暢享理財(cái)人生 · 共度悅讀時(shí)光READING TIME

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作者：史蒂夫·斯托加茨

現(xiàn)為康奈爾大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系名譽(yù)教授，是一位頗有聲望的教師，也是世界上觀點(diǎn)被引用最多的數(shù)學(xué)家之一，他經(jīng)常擔(dān)任美國(guó)國(guó)家公共廣播電臺(tái)“廣播實(shí)驗(yàn)室”欄目的嘉賓，還為《紐約時(shí)報(bào)》撰寫(xiě)“數(shù)學(xué)的要素”在線專欄。

在《x的奇幻之旅》中，世界級(jí)數(shù)學(xué)家、《紐約時(shí)報(bào)》專欄作者史蒂夫·斯托加茨，將引領(lǐng)我們踏上一段領(lǐng)略最偉大的數(shù)學(xué)思想的賞心悅目之旅。沿途你會(huì)看到數(shù)學(xué)如何與文學(xué)、哲學(xué)、法律、醫(yī)學(xué)、藝術(shù)、商業(yè)彼此交融，甚至流行文化也能以我們意想不到的方式與數(shù)學(xué)共舞。不管你是否喜歡數(shù)學(xué)、了解數(shù)學(xué)，每個(gè)人的生活卻都離不開(kāi)數(shù)學(xué)，相信讀完這本啟迪智慧又妙趣橫生的書(shū)后，不少人會(huì)從此愛(ài)上數(shù)學(xué)，重新發(fā)現(xiàn)和欣賞數(shù)學(xué)之美，成為“數(shù)學(xué)發(fā)燒友”。今天分享第八期：孤獨(dú)的質(zhì)數(shù)與我們的信用卡支付密碼。

一首20世紀(jì)60年代的美國(guó)老歌唱道：“1是最孤獨(dú)的數(shù)字，2也好不到哪里去?！蔽蚁耄诠陋?dú)的問(wèn)題上，質(zhì)數(shù)應(yīng)該算是一個(gè)需要特殊關(guān)注的群體了。

保羅·焦?fàn)栠_(dá)諾寫(xiě)過(guò)一本暢銷書(shū)《質(zhì)數(shù)的孤獨(dú)》?！顿|(zhì)數(shù)的孤獨(dú)》是一部悲傷的愛(ài)情小說(shuō)：馬蒂亞和愛(ài)麗絲是兩個(gè)像質(zhì)數(shù)一樣孤獨(dú)的社會(huì)邊緣人。因?yàn)椴恍业耐?，兩人幾乎失去了和別人交流溝通的能力。但是在彼此破碎的靈魂里，他們卻找到了共鳴和救贖。在這本書(shū)里，作者這樣寫(xiě)道：

質(zhì)數(shù)只能被1和它自己整除。質(zhì)數(shù)和其他數(shù)字一樣，排在無(wú)窮無(wú)盡的自然數(shù)里，幾乎被相鄰的兩個(gè)數(shù)字?jǐn)D扁，雖然被擠壓著，卻又藏著一種格格不入的孤獨(dú)。質(zhì)數(shù)永遠(yuǎn)是可疑的、不合群的孤獨(dú)者，所以馬蒂亞喜歡質(zhì)數(shù)。有時(shí)候，馬蒂亞覺(jué)得質(zhì)數(shù)一定是誤入了某種陷阱，才會(huì)被囚禁在自然數(shù)的序列里，就像珍珠被囚禁在項(xiàng)鏈里，永遠(yuǎn)無(wú)法逃離。有時(shí)候，馬蒂亞又覺(jué)得也許質(zhì)數(shù)最大的愿望就是變成一個(gè)普通的自然數(shù)，和別的數(shù)字一樣正常，不再那么格格不入，但是，這個(gè)愿望永遠(yuǎn)不可能實(shí)現(xiàn)……

