類型一 “將軍飲馬”模型

通過對(duì)稱進(jìn)行等量代換，轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)之間的距離或點(diǎn)到直線的距離，或利用三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求得最值。

1、同側(cè)、異側(cè)兩線段之和最短

2、同側(cè)、異側(cè)兩線段之差最大、最小

例1：已知A. B. C. D四點(diǎn)如圖所示，請(qǐng)畫出一點(diǎn)P，使P到點(diǎn)A. B. C. D的距離之和最小，并說明理由。

簡(jiǎn)答：連接AD、BC,令其交點(diǎn)為P,在線段BC上任取一點(diǎn)Q(不同于點(diǎn)P)，連接AQ、DQ，如圖所示。

∵點(diǎn)P，點(diǎn)Q均在線段BC上，

∴PB+PC=QB+QC，

∵點(diǎn)P在線段AD上，

∴PA+PD=AD，

在△QAD中,QA+QD>AD(兩邊之和大于第三邊)，

即QA+QB+QC+QD>PA+PB+PC+PD.

∴線段AD、BC的交點(diǎn)P為所要找的點(diǎn)。

例2：如圖：A，B兩點(diǎn)在直線的兩側(cè)，點(diǎn)A到直線的距離AM=4，點(diǎn)B到直線的距離BN=2，且MN=4，P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，PA+PB的最小值為         ，|PA?PB|的最大值為         ，|PA?PB|的最小值為          。 

簡(jiǎn)答：（1）連接AB，交MN于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB最小=2√13

（2）作B點(diǎn)關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′并延長(zhǎng)，與直線MN交于點(diǎn)P，此時(shí)|PA?PB|的值最大=PA-PB′=AB′=2√5

理由：在直線MN上任找異于點(diǎn)P的一點(diǎn)P′，連接P′A，P′B′

由三角形兩邊之差小于第三邊可知，P′A-P′B≤AB′，當(dāng)A、B′、P′三點(diǎn)共線時(shí)，取得最值

（3）易知：在直線MN上存在一點(diǎn)P，使得PA=PB，此時(shí)|PA?PB|的值最小為0

3、三角形、四邊形周長(zhǎng)最小

例1：如圖,在四邊形ABCD中,∠BAD=110°,∠B=∠D=90°.在BC，CD上分別找一點(diǎn)M，N，使△AMN周長(zhǎng)最小，則∠AMN+∠ANM的度數(shù)為       .

解答：

如圖,作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A′，關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)A″，

連接A′A″與BC、CD的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)M、N,

∵∠BAD=110°,∠B=∠D=90°，

∴∠A′+∠A″=180°?110°=70°，

由軸對(duì)稱的性質(zhì)得：∠A′=∠A′AM，∠A″=∠A″AN，

∴∠AMN+∠ANM=2(∠A′+∠A″)=2×70°=140°.

例2：如圖,∠MON=20°,A、B分別為射線OM、ON上兩定點(diǎn),且OA=2,OB=4,點(diǎn)P、Q分別為射線OM、ON兩動(dòng)點(diǎn),當(dāng)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí),線段AQ+PQ+PB的最小值是      

解答：

作A關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)A′,點(diǎn)B關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)B′,連接A′B′,交于OM,ON分別為P,Q,連接OA′,OB′，

則PB′=PB,AQ=A′Q,OA′=OA=2,OB′=OB=4,∠MOB′=∠NOA′=∠MON=20°，

∴AQ+PQ+PB=A′Q+PQ+PB′=A′B′,∠A′OB′=60°，

∵cos60°=1/2,OA′/OB′=1/2，

∴∠OA′B′=90°，

∴A′B′=2√3，

∴線段AQ+PQ+PB的最小值是：2√3.

4、需要平移的“將軍飲馬”

例題：如圖，已知四邊形ABCD四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A(1,3)，B(m,0)，C(m+2,0)，D(5,1)，當(dāng)四邊形ABCD的周長(zhǎng)最小時(shí)，m的值為______.

