方法一：如圖1，把△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG.(亦可旋轉(zhuǎn)△ABE)

∴∠DAF=∠GAB

∵∠BAD=90°,∠EAF=45°    ∴∠BAE+DAF=90°-45°=45°

∴∠GAE=∠BAE+∠GAB=45°=∠FAE, ∠ABC=∠D=∠ABG=90°

∴∠ABC+∠ABG=180°   ∴點(diǎn)G,B,E三點(diǎn)共線。

∴△AEF?△AEG（SAS）   ∴EF=GE，

45°--90°半角模型的基本結(jié)論2 

基本結(jié)論二：如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn)D，E在BC上且∠DAE＝45°.

結(jié)論：BD²＋CE²＝DE²

方法一

旋轉(zhuǎn)法

證明：

1.將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACF，連結(jié)EF．

2. ∠1=∠2,則 ∠1+∠DAC=∠2+∠DAC=90°=∠DAF.

3.∠DAE=45°,故∠DAE=∠FAE.

4.AD=AF,故ΔAED?ΔAEF.EF=ED.

5.在RtΔEFC中，F(xiàn)C²＋CE²＝EF²,則BD²＋CE²＝DE²

（也可以考慮旋轉(zhuǎn)△ACE）

方法二

翻折法

證明：

1.把ΔABD沿AD翻折得ΔAFD,連接EF.

2.∠1=∠2,AB=AF=AC,DB=DF.

3.∠2+∠3=∠1+∠4=45°,則∠3=∠4.

4.ΔAEF?ΔAEC,則EC=EF.

5.在RtΔEFE中，F(xiàn)D²＋FE²＝ED²,則BD²＋CE²＝DE²

變式：如圖，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°,點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在BC 的延長線上，

且∠DAE＝45°，則BD²＋CE²＝DE²

 方法一

旋轉(zhuǎn)法

證明：

1.把ΔABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ΔACF,連接EF.

2.∠BAD=∠CAF,故∠BAC=∠DAF=90°.

3.∠DAE=45°,故∠FAE=45°.

4.AD=AF,故ΔAED?ΔAEF.

5.BD=FC.DE=FE.

6.∠FCE=180°-∠FCE=90°

7.在RtΔEFC中，F(xiàn)C²＋CE²＝EF²,則BD²＋CE²＝DE²

（也可以考慮旋轉(zhuǎn)△ACE）

方法二

翻折法

證明：

1.把ΔABD沿AD翻折得ΔADB',連接EB'.

2.證ΔAEC?ΔAEB'(SAS)

3.證ΔDB'E為RtΔ.

5.在RtΔDEB'中，B'D²＋B'E²＝ED²,則BD²＋CE²＝DE²

中考實(shí)戰(zhàn)練習(xí)

（2012·寧德）某數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次活動，過程如下：如圖1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏將一塊三角板中含45°角的頂點(diǎn)放在A上，從AB邊開始繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角α，其中三角板斜邊所在的直線交直線BC于點(diǎn)D，直角邊所在的直線交直線BC于點(diǎn)E．

（1）小敏在線段BC上取一點(diǎn)M，連接AM，旋轉(zhuǎn)中發(fā)現(xiàn)：若AD平分∠BAM，則AE也平分∠MAC．請你證明小敏發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；

（2）當(dāng)0°＜α≤45°時(shí)，小敏在旋轉(zhuǎn)中還發(fā)現(xiàn)線段BD、CE、DE之間存在如下等量關(guān)系：BD²+CE²=DE²．

同組的小穎和小亮隨后想出了兩種不同的方法進(jìn)行解決；

小穎的想法：將△ABD沿AD所在的直線對折得到△ADF，連接EF（如圖2）

小亮的想法：將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACG，連接EG（如圖3）；

請你從中任選一種方法進(jìn)行證明；

（3）小敏繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角板，在探究中得出當(dāng)45°＜α＜135°且α≠90°時(shí)，等量關(guān)系BD²+CE²=DE²仍然成立，先請你繼續(xù)研究：當(dāng)135°＜α＜180°時(shí)（如圖4）等量關(guān)系BD²+CE²=DE²是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由．

（1）證明：如圖1，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠DAM+∠MAE+∠EAC＝90°．

∵∠DAE＝45°，∴∠BAD+∠EAC＝45°．

∵∠BAD＝∠DAM，∴∠BAD+∠EAC＝∠DAM+∠EAC＝45°，

∴∠DAM+∠MAE＝∠DAM+∠EAC，∴∠MAE＝∠EAC，即AE平分∠MAC.

