在高中的時候無意間自己寫出這個數(shù)列，頓時很感興趣，但是發(fā)現(xiàn)自己用了N種方法也求不出其和，拿去問馮老大又被臭罵一頓“和為無窮大！高中不要求，別整天異想天開！”

和為無窮大！對于那時的自己來說這是一件多么不可思議的事。但是現(xiàn)在，相信對于大多數(shù)學(xué)過高數(shù)的同學(xué)來說這是常識了。今天我就分享一下自己探討時的一些心得。對于廣大即將學(xué)習(xí)高數(shù)的同學(xué)來說，希望我的心得對你們的學(xué)習(xí)有所啟發(fā)。

事實上形如1/1+1/2+1/3+…+1/n+…的級數(shù)稱為調(diào)和級數(shù)，它是 p=1 的p級數(shù)。 調(diào)和級數(shù)是發(fā)散級數(shù)。在n趨于無窮時其部分和沒有極限（或部分和為無窮大），如此題值為無窮大。

以下是較為主流的證明方法：

法一：很早就有數(shù)學(xué)家研究調(diào)和技術(shù)，比如中世紀(jì)后期的數(shù)學(xué)家Oresme在1360年就證明了這個級數(shù)是發(fā)散的。他的方法很簡單：

注意后一個級數(shù)每一項對應(yīng)的分?jǐn)?shù)都小于調(diào)和級數(shù)中每一項，而且后面級數(shù)的括號中的數(shù)值和都為1/2，這樣的1/2有無窮多個，所以后一個級數(shù)②是趨向無窮大的，進(jìn)而調(diào)和級數(shù)①也是發(fā)散的。

從更廣泛的意義上講,如果An是全部不為0的等差數(shù)列，則1/An就稱為調(diào)和數(shù)列，求和所得即為調(diào)和級數(shù)，易得，所有調(diào)和級數(shù)都是發(fā)散趨于無窮的。

這也是目前為止最簡單的一種證明方法

法二：數(shù)形結(jié)合法，也是我最先想到的證明方法，這里需要用到一些微積分知識

為了證明調(diào)和級數(shù)發(fā)散，也就是證明lim Sn（n→∞）不存在，我們先考察區(qū)間[1，n+1]上曲線y=1/x所圍成曲邊梯形與陰影部分面積的關(guān)系。（如圖所示）

不放以A1，A2，A3……An記各矩形面積，有A1=1，A2=1/2，A3=1/3，An=1/n，所以陰影部分面積就是Sn，它大于區(qū)間[1，n+1]上曲線y=1/x所圍成曲邊梯形面積。

即：

(類似的級數(shù)1+1/4+1/9……+1/n^2是收斂的，我們同樣可以借鑒上訴法二來證明，此時需要構(gòu)造函數(shù)y=1/x^2)在此就不贅述了，

對于級數(shù)的收斂問題，其實我們可以這樣形象概述，若給定的正項級數(shù)要收斂，則他的尾項趨于0的速度要“足夠快!”,如1/n它趨于0的速度就太慢了，但1/n^2趨于0的速度就很快了，于是他是收斂的。

事實上當(dāng)n越來越大時，調(diào)和級數(shù)的項變得越來越小，然而，慢慢地——非常慢慢地——它的和將增大并超過任何一個有限值。

調(diào)和級數(shù)的這種特性使一代又一代的數(shù)學(xué)家困惑并為之著迷。

下面的數(shù)字將有助于我們更好地理解這個級數(shù)。這個級數(shù)的前1000項相加約為7.485；前100萬項相加約為14.357；前10億項相加約為21；前一萬億項相加約為28，等等。更有學(xué)者估計過，為了使調(diào)和級數(shù)的和等于100，必須把10的43次方項加起來，如果我們試圖在一個很長的紙帶上寫下這個級數(shù)，知道它的和超過100，即使每一項只占1mm長的紙帶，也必須使用10的43次方mm長的紙帶，這大約為10的25次方光年，但是宇宙已知尺寸估計只有10的12次方光年。

調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的，這是一個令人困惑的事情，事實上調(diào)和級數(shù)令人不耐煩地慢慢向無窮大靠近，我們可以很容易的看到這個事實，因為S2n-Sn>1/2,而調(diào)和級數(shù)的第一項是1，也就是說調(diào)和級數(shù)的和要想達(dá)到51那么它需要有2的100次方那個多項才可以。而2的100次方這個項是一個大到我們能夠處理范圍以外的數(shù)字，在計算機(jī)元科學(xué)領(lǐng)域，這屬于一個不可解的數(shù)。

p-級數(shù)在P>1的時候是收斂的，也就是說對于任意ε>0,n的1+ε次方的倒數(shù)這個級數(shù)是收斂的,在我們直觀上看來,好像調(diào)和級數(shù)下面的n只要大了一小點,或者說調(diào)和級數(shù)的每一項只要小一小點點,那么這個級數(shù)就是收斂的了,但是事實上并不是這樣sin1/n這個級數(shù)的發(fā)散的,但是在1/n>0的時候,sin1/n<1>

在分母換成素數(shù)的時候又會產(chǎn)生兩個令人困惑不解的事實:

設(shè)所有的素數(shù)的倒數(shù)和為:

s=1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+...+1/n

在我們直觀的看來,素數(shù)比自然數(shù)要少的多,但是很不幸這個級數(shù)仍然是發(fā)散的.

但是在同時所有孿生素數(shù)的倒數(shù)和:

b=(1/3+1/5)+(1/5+1/7)+(1/11+1/13)+……

這個級數(shù)是收斂的,現(xiàn)在這個常數(shù)就被稱為布隆常數(shù):b=1.90216054...