一、軸對稱。

1、軸對稱圖形。

如果一個圖形沿著一條直線對折，兩側(cè)的部分能夠完全重合，這個圖形就是軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。

（1）、軸對稱圖形可能有一條對稱軸，也可能有多條對稱軸。

（2）、圖形重合時，互相重合的點叫做對應(yīng)點。互相重合的線段叫做對應(yīng)線段。

2、軸對稱圖形的性質(zhì)和特征。

（1）對應(yīng)點到對稱軸的距離是相等的。連接對應(yīng)點的連接線是互相垂直的。

（2）沿對稱軸對折，對應(yīng)點、對應(yīng)線段都重合。

3、軸對稱圖形的畫法。

（1）找關(guān)鍵點：找出圖形的關(guān)鍵點，分別用字母表示。

（2）數(shù)格：數(shù)出這些點到對稱軸有幾格。

（3）描對稱點：在對稱軸的另一側(cè)找出對應(yīng)點，每組對應(yīng)點到對稱軸的距離相等地。

(4)連線：按順序連接原圖形關(guān)鍵點的對稱點，就畫出了所給圖形的軸對稱圖形。

二、旋轉(zhuǎn)

1、旋轉(zhuǎn)

把一個圖形繞著某一點O轉(zhuǎn)動一個角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)。

（1）物體旋轉(zhuǎn)時所繞的點就是旋轉(zhuǎn)點。在敘述物體旋轉(zhuǎn)時，應(yīng)說出旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度。

（2）旋轉(zhuǎn)時，與鐘表中指針的旋轉(zhuǎn)方向相同的方向稱為順時針方向；與鐘表中指針的旋轉(zhuǎn)方向相反的方向稱為逆時針方向。

（3）旋轉(zhuǎn)角度：對應(yīng)線段的夾角或?qū)?yīng)頂點與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角。

2、圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和特征。

（1）圖形旋轉(zhuǎn)后，形狀、大小都沒有發(fā)生變化，只是位置變化了。

（2）圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)一定的度數(shù)，圖形中的對應(yīng)點、對應(yīng)線段都旋轉(zhuǎn)相同的度數(shù)，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)點的距離相等地，對應(yīng)角相等地。

一、因數(shù)和倍數(shù)。

在整數(shù)除法中,如果商是整數(shù)而沒有余數(shù),我們就說被除數(shù)是除數(shù)的倍數(shù),除數(shù)是被除數(shù)的因數(shù)。

又如整數(shù)a能被b整除(a÷b=c),那么a就是b的倍數(shù)，b就是a的因數(shù)。因數(shù)和倍數(shù)是相互依存的，不能單獨存在。

因數(shù)：一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的，最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身。

一個數(shù)的因數(shù)的求法：成對地按順序找,或用除法找。

倍數(shù)：一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，最小的倍數(shù)是它本身。

一個數(shù)的倍數(shù)的求法：依次乘自然數(shù)。

二、自然數(shù)按能不能被2整除分為：

奇數(shù)：不是2的倍數(shù)的數(shù)叫做奇數(shù)。

偶數(shù)：是2的倍數(shù)的數(shù)叫做偶數(shù)。

最小的奇數(shù)是1，最小的偶數(shù)是0。

2、3、5倍數(shù)的特征：

個位上是0，2，4，6，8的數(shù)都是2的倍數(shù)。

個位上是0或5的數(shù)，是5的倍數(shù)。

一個數(shù)各位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)。

如果一個數(shù)同時是2和5的倍數(shù)，那它的個位上的數(shù)字一定是0。

同時是2、3、5的倍數(shù)，個位上是0并且各位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就同時是2、3、5的倍數(shù)。最大的兩位數(shù)是90，最小的兩位數(shù)是30，最小的三位數(shù)是120。

三、自然數(shù)按因數(shù)的個數(shù)來分：質(zhì)數(shù)、合數(shù)、1.

質(zhì)數(shù)：一個數(shù)，如果只有1和它本身兩個因數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（或素數(shù)）。如2,3,5,7，11，13,17,19……都是質(zhì)數(shù)。

合數(shù)：一個數(shù)，如果除了1和它本身還有別的因數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)。如4,6,8,9，10,12,14，15,16,18,20,22,26，49……都是合數(shù)。合數(shù)至少有三個因數(shù)，1、它本身、別的因數(shù)

1：只有1個因數(shù)。“1”既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。

最小的質(zhì)數(shù)是2，最小的合數(shù)是4。

20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)：有8個（2、3、5、7、11、13、17、19）