大學(xué)一年級(jí)的時(shí)候，馬蒂亞學(xué)到這樣一個(gè)知識(shí)點(diǎn)：質(zhì)數(shù)中還有一些更為特殊的數(shù)字，數(shù)學(xué)家們稱之為“孿生質(zhì)數(shù)”。每一對(duì)孿生質(zhì)數(shù)的位置相差不遠(yuǎn)，幾乎可以說(shuō)是鄰居，但它們之間卻總會(huì)插進(jìn)一個(gè)偶數(shù)，硬生生把它們隔開(kāi)。比如11和13、17和19、41和43都是孿生質(zhì)數(shù)。如果你繼續(xù)觀察下去，就會(huì)發(fā)現(xiàn)孿生質(zhì)數(shù)變得越來(lái)越少。越來(lái)越多孤立的質(zhì)數(shù)，存在于這個(gè)寂靜的謎一樣的空間里。越觀察，你越會(huì)產(chǎn)生一個(gè)絕望的預(yù)感：之前發(fā)現(xiàn)的那些孿生質(zhì)數(shù)也許只是偶然的巧合，而孤獨(dú)、徹底的孤獨(dú)，才是一個(gè)質(zhì)數(shù)真正的宿命。但是，就在你準(zhǔn)備放棄，覺(jué)得再也沒(méi)有必要繼續(xù)觀察下去的時(shí)候，你又會(huì)碰到一對(duì)孿生質(zhì)數(shù)，它們緊緊地依偎在一起，對(duì)抗著周?chē)谋浜徒^望。數(shù)學(xué)家們相信，不管你觀察到哪里，前方一定還有更多的孿生質(zhì)數(shù)，雖然沒(méi)有人知道，下一對(duì)孿生質(zhì)數(shù)會(huì)出現(xiàn)在哪里，但我們總會(huì)找到它們。

馬蒂亞覺(jué)得，他和愛(ài)麗絲就是一對(duì)孿生質(zhì)數(shù)。他們都很孤獨(dú)，他們同樣迷失在這個(gè)冰冷的世界里，他們是彼此唯一的安慰，但他們之間仍隔著不可逾越的障礙，他們永遠(yuǎn)無(wú)法真正地緊挨著彼此。

在這里，我覺(jué)得有必要挖掘一下這段悲傷的文字里提到的那些美麗的思想：特別是質(zhì)數(shù)的孤獨(dú)和孿生質(zhì)數(shù)的宿命。這些問(wèn)題是數(shù)論里的核心問(wèn)題。數(shù)論的研究對(duì)象是整數(shù)和整數(shù)的性質(zhì)。數(shù)論一直被認(rèn)為是“最純粹”的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。

在我們走進(jìn)數(shù)論這個(gè)令人呼吸困難的領(lǐng)域之前，先讓我們討論一個(gè)問(wèn)題。很多實(shí)用主義者都會(huì)問(wèn)：數(shù)論到底有什么用處？數(shù)論的實(shí)際應(yīng)用主要表現(xiàn)在加密算法中。數(shù)論的性質(zhì)決定了它是密碼學(xué)的基礎(chǔ)。每天，加密算法保護(hù)著我們的個(gè)人信用卡的網(wǎng)上支付功能，也保護(hù)著每個(gè)國(guó)家的軍事機(jī)密。這種算法依賴于一個(gè)特殊的性質(zhì)：一個(gè)巨大數(shù)字的質(zhì)因數(shù)是非常難以求得的。

但是，數(shù)學(xué)家們迷戀質(zhì)數(shù)并不是出于這個(gè)原因。對(duì)于數(shù)學(xué)家們來(lái)說(shuō)，質(zhì)數(shù)的魅力在于它們具有“基本的重要性”。質(zhì)數(shù)之于算數(shù)，就好比原子之于物理。

原子（atom）一詞的希臘語(yǔ)詞根是atomic，意思是“不能被切開(kāi)、不可分割”。在物理學(xué)知識(shí)中，所有的物質(zhì)都是由原子構(gòu)成的；在數(shù)學(xué)知識(shí)中，所有的數(shù)字都可以被分解成質(zhì)數(shù)。比如，60=2×2×3×5。我們可以說(shuō)，60是一個(gè)合數(shù)，2、3、5是它的質(zhì)因數(shù)。

那么，1這個(gè)數(shù)字怎么辦？1是質(zhì)數(shù)嗎？它不是。當(dāng)你理解了1為什么不是質(zhì)數(shù)，你就會(huì)真正理解那首老歌的真諦：1真的是世界上最孤獨(dú)的數(shù)字，它比質(zhì)數(shù)還要孤獨(dú)。

