最小值的點：

FH最大值的點：

變式3：等腰直角三角形ABD中，∠BAD＝90°，AD=BD=6，E為直線AD上的動點，將△ABE沿BE對折得到△BHE，連接DH，求DH的長的最大值與最小值.

解析：最小會值的點：

變式4：等腰直角三角形ABD中，∠BAD＝90°，AD=BD=6，E為直線AD上的動點，F(xiàn)是邊AB上的點，且AF=2BF，連接EF，將△AEF沿EF對折得到△HEF，連接DH，求DH的長的最大值與最小值.

解析：最小值的點

最大值的點

變式5：△ABD中，sinA＝0.6，AB=2，AD=3，E為直線AD上的動點，將△ABE沿BE對折得到△BHE，連接DH，求DH的長的最大值與最小值.

解析：

變式6：條件與原題一樣，求CH的最小值和最大值.

解析：

最小值的點：

(思考題)變式7：

        E、F是長寬比為4：3的矩形ABCD的邊AD上的兩個動點，且滿足AE：DF=9：16，連接CF交BD于點G,連接BE交AG于點H，若AB=6，求線段DH長度的最小值.

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