（1）所有的奇數(shù)都是質(zhì)數(shù)。不對，因為9是奇數(shù)，但不是質(zhì)數(shù)，而是合數(shù)。

（2）所有的偶數(shù)都是合數(shù)。不對，因為2是偶數(shù)，但不是合數(shù)，是質(zhì)數(shù)。

（3）在1,2,3,4,5,…中，除了質(zhì)數(shù)以外都是合數(shù)。不對，因為1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。

（4）兩個質(zhì)數(shù)的和是偶數(shù)。不對，因為2是質(zhì)數(shù)也是偶數(shù)，而其他的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)，偶數(shù)＋奇數(shù)＝奇數(shù)。

四、100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)（共 25 個）：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97

五，奇數(shù)＋奇數(shù)＝偶數(shù)

（如：5+7=12  3+5=8   ……）

奇數(shù)＋偶數(shù)＝奇數(shù)

（如：1+4=5   7+2=9   ……）

偶數(shù)＋偶數(shù)＝偶數(shù)

（如：2+4=6   8+6=14  ……）

奇數(shù)×奇數(shù)＝奇數(shù)

（如：5×7＝35  7×9＝63 ……）

奇數(shù)×偶數(shù)＝偶數(shù)

（如：5×8＝40  7×8＝56  ……）

偶數(shù)×偶數(shù)＝偶數(shù)

（如：8×12＝96  14×24＝336 ……）

六、公因數(shù)、最大公因數(shù)

幾個數(shù)公有的因數(shù)叫這些數(shù)的公因數(shù)。其中最大的那個因數(shù)就叫它們的最大公因數(shù)。

用短除法分解質(zhì)因數(shù) （一個合數(shù)寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式）例：12=2×2×3

用短除法求兩個數(shù)或三個數(shù)的最大公因數(shù)  （除到互質(zhì)為止，把所有的除數(shù)連乘起來）.幾個數(shù)的公因數(shù)只有1，就說這幾個數(shù)互質(zhì)。

兩數(shù)互質(zhì)的特殊情況：

 ⑴1和任何自然數(shù)互質(zhì)；⑵相鄰兩個自然數(shù)互質(zhì)； ⑶兩個質(zhì)數(shù)一定互質(zhì)；

⑷2和所有奇數(shù)互質(zhì)；  ⑸質(zhì)數(shù)與比它小的合數(shù)互質(zhì)；

如果兩數(shù)是倍數(shù)關(guān)系時，那么較小的數(shù)就是它們的最大公因數(shù)。

如果兩數(shù)互質(zhì)時，那么1就是它們的最大公因數(shù)。

七、公倍數(shù)、最小公倍數(shù)

幾個數(shù)公有的倍數(shù)叫這些數(shù)的公倍數(shù)。其中最小的那個就叫它們的最小公倍數(shù)。

用短除法求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)（除到互質(zhì)為止，把所有的除數(shù)和商連乘起來）

用短除法求三個數(shù)的最小公倍數(shù)（除到兩兩互質(zhì)為止，把所有的除數(shù)和商連乘起來）

如果兩數(shù)是倍數(shù)關(guān)系時，那么較大的數(shù)就是它們的最小公倍數(shù)。

如果兩數(shù)互質(zhì)時，那么它們的積就是它們的最小公倍數(shù)。

1、長方體和正方體都是立體圖形。正方體也叫立方體。

2、相交于一個頂點的三條棱的長度分別叫做長方體的長、寬、高。（長、寬、高都各有4條，分別平行并且相等）

3、長方體的特征：

① 面：有6個面，都是長方形（特殊情況下最多有兩個相對的面是正方形）。相對的面完全相同。

② 棱：有12條棱。相對的棱長度相等。

③ 頂點：有8個頂點。

4、正方體的特征：

① 面：有6個面都是正方形，6個面完全相同。

② 棱：有12條棱。12條棱的長度相等。

③ 頂點：有8個頂點。

5、正方體可以說是長、寬、高都相等的長方體，它是一種特殊的長方體。

至少要8個小正方體才能拼成一個稍大的正方體。

長方體的棱長總和=（長+寬+高）×4         L=（a＋b＋h）×4   

長=棱長總和÷4－寬 －高   a=L÷4－b－h(huán)

寬=棱長總和÷4－長 －高   b=L÷4－a－h(huán)

高=棱長總和÷4－長 －寬   h=L÷4－a－b

正方體的棱長總和=棱長×12 （L=a×12）       

正方體的棱長=棱長總和÷12（a=L÷12）

6、長方體或正方體6個面和總面積叫做它的表面積。

長方體的表面積=（長×寬＋長×高＋寬×高）×2

S=2（ab＋ah＋bh）

無底（或無蓋）長方體表面積= 長×寬＋（長×高＋寬×高）×2   

S=2（ab＋ah＋bh）－ab     

S=2（ah＋bh）＋ab

無底又無蓋長方體表面積=（長×高＋寬×高）×2 

S=2（ah＋bh）

正方體的表面積=棱長×棱長×6    

S=a×a×6  

7、物體所占空間的大小叫做物體的體積。

長方體的體積=長×寬×高    

V=abh          

長=體積÷寬÷高（a=V÷b÷h）

寬=體積÷長÷高（b=V÷a÷h）            

高=體積÷長÷寬（h= V÷a÷b)