從道理上來(lái)說(shuō)，我們不應(yīng)該把數(shù)字1從質(zhì)數(shù)的隊(duì)伍中孤立出來(lái)。既然數(shù)字1只能被1和它本身整除，它不就應(yīng)該是一個(gè)質(zhì)數(shù)嗎？實(shí)際上，數(shù)字1確實(shí)曾經(jīng)被當(dāng)成質(zhì)數(shù)，而且數(shù)字1當(dāng)質(zhì)數(shù)的時(shí)間也不短。但是，現(xiàn)代數(shù)學(xué)卻決定把數(shù)字1從質(zhì)數(shù)的隊(duì)伍中趕出去，這一舉動(dòng)只是為了方便起見(jiàn)。如果數(shù)字1是質(zhì)數(shù)的話，有一個(gè)定理就無(wú)法成立，但是人類需要這個(gè)定理，我們一定要讓這個(gè)定理成立。換句話說(shuō)，為了達(dá)到自己的目的，為了得到我們想要的定理，人類操縱了質(zhì)數(shù)的定義，無(wú)情地把數(shù)字1趕了出去。

什么定理這么重要？這個(gè)定理就是：任何數(shù)都能以唯一的方式被分解成幾個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積。如果我們承認(rèn)1是質(zhì)數(shù)，那么“唯一的”這三個(gè)字就不再成立。比如說(shuō)，6可以分解成2×3，也可以分解成1×2×3，還可以分解成1×1×2×3，諸如此類。只要數(shù)字1是質(zhì)數(shù)，質(zhì)因數(shù)分解的方式就不唯一。這聽(tīng)起來(lái)很可笑，但是如果數(shù)字1是質(zhì)數(shù)的話，確實(shí)很不方便。

這個(gè)故事揭示出數(shù)學(xué)的真正面目。有時(shí)候我們會(huì)幼稚地認(rèn)為，人類是先發(fā)明出定義，然后把這些定義刻在石頭上，再根據(jù)這些板上釘釘?shù)亩x來(lái)推導(dǎo)定理。其實(shí)，數(shù)學(xué)的真正面目并非如此。這種方法太過(guò)消極。人類才是數(shù)學(xué)的“主人”，定義是依據(jù)人類的意愿擬定的。尤其是當(dāng)一個(gè)小小的改變就能讓定理變得更嚴(yán)密的時(shí)候，我們才不會(huì)在乎數(shù)字1的感受！

好了，現(xiàn)在數(shù)字1已經(jīng)被我們從船上扔下去了，讓我來(lái)看看還在船上的諸位吧。在人類對(duì)質(zhì)數(shù)的了解中，最重要的一點(diǎn)是什么呢？那就是質(zhì)數(shù)是如此神秘、費(fèi)解和古怪。沒(méi)有任何人發(fā)現(xiàn)過(guò)質(zhì)數(shù)的通項(xiàng)公式。與物理中的原子不同，質(zhì)數(shù)不服從任何簡(jiǎn)單的規(guī)律，我們發(fā)現(xiàn)了“元素周期表”，卻研究不出一張“質(zhì)數(shù)周期表”。

前10個(gè)質(zhì)數(shù)就足夠給我們一個(gè)“下馬威”了：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29。首先，第一個(gè)數(shù)字2已經(jīng)很神奇了：它很邊緣，是所有質(zhì)數(shù)中唯一的偶數(shù)。難怪歌里會(huì)唱：“1是最孤獨(dú)的數(shù)字，2也好不到哪里去。”

除了數(shù)字2之外，其他質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)，但它們也很莫名其妙?？纯疵?jī)蓚€(gè)質(zhì)數(shù)之間的距離：有時(shí)是2（比如5和7），有時(shí)是4（比如13和17），有時(shí)是6（比如23和29）。

為了理解質(zhì)數(shù)到底有多神奇，我們看看基本的奇數(shù)：1、3、5、7、9、11、13……相鄰奇數(shù)間的距離永遠(yuǎn)是2，比鼓點(diǎn)還要準(zhǔn)。所以，奇數(shù)可以用一個(gè)很簡(jiǎn)單的通項(xiàng)公式來(lái)表達(dá)，第n個(gè)奇數(shù)是2n－1。而質(zhì)數(shù)呢？它們無(wú)組織、無(wú)紀(jì)律，毫無(wú)規(guī)律可言。