解答：

將C點(diǎn)向左平移2單位與B重合,點(diǎn)D向左平移2單位到D′(3,1)，

作D′關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D″，則點(diǎn)D″(3,?1)，

設(shè)直線AD″的解析式為y=kx+b，

帶入A、D″兩點(diǎn)坐標(biāo)，解得k=?2，b=5.

∴直線AD″的解析式為y=?2x+5.

當(dāng)y=0時(shí),x=5/2，

即B(5/2,0),∴m=5/2.

5、點(diǎn)到直線垂線段最短

例1：如圖,在菱形ABCD中,AB=6,∠B=60°，點(diǎn)G是邊CD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E. F分別是AG、AD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則EF+ED的最小值是        .

解答：

如圖作DH⊥AC垂足為H與AG交于點(diǎn)E，

∵四邊形ABCD是菱形，

∵AB=AD=CD=BC=6，

∵∠B=60°,

∴∠ADC=∠B=60°，

∴△ADC是等邊三角形，

∵AG是中線，

∴∠GAD=∠GAC

∴點(diǎn)H關(guān)于AG的對(duì)稱點(diǎn)F在AD上，此時(shí)EF+ED最小=DH.

∴EF+DE的最小值=DH=3√3

例2：如圖,矩形ABCD中,AD=5,AB=12,點(diǎn)M在AC上,點(diǎn)N在AB上,則BM+MN的最小值為(      )

簡(jiǎn)答：

作B點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E點(diǎn)，過E作EF垂直AB交AB于F點(diǎn)，

AC=13，

AC邊上的高為60/13,所以BE=120/13.

∵△ABC∽△BEF，

∴AB/EF=AC/BE，

求得EF=1440/169.

類型二 由已知定長(zhǎng)線段求最值

找到與所求最值相關(guān)成三角形的兩個(gè)定長(zhǎng)線段，定長(zhǎng)線段的和為最大值，定長(zhǎng)線段的差為最小值。

例1、如圖，邊長(zhǎng)為10的等邊△ABC的頂點(diǎn)A，B分別在x軸正半軸和y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，則動(dòng)點(diǎn)C到原點(diǎn)O的距離的最大值是           。

簡(jiǎn)答：

如圖，取AB中點(diǎn)P，連接OP、PC，

CP、OP長(zhǎng)都是定值，CP=5√3，OP=5

∵OP+PC ≥ OC，

∴當(dāng)O、P、C共線時(shí),OC的值最大,最大值=5+5√3.

例2、如圖，在RT△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，點(diǎn)D是半徑為2的圓A上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，則BE長(zhǎng)的最大值是多少？

簡(jiǎn)答：如圖，取AC的中點(diǎn)F，連接BF、EF、AD

AD=2，EF是△ACD的中位線，∴EF=1，是定值

BF是RT△ABC斜邊上的中線，∴BF=1/2AC=5/2

∴BE≤BF+EF=1+5/2=7/2

B/F/E三點(diǎn)共線時(shí)BE取得最大值

類型三 旋轉(zhuǎn)最值模型

通過旋轉(zhuǎn)，找到與所求最值相關(guān)成三角形的兩個(gè)定長(zhǎng)線段，定長(zhǎng)線段的和為最大值，定長(zhǎng)線段的差為最小值。

例1、如圖，四邊形ABCD中，AB=4，BC=3，△ACD為等邊三角形，求BD的最大值。

簡(jiǎn)答：將△ABD繞D點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，DA與DC重合，DB到DE的位置

易證△DEB為等邊三角形，BC=3，EC=AB=4，均為定值

∴BD=BE≤BC+EC=7

當(dāng)B、C、E三點(diǎn)共線時(shí)取得最大值

2、在正方形ABCD外有一點(diǎn)P，PA=3，PB=4，AC，BD交于O點(diǎn)，求OP的最大值

簡(jiǎn)答：連接OP，將△AOP繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°至△OBP′處，連接BP′、PP′

可知△OPP′為等腰直角三角形，∴OP=√2/2PP′

已知BP=4，BP′=AP=3，均為定值

∴PP′≤BP+BP′=7

∴PP′的最大值為7

∴OP的最大值為7√2/2