（2）選擇小穎的方法．

證明：如圖2，連接EF．

由折疊可知，∠BAD＝∠FAD，AB＝AF，BD＝DF，

∵∠BAD＝∠FAD，∴由（1）可知，∠CAE＝∠FAE．

在△AEF和△AEC中，∴△AEF≌△AEC（SAS），

∴CE＝FE，∠AFE＝∠C＝45°∴∠DFE＝∠AFD+∠AFE＝90°．

在Rt△DFE中，DF²+FE²＝DE²，∴BD²+CE²＝DE²．       

（3）當(dāng)135°＜α＜180°時(shí)，等量關(guān)系BD²+CE²＝DE²仍然成立．證明如下：

 如圖4，按小穎的方法作圖，設(shè)AB與EF相交于點(diǎn)G．

∵將△ABD沿AD所在的直線對折得到△ADF，

∴AF＝AB，∠AFD＝∠ABD＝135°，∠BAD＝∠FAD．

又∵AC＝AB，∴AF＝AC．

又∵∠CAE＝90°﹣∠BAE＝90°-（45°-∠BAD）＝45°+∠BAD＝45°+∠FAD＝∠FAE．

∴∠CAE＝∠FAE．

在△AEF和△AEC中，

∵，

∴△AEF≌△AEC（SAS），

∴CE＝FE，∠AFE＝∠C＝45°．

∴∠DFE＝∠AFD﹣∠AFE＝∠135°﹣∠C＝135°﹣45°＝90°．

∴∠DFE＝90°．

在Rt△DFE中，DF²+FE²＝DE²，∴BD²+CE²＝DE²．

基本結(jié)論三：如圖，正方形ABCD中，E、F為BC，CD的上點(diǎn)且∠EAF=45°。求證：

(1) BM²+DN²=MN²

(2) 2AM²=BM²+DM²     2AN²=DN²+BN²

(3) △AEN為等腰直角三角形  △AFM為等腰直角三角形

(4)    √2BN=AB+BE    √2DM=AD+DF

(5)√2DN=CE   √2BM=CF  √2MN=EF

證明：

1.把△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90使得AB與AD重合.得△ADM’.

2.證明ΔM'ND為RtΔ.則ND²+M'D²=NM'².

3.再證ΔANM?ΔANM',則BM²+DN²=MN²．

4.易證△AMM’為等腰直角三角形.故 2AM²=BM²+DM² 

證明：

(1)把△AND繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90使得AB與AD重合.得△ABQ.

則△ABN,

(ii)△APQ為等腰直角三角形,△NBQ為RtΔ.故PA=PQ=PN=PB.

(iii)∠1=∠2,所以∠PEB=∠PBE,PB=PE.

(iv)PE=PA.三線合一，所以ΔANE為等腰直角三角形。

（四點(diǎn)共圓證明更簡潔，初三用.）

證明：(i)把△BNE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90^。得△BE’N’.

(ii)∠BAF+∠BEN=180°，AN=EN=E'N'.則四邊形AE'N'N是平行四邊形。

(iii)NN'=AB+BE'=AB+BE=√(2) BN

證明：1.把△ABM繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°使得AB與BC重合.得△CBM’.

2.證明MM'∥CD, AM⊥M'C且AM⊥MF,所以MF∥M'C. CF=√(2)BM

以上的結(jié)論全部使用的是旋轉(zhuǎn)法證明的，旋轉(zhuǎn)證明的核心技巧就是等邊共頂點(diǎn)，繞共點(diǎn)旋轉(zhuǎn)。

已知：△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD=CD，∠BDC=120°，∠MDN=60°，

角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N，連接MN．

結(jié)論：(1)BM+NC=MN.    (2)C_△AMN=2AB

證明：

把ΔDNC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°使DC與DB重合，得ΔDBG.

1.∠GBD+∠ABD=180°,故G,B,A三點(diǎn)共線。

2.∠1=∠2，∠2+∠3=120°-60°=60°=∠1+∠3=∠GDM

3.證ΔMDG?ΔMDN

4.MN=BG=BM+BG=BM+NC.

證明：

把ΔDBM繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°使DC與DB重合，得ΔDCG.

1.∠GCD+∠ACD=180°,故G,C,A三點(diǎn)共線。

2.∠1=∠3，∠2+∠3=120°-60°=60°=∠1+∠2=∠GDN

3.證ΔMDN?ΔGDN

4.5.MN=NG=NC+CG=BD+NC.

證法：

延長AB至點(diǎn)G,使得BG=NC,連接GD.

1.∠ACD=∠ACB+∠DCB=90°,∠GBD=180°-∠ABD=90°

2.DB=DC,故ΔDBG?ΔDCN(SAS)，∠1=∠2

3.∠2+∠3=120°-60°=60°=∠1+∠3=∠GDM

4.證ΔMDG?ΔMDN

5.MN=BG=BM+BG=BM+NC.

