 段廣猛：江蘇宿遷人，現任教于高郵市贊化學校，已在《中國數學教育》等雜志發(fā)表多篇論文，喜愛寫作，愿與各位同仁分享、交流。 旋轉那些事 在平面內，將一個圖形繞一個定點，按某個方向轉動一定的角度，這樣的圖形運動稱為旋轉。  例1 如圖，∠BAD=∠C=90°，AE⊥BC，E為BC上的一點,且AB=AD，AE=5．求四邊形ABCD的面積 思路：條件DA=DC，為“旋轉”奠定了基礎，將線段AB繞著點A逆時針旋轉90°，四邊形ADCB可轉化為正方形，即可解決問題 解法：過點D作DF⊥BC于F，得△ADE≌△CDF，通過添加輔助線達到了“旋轉”的目的  “旋轉一拖二” 如左圖，等腰△ABC繞著點A按逆時針方向旋轉α度至△AB`C`位置，易知△ABC≌△AB`C`（即旋轉后的圖形與旋轉前的圖形全等）；如右圖，若連接BB`、CC`，易證明△ABB`≌△ACC`（SAS）  這就是傳說中的“旋轉一拖二”，即等腰三角形旋轉之后會有兩個全等三角形，尤其是第二個全等往往是解題的關鍵．值得注意的是，結合“8字形”，可以進一步證明∠BDC=∠BAC 特例（1）共頂點的雙等邊三角形模型 如圖，△ABC和△AB`C`都是等邊三角形（AB繞A逆時針旋轉60°至AC位置、AB`繞A逆時針旋轉旋轉60°至AC`位置，易知△ABB`≌△ACC`（SAS）  特例（2）共頂點的雙等腰直角三角形模型 △ABC和△AB`C`都是等腰直角三角形（AB繞A逆時針旋轉90°至AC位置、AB`繞A逆時針旋轉旋轉90°至AC`位置），易知△ABB`≌△ACC`（SAS）  例2 如圖，已知等邊△ABC內接于⊙O，點P是弧BC上一動點（不與B、C重合）， 求證：PA=PB+PC．  解法一（截長） 如左圖，在PA上截取PQ=PB， 易證∠BPA=∠CPA=60°， 這樣△PBQ為等邊三角形，由“共頂點雙等邊三角形模型”易證△ABQ≌△CBP(SAS)，故PC=QA， 所以PA=PQ+QA=PB+PC，得證 解法二（補短） 如右圖，延長CP至點Q，使PQ=PB， 易證∠BPQ=60°，這樣△PBQ為等邊三角形，由“共頂點雙等邊三角形模型”易證△ABP≌△CBQ(SAS)，故PA=QC，所以PA=QC=QP+PC=PB+PC，得證  總而言之，上述兩種解法若用旋轉的眼光來看，就是繞著旋轉中心B按順時針或逆時針方向旋轉60度，這樣BA與BC必然重合（這是由BA=BC產生的結果）。BP則旋轉60至BQ位置，構造出“共頂點雙等邊三角形模型”，得出全等，解決問題。 進一步，如果運用“旋轉”的觀點，本例還可以得到如下更加豐富的解法  規(guī)律總結 “某頂點處有兩條相等的線段”為旋轉提供了可能，可繞該頂點旋轉，構造出“共頂點的雙等腰三角形模型”，借助“旋轉一拖二”，得到全等，解決問題．上述規(guī)律可簡記為“等線段、共頂點；造旋轉、一拖二”。 變式（1） 變式（2） 其它基于“旋轉”的幾何模型 正方形“半角(45度)模型” 四邊形中“半角模型” 等腰直角三角形中“半角(45度)模型” 對角互補模型（1） 對角互補模型（2） 對角互補模型（3） 對角互補模型（4） 小結： 當圖形具有鄰邊相等這一特征時，可以把圖形的某部分繞其鄰邊的公共端點旋轉到另一位置，將分散的條件相對集中起來，從而解決問題．因為正方形、等腰（直角）三角形、等邊三角形具備邊長相等這一特征，所以在這些圖形中，常用旋轉變換．即當某頂點處存在相等的兩條線段時，可以將此頂點出發(fā)的第三條線段進行相應的旋轉，可順轉也可逆轉，構造出“手拉手模型”，從而解決問題． 草根思考 看得出這是段老師用心之作，筆者看后也為段老師的“鉆研精神”所折服，然而由于文章很長，難于全文刊出故只能忍痛做一擇要。 有些想法提出供大家參考： 1.筆者認為可以用“圖形運動”的眼光添加輔助線，但不宜用“圖形運動”敘述輔助線； 2.模型很多，多到其實我已經是摘“要”刊出，然而能不能進一步總結出這些模型的共性，學習的過程就是先把書從薄讀厚，再由厚讀薄的過程，例如本篇，等線段是旋轉的基礎，對角互補是三點共線的基礎，旋轉的目的是聚合條件構造新的特殊三角形，不知筆者的總結是否能體現段老師的想法； 3.學生通過這個過程最重要學到的是什么？筆者認為模型重要，段老師分析問題、研究問題的策略更重要！題目紛繁復雜，如何從題海中尋求題與題之間的聯(lián)系，抽象出其內核的幾何模型，這正是學生所缺少的。所以筆者建議，給予學生一些類題，示范總結基本模型的方法，引領學生自己總結，并由教師進行升華，學生從中的收獲也許比模型本身更重要吧… 公眾號：廣猛文摘 |
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