由于相鄰質(zhì)數(shù)間的距離很不規(guī)律這一現(xiàn)象，數(shù)學(xué)家們決定不再冥思苦想單個(gè)質(zhì)數(shù)出現(xiàn)的規(guī)律，而是用統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法，把質(zhì)數(shù)當(dāng)成一個(gè)整體來(lái)看。比如，我們來(lái)看一看質(zhì)數(shù)在整數(shù)中究竟是如何分布的：小于等于10的質(zhì)數(shù)有多少個(gè)？小于等于100的質(zhì)數(shù)有多少個(gè)？小于等于任意整數(shù)N的質(zhì)數(shù)又有多少個(gè)？要回答這些問(wèn)題，需要用到一個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)上的概念：累積分布。

想象我們沿著數(shù)軸行走，一邊走一邊數(shù)質(zhì)數(shù)，就像搞人口普查的時(shí)候挨家挨戶地走訪一樣。質(zhì)數(shù)站在數(shù)軸上，我們從1開(kāi)始，一直向右走，手拿計(jì)數(shù)器，看見(jiàn)一個(gè)質(zhì)數(shù)就按一下計(jì)數(shù)器。這個(gè)計(jì)數(shù)器的讀數(shù)變化如下圖所示。

橫軸是你在數(shù)軸上的位置，縱軸是此時(shí)你手中計(jì)數(shù)器的讀數(shù)，也就是小于等于x的質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)，當(dāng)x小于2，y的值是0，因?yàn)闀簳r(shí)還沒(méi)有找到任何質(zhì)數(shù)。當(dāng)我們走到數(shù)字2，就找到了一個(gè)質(zhì)數(shù)。所以，計(jì)數(shù)器的讀數(shù)為數(shù)字1，上圖的函數(shù)出現(xiàn)一個(gè)跳躍。然后，函數(shù)值又保持不變，直到我們走到數(shù)字3的位置，此時(shí)函數(shù)值又上移1格。這個(gè)函數(shù)的特征就是：持平、突增、持平、突增、持平、突增……最后，我們看到的是一個(gè)奇怪的樓梯，臺(tái)階忽高忽低。這個(gè)函數(shù)被數(shù)學(xué)家們稱為“素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)”。

請(qǐng)把這個(gè)奇怪的函數(shù)和下圖的“奇數(shù)計(jì)數(shù)函數(shù)”對(duì)比一下。

奇數(shù)所形成的樓梯是非常正常的，每個(gè)臺(tái)階都一樣高，順著一條斜率為1/2的直線一路攀升。這是因?yàn)橄噜徠鏀?shù)間的距離永遠(yuǎn)是2。

不得不說(shuō)，質(zhì)數(shù)實(shí)在是太過(guò)奇特。既然質(zhì)數(shù)如此奇特，它們到底還有沒(méi)有什么規(guī)律可循呢？奇怪的是，質(zhì)數(shù)的分布還是有一定規(guī)律的。要找到這個(gè)規(guī)律，我們應(yīng)該暫時(shí)忘記高高低低的臺(tái)階給我們帶來(lái)的不快，專心看看這個(gè)樓梯的“走勢(shì)”。如果我們把素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)的圖像縮小，我們會(huì)慢慢地看到一條比較光滑的曲線。下圖是小于等于100的質(zhì)數(shù)的計(jì)數(shù)函數(shù)。

與之前的圖相比，臺(tái)階的高低不平看起來(lái)沒(méi)有那么明顯了，如果我們?cè)倏纯葱∮诘扔?0億的質(zhì)數(shù)的計(jì)數(shù)函數(shù)，這條曲線還會(huì)變得更加平滑一些。

上圖的函數(shù)圖像看起來(lái)像一條直線，但其實(shí)它并不是一條直線。隨著這個(gè)函數(shù)的向上爬升，爬升的速度在以微小的速率減小。這說(shuō)明，隨著數(shù)字越來(lái)越大，質(zhì)數(shù)變得越來(lái)越稀疏。也許，所謂質(zhì)數(shù)的孤獨(dú)，就是越往高處走越孤單、越疏離，俗話說(shuō)得好：高處不勝寒。