證明：

長AC至點(diǎn)G,使得BM=GC,連接GD.

1.∠ACD=∠ACB+∠DCB=90°,∠GCD=180°-∠ACB=90°

2.DB=DC,故ΔDCG?ΔDBM(SAS)，∠1=∠3

3.∠2+∠3=120°-60°=60°=∠1+∠2=∠GDN

4.證ΔNDG?ΔMDN

5.MN=NG=NC+CG=BD+NC.

證明：

 C_△AMN=AM+MN+AN

      =AM+BM+NC+AN =AB+AC=2AB

變式

已知：已知：△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD=CD，∠BDC=120°，

∠MDN=60°，若點(diǎn)M、N分別是AB、CA延長線上的點(diǎn)。結(jié)論：MN=NC-BM

證明:

1.把ΔMBD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°使DB與DC重合，得到ΔDCG.

2.∠DBM=∠DCG=90°,故N,G,C三點(diǎn)共線。

3.∠1=∠2，∠2+∠GDB=∠1+∠GDB=120°,DM=DG.

4.∠MDN=60°,故∠GDN=60°

5.ΔDGN?ΔDMN,MN=NG=NC-CG=NC-MB.

證明：

1.在NC上截取一點(diǎn)G使GC=MB,連接DG.

2.證法同方法一.（略）

（2017年武漢稍作改變）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點(diǎn)D、E都在邊BC上，∠DAE＝60°．若BD＝5,CE=8，則DE的長為_______

證明：

1.把ΔABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°使AB與AC重合，得到ΔACF.連接EF,FC,過點(diǎn)F做FG⊥BC.

2.∠FCG=60°且FC=BD=5，則GC=2.5.

3.在RtΔFGC中，F(xiàn)G=(5/2)√(3) .在RtΔFGE中,EF=7

4.ΔAED?ΔAEF,故DE=EF=7

證明：

1.把ΔABD沿AD翻折得到ΔADF.把ΔAEC沿AE翻折得到ΔAEF.          

連接EF,FD,過點(diǎn)E做FD⊥EH.

2.∠EFD=60°且FE=EC=8，則HF=4，DH=1

3.在RtΔFEH中，F(xiàn)G=4√(3) .在RtΔFGE中,DE=1

基本結(jié)論：如圖1．在四邊形ABCD中．AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠BAD=2∠EAF．

（1）求證：EF=BE+DF；

（2）在（1）問中，若將△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E、F分別運(yùn)動到BC、CD延長線上時(shí)，如圖2所示，試探究EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系。

證明：

1.把ΔABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)使得AB與AD重合，得ΔADH.

2.∠B=∠ADH,∠B+∠D=180°,則∠ADH+∠D=180°,故H.D.C三點(diǎn)共線。

3.∠1=∠3，∠1+∠2=∠EAF,故∠2+∠3=∠EAF=∠HAF.

4.ΔEAF?ΔHAF(SAS).

5.EF=HF=HD+DF=BE+DF.

證明：

1.在CB的延長線上截取一點(diǎn)H，使得BH=DF,連接AH.

2.∠B+∠D=180°,∠ABH+∠B=180°,則∠ABH=∠D.

3.ΔABH ?ΔADF(SAS),AH=AF,∠3=∠2.

4.∠1+∠2=∠EAF,故∠2+∠3=∠EAF=∠HAF.

4.ΔEAF ?ΔHAF(SAS).

5.EF=HE=HB+BE=BE+DF.

證法：

1.把ΔADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)使AD與AB重合,得ΔABH.

2.∠B+∠D=180°,∠B=∠ADF,故H.D.C三點(diǎn)共線

3.證ΔAEF?ΔAEH(SAS)

4.EF=HE=BE-BH=BE-DF

證明：

1.在EB上截取一點(diǎn)H，使得BH=DF,連接AH.

2.∠B+∠D=180°,∠ADF+∠D=180°,則∠ADF=∠B.

3.ΔABH?ΔADF(SAS),AH=AF,∠1=∠2.

4.∠3+∠2=∠EAF,故∠1+∠3=∠EAF=∠HAF.

4.ΔEAF?ΔHAE(SAS).

5.EF=HE=BE-BH=BE-DF.

（2014·德州）問題背景：如圖1：在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°．探究圖中線段BE，EF，FD之間的數(shù)量關(guān)系

小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長FD到點(diǎn)G．使DG＝BE．連結(jié)AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是EF＝BE+FD；

探索延伸：

如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；

實(shí)際應(yīng)用：

如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，1.5小時(shí)后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．（答案210KM）