正方體的體積=棱長×棱長×棱長V=a×a×a=a³

底面積：長方體或正方體底面的面積叫做底面積。

底面積=長×寬

長方體和正方體的體積統(tǒng)一公式：

長、正方體的體積都=底面積×高V=s×h→V=sh

8、箱子、油桶、倉庫等容器所能容納物體的體積，通常叫做他們的容積。

長方體和正方體容器容積的計算方法，跟體積的計算方法相同，但要從里面量長、寬、高。（所以物體的體積大于它的容積）。

常用的容積單位有升和毫升也可以寫成L和ml。

 1升=1立方分米     1毫升=1立方厘米     1升=1000毫升

9、a³讀作“a的立方”表示3個a相乘，（即a·a·a）

體積單位進(jìn)率：

1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米

1立方分米＝1000立方厘米＝1升＝1000毫升

1立方厘米＝1毫升

1平方米=100平方分米=10000平方厘米

1平方千米=100公頃=1000000平方米

10、長方體或正方體的長、寬、高同時擴(kuò)大幾倍，體積就會擴(kuò)大倍數(shù)的立方倍。（如長、寬、高各擴(kuò)大2倍，體積就會擴(kuò)大到原來的8倍）。

11、排水法：（計算不規(guī)則物體的體積）

12、把長方體或正方體截成若干個小長方體（或正方體）后，表面積增加了，體積不變。

1、單位“1”表示：一個物體、一個計量單位或是一些物體都可以看成一個整體。這個整體可以用自然數(shù)1來表示，我們通常把它叫做單位“1”

2、把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)。

3、把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)單位。

4、分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系：除法中的被除數(shù)相當(dāng)于分?jǐn)?shù)的分子，除數(shù)相當(dāng)于分母.

分?jǐn)?shù)后不帶單位表示兩個量之間的倍數(shù)關(guān)系；分?jǐn)?shù)帶有單位表示一個具體的數(shù)量。

5、分?jǐn)?shù)大小的比較：分母相同的兩個分?jǐn)?shù)，分子大的分?jǐn)?shù)較大。

分子相同的兩個分?jǐn)?shù)，分母小的分?jǐn)?shù)較大。

異分母分?jǐn)?shù)，先化成同分母分?jǐn)?shù)（分?jǐn)?shù)單位相同），

再進(jìn)行比較。

6、真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)：真分?jǐn)?shù)分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù)。真分?jǐn)?shù)比1小。假分?jǐn)?shù)分子比分母大或分子和分母相等的分?jǐn)?shù)叫做假分?jǐn)?shù)。假分?jǐn)?shù)大于1或等于1。

把假分?jǐn)?shù)化成整數(shù)或帶分?jǐn)?shù)：用分子÷分母。

能整除的，所得的商就是整數(shù)；不能整除的，所得的商就是帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分，余數(shù)是就是分?jǐn)?shù)部分的分子，分母不變。

7、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)——分?jǐn)?shù)的分子和分母同時乘上或除以相同的數(shù)(0除外)，分?jǐn)?shù)的大不變。

8、約分——把一個分?jǐn)?shù)化成同它相等，但分子、分母都比較小的分?jǐn)?shù)，叫做約分。（方法就是分子和分母同時除以它們的公因數(shù)。）

分子、分母是互質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù)，叫做最簡分?jǐn)?shù)。

9、 通分——把異分母分?jǐn)?shù)化成和原來分?jǐn)?shù)相等的同分母的分?jǐn)?shù)，叫做通分。方法：先求出原來幾個分母的最小公倍數(shù)，再根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)把各個分?jǐn)?shù)化成用這個最小公倍數(shù)作公分母的分?jǐn)?shù)。

10、 分?jǐn)?shù)和小數(shù)的互化。

小數(shù)化成分?jǐn)?shù)：原來有幾位小數(shù)，就在1后面寫幾個0作分母，把原來的小數(shù)去掉小數(shù)點作分子；化成分?jǐn)?shù)后，能約分的要約分。