隨著數(shù)字越來(lái)越大，質(zhì)數(shù)變得越來(lái)越稀疏。這個(gè)性質(zhì)從圖像上來(lái)看并不明顯，但是換一個(gè)角度就能看得很清楚。在前30個(gè)正整數(shù)中，我們可以找到10個(gè)質(zhì)數(shù)，也就是每3個(gè)正整數(shù)里就存在一個(gè)質(zhì)數(shù)，質(zhì)數(shù)的比例可達(dá)33%。而在前100個(gè)正整數(shù)中，一共有25個(gè)質(zhì)數(shù)，每4個(gè)正整數(shù)里就有一個(gè)是質(zhì)數(shù)，質(zhì)數(shù)的比例下降到了25%。那么，前1億個(gè)正整數(shù)里質(zhì)數(shù)占多大比例呢？答案是： 5%。

這條看似筆直的曲線里，有著質(zhì)數(shù)蒼涼的命運(yùn)：它們是越來(lái)越少的“瀕?！蔽锓N。當(dāng)然，質(zhì)數(shù)不會(huì)在某一點(diǎn)后完全消失；沿著數(shù)軸一直向右，總還是會(huì)找到更大的質(zhì)數(shù)——這一點(diǎn)歐幾里得早已告訴了我們。質(zhì)數(shù)是無(wú)窮的，但它們卻越變?cè)缴?，越變?cè)较∈?。我們沿著?shù)軸向右走得越遠(yuǎn)，就越難看到質(zhì)數(shù)的身影。

通過(guò)擬合質(zhì)數(shù)的計(jì)數(shù)函數(shù)，數(shù)論學(xué)家把質(zhì)數(shù)的“孤獨(dú)度”度量了出來(lái)。質(zhì)數(shù)的“孤獨(dú)度”由相鄰兩個(gè)質(zhì)數(shù)之間的距離來(lái)表示，如果N是一個(gè)非常大的數(shù)，那么N附近兩個(gè)相鄰質(zhì)數(shù)間的平均距離是lnN，即N的自然對(duì)數(shù)。

相鄰質(zhì)數(shù)間的平均距離是lnN。在N比較小的時(shí)候，這個(gè)公式很不準(zhǔn)確，但隨著N的增大，這個(gè)公式會(huì)變得越來(lái)越精確。當(dāng)N趨于無(wú)窮大的時(shí)候，這個(gè)公式的誤差百分比就會(huì)趨近于零。為了有一個(gè)更直觀的認(rèn)識(shí)，我們代入一些具體的數(shù)字。當(dāng)N=1 000的時(shí)候，小于等于1 000的質(zhì)數(shù)有168個(gè)，所以1 000以下相鄰質(zhì)數(shù)的平均距離是1 000/68，大約為5.9。而我們的公式lnN給出的預(yù)測(cè)值則是ln（1 000）≈6.9。也就是說(shuō)，當(dāng)N取1 000的時(shí)候，這個(gè)公式的誤差很大，公式的預(yù)測(cè)值比實(shí)際值高17%。但當(dāng)N非常大的時(shí)候，例如我們?nèi)= 1 000 000 000，此時(shí)質(zhì)數(shù)間平均距離的實(shí)際值和公式給出的預(yù)測(cè)值分別是19.7和20.7，預(yù)測(cè)值只比實(shí)際值高5%。

當(dāng)N趨于無(wú)窮大，lnN這個(gè)公式就可以準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)相鄰質(zhì)數(shù)間的平均距離，這個(gè)結(jié)果叫作素?cái)?shù)定理。1702年，德國(guó)著名數(shù)學(xué)家卡爾·弗里德里?！じ咚故状伟l(fā)現(xiàn)了這個(gè)定理（但是，當(dāng)時(shí)并未以論文形式發(fā)表這個(gè)結(jié)論），那時(shí)的高斯只有15歲。（看，在沒(méi)有游戲機(jī)的年代，一個(gè)孩子的學(xué)術(shù)研究能力有多強(qiáng)?。?/span>

