★圓知識(shí)點(diǎn)匯總

★圓的半徑：r

★直徑：d

★圓周率：π(數(shù)值為3.1415926至3.1415927之間……無(wú)限不循環(huán)小數(shù))，通常采用3.14作為π的值

★圓面積：S=πr^2或S=π(d/2)^2

★半圓的面積：S半圓=(πr^2)/2

★圓環(huán)面積： S大圓-S小圓=π(R^2-r^2) (R為大圓半徑，r為小圓半徑)

★圓的周長(zhǎng)：C=2πr或c=πd

★半圓的周長(zhǎng)：d πd/2或者d πr

★垂徑定理

★垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧

★進(jìn)一步結(jié)論

★平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧

△特別注意：這兩個(gè)定理，哪個(gè)定律規(guī)定弦不是直徑。注意選擇題陷阱。

▌1、在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓。固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑

圓上各點(diǎn)到定點(diǎn)的距離都等于定長(zhǎng)

到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)都在同個(gè)平面上

因此，圓心為O、半徑為r的圓可以看成所有到定點(diǎn)O距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)的集合

▌2、弧、弦、圓心角

?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧。

圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓

弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段，叫做弦。經(jīng)過(guò)圓心的弦，叫做直徑

圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角

圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是圓的對(duì)稱軸

圓是中心對(duì)稱圖形，圓心O是它的對(duì)稱中心

▌3、圓周角

頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都圓相交的角叫做圓周角。

▌4、圓周角定理

在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半

推論：

半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角，90度的圓周角所對(duì)應(yīng)的弦是直徑。

推論：

圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角之和為180度

注意：對(duì)內(nèi)接四邊形的判定，必須4個(gè)頂點(diǎn)都在圓上。

▌5、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系

點(diǎn)P在圓內(nèi) d點(diǎn)P在圓上 d=r

點(diǎn)P在圓外 d>r

▌6、不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓

注意：不在同一直線這一要點(diǎn)

經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可以做一個(gè)圓，這個(gè)圓叫作三角形的外接圓

外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫作這個(gè)三角形的外心

特殊的：直角△的外心在斜邊上的中點(diǎn)。

一般求△外心的題往往是直角△或者等腰△，等腰△請(qǐng)結(jié)合垂徑定理和勾股定理

▌7、直線和圓的位置關(guān)系

直線l和圓O相交(有兩個(gè)公共點(diǎn)) d直線l和圓O相切(有一個(gè)公共點(diǎn)) d=r 直線為切線，點(diǎn)為切點(diǎn)

直線l和圓O相離(沒(méi)有公共點(diǎn)) d>r

▌8、切線的判定定理

經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

在靈活運(yùn)用該定理的同時(shí)，切莫忘記第三大點(diǎn)中的判定方法!(往往在出現(xiàn)角平分線、等腰三角形的場(chǎng)所，我們需要用到此方法去判定相切)

▌9、切線的性質(zhì)定理

圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑

這兩個(gè)定理的運(yùn)用：前者是不清楚直線與圓的關(guān)系，進(jìn)行判斷。后者是已知直線與圓相切，進(jìn)行性質(zhì)分析。

▌10、切線長(zhǎng)定理

經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)作過(guò)圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫作這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)

從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。這個(gè)定理叫作切線長(zhǎng)定理。

▌11、三角形的的內(nèi)心

與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。

內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角一部分線的交點(diǎn)，叫作三角形的內(nèi)心。

注意內(nèi)心外心的區(qū)別和應(yīng)用。三角形的內(nèi)心必然在△內(nèi)部，外心則有可能在外部

內(nèi)切圓半徑的計(jì)算方法

三角形面積=內(nèi)切圓半徑*三角形周長(zhǎng)/2

例題(2011廣東南塘二模)Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，內(nèi)切圓半徑= ;

▌12、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系

點(diǎn)P在圓內(nèi) d點(diǎn)P在圓上 d=r

點(diǎn)P在圓外 d>r

▌13、三個(gè)相等：

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等。

在同圓或等圓中，如果兩兩弧相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的圓心角相等，所對(duì)的弦相等。

在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的圓心角相等，所對(duì)的弧相等。

▌14、直線和圓的位置關(guān)系

直線與圓相交(兩個(gè)交點(diǎn)) d直線與圓相切(一個(gè)交點(diǎn)) d=r

直線與圓相離(沒(méi)有交點(diǎn)) d>r

▌15、圓和圓的位置關(guān)系

圓與圓相交(兩個(gè)交點(diǎn)) R-r圓與圓相切(一個(gè)交點(diǎn)) d= R-r(內(nèi)切)d= R r(外切)

圓與圓外離(沒(méi)有交點(diǎn)) d> R r

圓與圓內(nèi)含(沒(méi)有交點(diǎn)) d 還一種最特殊情況，同心圓 d=0

注意：相切一定要看清楚，是內(nèi)切還是外切，還是兩種都可能

學(xué)生可嘗試畫(huà)一個(gè)數(shù)軸區(qū)域示意圖

▌16、對(duì)圓而言，請(qǐng)注重其對(duì)稱性

相切的兩個(gè)圓，不論內(nèi)切外切，顯然，切點(diǎn)和兩個(gè)圓心應(yīng)該在同一直線上。

▌17、扇形的弧長(zhǎng)及面積

扇形：由兩條半徑及兩條半徑組成的角對(duì)應(yīng)的弧形成的圖形

扇形弧長(zhǎng)：

注意區(qū)別弧長(zhǎng)與周長(zhǎng)

扇形面積

弧長(zhǎng)及面積的關(guān)系

▌18、正多邊形

正多邊形：各邊長(zhǎng)相等，各頂角相等的多邊形

我們把一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心

外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑

正多邊形的每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角

中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距

正多邊形的計(jì)算：遵循每條邊所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)為360/n即可，利用垂徑定理，等腰三角形進(jìn)行解答。

▌19、圓錐的側(cè)面積和全面積

圓錐是由一個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面圍成的

我們把連接圓錐頂點(diǎn)和底邊圓周上任意一點(diǎn)的線段叫做圓錐的母線

圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形。設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面圓的半徑為r，那么這個(gè)扇形的半徑為l，扇形的弧長(zhǎng)為 ，因此圓錐的側(cè)面積為 ，圓錐的全面積為

圓錐側(cè)面展開(kāi)扇形的中心角可通過(guò)此扇形的弧長(zhǎng)及半徑，進(jìn)行計(jì)算

▌20、把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)。

點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角。

如果圖形上的P經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄c(diǎn)P’，那么這兩個(gè)點(diǎn)叫做這個(gè)旋轉(zhuǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度

如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形。

-------------

想在考試中出類拔萃、脫穎而出嗎？