分?jǐn)?shù)化小數(shù)：用分子除以分母，除不盡的按要求保留幾位小數(shù)。（一般保留兩位小數(shù)。）

判斷分?jǐn)?shù)是否能化成有限小數(shù)的方法：

① 判斷分?jǐn)?shù)是否是最簡分?jǐn)?shù)；如果不是最簡分?jǐn)?shù)，先把它化成最簡分?jǐn)?shù)；

② 把分?jǐn)?shù)的分母分解質(zhì)因數(shù):

如果分母中除了2和5以外，不含有其他質(zhì)因數(shù)，這個分?jǐn)?shù)就能化成有限小數(shù)；

如果分母中含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，這個分?jǐn)?shù)就不能化成有限小數(shù)。

11、牢記：

分?jǐn)?shù)加減混合運算（分?jǐn)?shù)加減混合運算的運算順序與整數(shù)加減混合運算的順序相同在一個算式中，如果有括號，應(yīng)先算括號里面的，再算括號外面的；如果只含有同一級運算，應(yīng)從左到右依次計算）

帶分?jǐn)?shù)加減法: 帶分?jǐn)?shù)相加減，整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分分別相加減，再把所得的結(jié)果合并起來。

1.眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，就是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。

眾數(shù)能夠反映一組數(shù)據(jù)的集中情況。它一定是這組數(shù)據(jù)中的某一個數(shù)。

2.在一組數(shù)據(jù)中，眾數(shù)可能不止一個，也可能沒有眾數(shù)。

3.平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別:

① 平均數(shù)：

一組數(shù)據(jù)的總和除以這組數(shù)據(jù)個數(shù)所得到的商叫這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。

容易受極端數(shù)據(jù)的影響，表示一組數(shù)據(jù)的平均情況。

② 中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，處在最中間位置的一個數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù) 。 它不受極端數(shù)據(jù)的影響，表示一組數(shù)據(jù)的一般情況。

③ 眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。

它不受極端數(shù)據(jù)的影響，表示一組數(shù)據(jù)的集中情況。

中位數(shù)的求法：1、按大小排列；2、如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是單數(shù)，那么最中間的那個數(shù)就是中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是雙數(shù)，那么最中間的那兩個數(shù)的平均數(shù)就是中位數(shù)。

平均數(shù)的求法：總數(shù)÷總份數(shù)=平均數(shù)

4、 復(fù)式折線統(tǒng)計圖

① 畫圖時注意：一“點”（描點）、  二“連”（連線）  三“標(biāo)”（標(biāo)數(shù)據(jù)）、

② 要用不同的線段分別連接兩組數(shù)據(jù)中的數(shù)。

找次品問題解決方法

同一問題有多種解決方案，在解決問題時我們可以尋求最優(yōu)解決策略。

如：9個零件中有一個是次品（次品重一些）用天平稱，至少稱幾次就一定找出次品來？

解決這類問題有多種方案：

（1）把它們分成4個、4個、1個共3堆，至少稱3次一定能找出次品。

（2）把它們分成2個、2個、2個、3個共4堆，也至少稱3次一定能找出次品。

（3）把它們平均分成3堆，至少稱2次一定能找出次品。

說明：用天平找次品最重要的是分類，將零件平均分成份是最好的分法，所稱的次數(shù)也最少。

（二）思路與方法

1、在找次品時，稱量過程中，通過天平平衡或不平衡，有時一次就能找到次品，但這是偶然情況，不全面的。

2、有些問題條件較復(fù)雜時，可以畫圖解決，在圖形中把各類數(shù)量關(guān)系表示出來，這樣就可以很容易看出要求的問題。

【例1】長江儀器廠生產(chǎn)10個產(chǎn)品，其中有一個產(chǎn)品不合格，它比其他合格產(chǎn)品輕一些。你用一個天平最少稱幾次可以保證找出次品？

分析：先把10個產(chǎn)品分成3個、3個、4個共3堆，把3個、3個分別放到天平的兩邊，如果天平不平衡，次品就在翹起的那端，如果天平平衡，次品就在4個中，依次類推，就可以找到次品。

答：3次。

【2】1號、2號、3號、4號、5號這五位同學(xué)進(jìn)行乒乓球單循環(huán)比賽，已知前四位同學(xué)已賽這的場次依次序為4、3、2、1場，此時5號同學(xué)賽了幾場？

分析：單循環(huán)賽是每位選手與其他選手賽一場。可畫圖表示比賽情況：潮濕五個點表示五位同學(xué)，兩點之間有線相連時表示此兩人已賽過，如圖：

從A點出發(fā)有4條線段式從；B點出發(fā)有3條線段，但不能連D，D已有一條AD，所以只能連BE、BC；從C點出發(fā)有2條線段，已有：從D點出發(fā)有一條線段，也已有。這樣可以看出5號賽了2場地，和2號和1號賽完。

答：5號同學(xué)賽了2場。