而本章中提到的另外兩個(gè)少年——馬蒂亞和愛(ài)麗絲，則以另一種方式告訴我們質(zhì)數(shù)的美。我希望你可以感受到孿生質(zhì)數(shù)的神奇之處。隨著數(shù)字的增大，孿生質(zhì)數(shù)雖然越來(lái)越稀少，卻仍能堅(jiān)持“存在于這個(gè)寂靜的謎一樣的空間里”，這種凄美簡(jiǎn)直要讓我潸然淚下。你知道這有多不容易嗎，一切都對(duì)它們很不利。根據(jù)素?cái)?shù)定理，大數(shù)N附近相鄰質(zhì)數(shù)間的平均距離在lnN左右（N的數(shù)值很大的時(shí)候，lnN遠(yuǎn)大于2），在這樣的條件下，還能有只隔一個(gè)數(shù)的孿生質(zhì)數(shù)存在，這實(shí)在是一件非常神奇的事情。

是的，總有一些感天動(dòng)地的愛(ài)情可以戰(zhàn)勝命運(yùn)。在數(shù)軸延展至極遠(yuǎn)的位置，計(jì)算機(jī)仍然幫我們找到了真愛(ài)無(wú)敵的孿生質(zhì)數(shù)。目前已知的最大一對(duì)孿生質(zhì)數(shù)，它們各有100 355位。

孿生質(zhì)數(shù)猜想告訴我們，這樣的數(shù)字永遠(yuǎn)不會(huì)消失。

但是，是否能在它們附近找到另一對(duì)孿生質(zhì)數(shù)？我們只能看運(yùn)氣了。

目 錄

前言

第1部分 數(shù)字

第1章 數(shù)學(xué)：從企鵝的“魚(yú)”訂單到無(wú)窮大

第2章 一組組石頭與加減乘除運(yùn)算

第3章 “敵人的敵人就是朋友”與“負(fù)負(fù)得正”法則

第4章 交換律：7×3與3×7都等于21

第5章 無(wú)理數(shù)：除法帶給我們的困惑

第6章 從笨拙的羅馬數(shù)字到美妙的阿拉伯?dāng)?shù)字

第2部分 數(shù)字之間的關(guān)系

第7章 x的樂(lè)趣與股票的盈虧

第8章 求根難題與虛擬的復(fù)數(shù)

第9章 應(yīng)用題：冷熱水龍頭一起灌滿浴缸需要多長(zhǎng)時(shí)間？

第10章 丑陋卻萬(wàn)能的二次方程求根公式

第11章 函數(shù)：你能把一張紙對(duì)折8次以上嗎？

第3部分 形狀

第12章 跳舞的正方形與勾股定理

第13章 感性與邏輯兼?zhèn)涞膸缀巫C明方法

第14章 圓錐的魔法：從回音廊到拋物線

第15章 大自然中最常見(jiàn)的形狀——正弦波

第16章 圓周率是如何計(jì)算出來(lái)的？

第4部分 變化

第17章 微積分：找出最優(yōu)路徑的最可靠方法

第18章 積分譜成的優(yōu)雅數(shù)學(xué)變奏曲

第19章 指數(shù)e：關(guān)乎你婚姻成敗的數(shù)字符號(hào)

第20章 用微積分方程來(lái)分析愛(ài)情與三體問(wèn)題

第21章 向量微積分：帶人類走向現(xiàn)代化的使者

第5部分 數(shù)據(jù)

第22章 長(zhǎng)尾分布：從減稅額到恐怖襲擊事件

第23章 貝葉斯定理：辛普森殺死前妻的概率有多大？

第24章 線性代數(shù)與強(qiáng)大的谷歌搜索引擎

第6部分 前沿

第25章 孤獨(dú)的質(zhì)數(shù)與我們的信用卡支付密碼

第26章 群論：如何翻轉(zhuǎn)才能使床墊磨損率最小？

第27章 拓?fù)洌河媚葹跛箮?xiě)成的憂傷愛(ài)情故事

第28章 微分幾何：兩點(diǎn)之間最短路徑不止一條

第29章 無(wú)窮數(shù)列的和與一個(gè)溫文爾雅的騙子

第30章 “顯示滿房卻永遠(yuǎn)有空房”的希爾伯特酒店

致謝