精品回顧 | 與圓有關(guān)的知識(shí)梳理【適用初三】

xyz3i 2016-08-21

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初三學(xué)子面臨最后的挑戰(zhàn)，每天的學(xué)習(xí)，都將有條不紊的開展！每位小朋友都應(yīng)把基礎(chǔ)打扎實(shí)，在夯實(shí)基礎(chǔ)的前提下，穩(wěn)扎穩(wěn)打，攻克各個(gè)難度的知識(shí)內(nèi)容。翻開上海教育出版社出版的初中教材，從預(yù)初到初三的8本教科書，以教科書為載體，把?？贾R(shí)點(diǎn)整理，定能助己一臂之力！下面對(duì)初三下與圓有關(guān)的知識(shí)點(diǎn)做個(gè)梳理，對(duì)自學(xué)的小朋友會(huì)有一個(gè)引導(dǎo)作用！

圓的有關(guān)性質(zhì)

圓的定義

（1）圓是平面上到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有的點(diǎn)的集合；【軌跡】

（2）在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑。

（3）圓的幾何表示

以點(diǎn)O為圓心的圓記作“⊙O”，讀作“圓O”

圓的確定性

不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓；

『易錯(cuò)點(diǎn)』“平面內(nèi)的三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓”的說(shuō)法是錯(cuò)誤的；應(yīng)注明：“不再同一直線上”.

圓的周長(zhǎng)和面積，弧長(zhǎng)與扇形面積

圓的對(duì)稱性

（1）圓的軸對(duì)稱性：圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過(guò)圓心的每一條直線都是它的對(duì)稱軸；

（2）圓的中心對(duì)稱性：圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形；

（3）圓的旋轉(zhuǎn)不變性：圓繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度，都能與原圖形重合；

易錯(cuò)點(diǎn)：

『易錯(cuò)點(diǎn)』

圓的對(duì)稱軸是過(guò)圓心的每一條直線，不是直徑，因?yàn)?span>直徑是一條線段；圓的對(duì)稱軸有無(wú)數(shù)條.

與圓有關(guān)的概念

（1）弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。（如圖中的AB）

（2）直徑：經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑。（如圖中的CD）直徑等于半徑的2倍。

（3）半圓

圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。

（4）弧、優(yōu)弧、劣弧

圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧。

弧用符號(hào)“⌒”表示

讀作“圓弧AB”或“弧AB”；

大于半圓的弧叫做優(yōu)?。ǘ嘤萌齻€(gè)字母表示）；

小于半圓的弧叫做劣?。ǘ嘤脙蓚€(gè)字母表示）

弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理

1、圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。

2、弦心距：圓心到弦的距離叫做弦心距。

3、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理：

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等。

4、推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓的圓心角、兩條劣?。ɑ騼?yōu)弧）、兩條弦或兩條弦的弦心距得到的四組量中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余三組量也分別相等。

易錯(cuò)點(diǎn)：

『易錯(cuò)點(diǎn)』

1、“在同圓或等圓中，弦相等，所對(duì)的弧相等”，這句話是錯(cuò)的。錯(cuò)因：弧分為劣弧或優(yōu)弧。

2、審題時(shí)，要強(qiáng)調(diào)“同圓或等圓”中這一句。

垂徑定理及其推論

垂徑定理：

如果圓的一條直徑垂直與一條弦，那么這條直徑平分這條弦，并且平分這條線所對(duì)的弧.

推論：

（1）如果圓的直徑平分弦（這條弦不是直徑），那么這條直徑垂直于這條弦，并且平分這條弦所對(duì)的弧.

（2）如果圓的直徑平分弧，那么這條直徑就垂直平分這條弧所對(duì)的弦.

（3）如果一條直線是弦的垂直平分線，那么這條直線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分這條弦所對(duì)的弧.

（4）如果一條直線平分弦和弦所對(duì)的一條弧，那么這條直線經(jīng)過(guò)圓心，并且垂直于這條弦.

（5）如果一條直線垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的一條弧，那么這條直線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分這條弦.

可概括為：

易錯(cuò)點(diǎn)：

『易錯(cuò)點(diǎn)』

①對(duì)垂徑定理理解不夠透徹：“垂直與弦的直線平分這條弦”是錯(cuò)的，因?yàn)榇怪迸c弦的直線有無(wú)數(shù)條，并不是每一條都平分這條弦；正確的說(shuō)法是“垂直于弦的直徑平分這條弦”.

②對(duì)于垂徑定理推論中的“弦”理解不透徹：由于直徑也是弦，而一個(gè)圓中任意兩條直徑都是互相平分的，例如：“平分弦的直徑垂直與這條弦”這句話是錯(cuò)的，正確的說(shuō)法是“平分弦（這條弦不是直徑）的直徑垂直與這條弦”；再例如：“經(jīng)過(guò)圓心，平分弦的直線不一定平分弦所對(duì)的弧”.

過(guò)三點(diǎn)的圓

1、過(guò)三點(diǎn)的圓：不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。

2、三角形的外接圓：經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓。

3、三角形的外心：三角形的外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，它叫做這個(gè)三角形的外心。

4、三角形的內(nèi)心：三角形的內(nèi)心是三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，圓叫做三角形的內(nèi)切圓。

與圓有關(guān)的位置關(guān)系

點(diǎn)與圓的關(guān)系

設(shè)⊙O的半徑是r，點(diǎn)到圓心O的距離為d，則有：

直線與圓的位置關(guān)系

圓與圓的位置關(guān)系

【上圖中的勘誤：第一個(gè)圖：兩圓外離，不是相離?。。。。。。。?！】

根據(jù)圓和圓的位置關(guān)系，觀測(cè)得到兩圓的圓心距與兩圓半徑之間的數(shù)量關(guān)系：

易錯(cuò)點(diǎn)：

『易錯(cuò)點(diǎn)』

相離：外離與內(nèi)含統(tǒng)稱為相離；

相切：內(nèi)切與外切統(tǒng)稱為相切；

1、若遇到有關(guān)圓和圓的位置關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，要考慮全面，注意分類求解；若圓與圓相切，要分外切與內(nèi)切；若圓與圓相離，要分為內(nèi)含與外離；若圓與圓內(nèi)切，則要分d=r1-r2或d=r2-r1.

2、同時(shí)，當(dāng)條件敘述為兩圓有一個(gè)公共點(diǎn)（外切與內(nèi)切），沒(méi)有公共點(diǎn)（外離與內(nèi)含）時(shí)，亦要注意分類討論。

利用數(shù)軸來(lái)理解兩圓的位置關(guān)系

筆者反思：

對(duì)“兩圓位置關(guān)系”這一知識(shí)進(jìn)行研讀，筆者認(rèn)為，用“數(shù)軸”去理解“兩圓位置關(guān)系”，再合適不過(guò)！

關(guān)于兩圓的性質(zhì)定理

（1）相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦；

（2）相切兩圓的連心線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)；

正多邊形的概念及其性質(zhì)

正多邊形的定義：一般的，各邊相等、各角也相等的多邊形叫正多邊形.

多邊形的內(nèi)角和定理：

概念及性質(zhì)

1、正多邊形的中心

正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心。

2、正多邊形的半徑

正多邊形的外接圓的半徑叫做這個(gè)正多邊形的半徑。

3、正多邊形的邊心距

正多邊形的中心到正多邊形一邊的距離叫做這個(gè)正多邊形的邊心距。

4、中心角

正多邊形的每一邊所對(duì)的外接圓的圓心角叫做這個(gè)正多邊形的中心角。

5、正多邊形的軸對(duì)稱性

①正多邊形都是軸對(duì)稱圖形。一個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱軸都通過(guò)正n邊形的中心。

②正多邊形的中心對(duì)稱性

邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形是中心對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱中心是正多邊形的中心。

正多邊形的有關(guān)計(jì)算

方法規(guī)律總結(jié)

圓的常用輔助線【考綱】

1、添半徑構(gòu)等腰三角形；

2、遇到弦時(shí)（解決有關(guān)弦的問(wèn)題時(shí)）

常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半徑（或直徑）或再連結(jié)過(guò)弦的端點(diǎn)的半徑。

作用：

①利用垂徑定理；

②利用圓心角及其所對(duì)的弧、弦和弦心距之間的關(guān)系；

③利用弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形，根據(jù)勾股定理求有關(guān)量。

分類討論思想

圓，是分類討論思想方法滲透的主要陣地之一！

分類討論思想是每年中考必考的數(shù)學(xué)思想方法，分布于填空題，簡(jiǎn)答題及壓軸題。所以特別在最后復(fù)習(xí)段段中，要強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí)的分類整理，熟悉初中數(shù)學(xué)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，對(duì)數(shù)學(xué)的基本分類討論思想方法能夠運(yùn)用自如.

圓的拓展知識(shí)

專研、讀一下《九年級(jí)數(shù)學(xué)拓展2》上海教育出版社

微信：math_yj200851

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