投資看似復(fù)雜多變，方法無窮無盡，如星空宇宙，實則原理簡單明了，萬變不離其宗。這個不變的原理就是數(shù)學(xué)。從數(shù)學(xué)上看，長期投資獲得回報的本質(zhì)是本金的復(fù)利增長。復(fù)合增長的速度越快，財富積累的速度越快。要想獲得長期的高復(fù)合增長，則要從數(shù)學(xué)上徹底搞明白這個增長率的內(nèi)在本質(zhì)。這就要從著名的貝爾實驗室的兩個杰出學(xué)者香農(nóng)與凱利說起。

1948年，克勞德·香農(nóng)發(fā)表了著名的論文《通信的數(shù)學(xué)原理》，奠定了信息論的基礎(chǔ)。在香農(nóng)的論文中，引入了一個重要的概念– 信息熵。熵的概念來源于物理學(xué)，是衡量一個系統(tǒng)無序程度的量。在信息論中，信息熵是衡量不確定性的量。在一個只有兩種可能性，其概率為p與q，而且p=1-q的系統(tǒng)中，信息熵的公式是（Log是以2為底的對數(shù)）：

比如一枚對稱的硬幣，只有正反面兩種可能，正面的可能性p=1/2，反面的可能性q=1/2，則信息熵為H=1。香農(nóng)的理論開創(chuàng)了人類通信的新時代，也啟發(fā)了很多人，包括他的同事約翰·凱利。

香農(nóng)在貝爾實驗室的同事約翰·凱利在1956年發(fā)表了一篇重要的論文《信息率的一個新解讀》。在這篇論文中，凱利推導(dǎo)出了賭博者在多次下注時每次投入本金的最佳百分比，即凱利公式。利用這個最佳百分比，賭博者可以獲得最大速度的財富增長。如果賭博只有贏與輸這兩種可能，贏的概率為p，輸?shù)母怕蕿閝 = 1 - p，且p > q。贏，則下注的資金翻倍，獲得下注的等額回報。輸，則損失全部下注。如果每次下注量占本金的比例固定為f，則使本金復(fù)合增長速度最大的最佳投注比例為f* = p - q。而賭徒的本金復(fù)合增長的速度為：

當(dāng)我看到這個公式時，第一個直覺就是這與香農(nóng)的信息熵聯(lián)系緊密。所以，我把這個公式做了一個簡單推導(dǎo)，卻得出了驚人的結(jié)論。如果把最佳投注比例f = p - q及p + q = 1帶入以上公式，就得到了帶有香農(nóng)的信息熵的最大復(fù)合增長速度公式：

這個公式說明了什么呢？用一句話概括就是“尋求確定性”。

確定性的數(shù)學(xué)道理

首先，不能參與信息熵接近1的博弈。比如參與50/50的拋硬幣游戲，其信息熵為1，最佳投注比例為0%，即不參與。這就是說，無勝算，不參與，不打無準備的仗。在股票市場，投資翻倍并不容易。任何在勝算不超過50%的情況下“賭一把”的行為都有害于投資的長期復(fù)合增長。那些看似風(fēng)光，經(jīng)常參與小概率大回報的投機者是無法在長期獲得財富的快速增長的。

其次，信息熵越高，越不確定，投資的長期復(fù)合增長率越低。要想獲得長期的高復(fù)合增長，必須投資于信息熵低的確定的目標。為什么巴菲特總是投資于一些看似乏味，但未來可以預(yù)測的穩(wěn)定增長的消費型公司，而不投資于高科技的微軟或蘋果公司？從信息熵的角度看，那些枯燥乏味的公司不確定性低，信息熵較低。而那些高科技公司的不確定性高，信息熵高。從長期看，從數(shù)學(xué)的角度分析，當(dāng)然那些信息熵更低的公司更值得投資。只有投資于信息熵低的公司，長期才能有高的復(fù)合增長率。

過去的半個世紀，巴菲特的伯克希爾-哈撒韋實現(xiàn)了復(fù)合增長率20%左右，即G=20%，H=1-G=0.80。如果轉(zhuǎn)換成前面的簡單拋硬幣游戲，這相當(dāng)于在保持最佳投注比例的前提下，巴菲特進行的是有75%以上勝算的博弈。也就是說巴菲特拋的硬幣有3/4的可能是他贏的那一面，只有1/4的可能才是他會輸?shù)哪且幻?。在半個世紀的時間里長期玩這個高度確定的游戲，難怪巴菲特富可敵國。

第三，嚴格避免賭性過強，過度下注。在不借貸，不用杠桿的情況下，一個投資者的資金復(fù)合增長速度與他的下注比例是一條函數(shù)曲線，如下圖：

從數(shù)學(xué)上看，即使勝算很高的投資，也存在一個最佳下注比例的問題。如果過度押注，必然是過猶不及，反而獲得更低的復(fù)合增長速度。與押注不足增速放慢相比，過度押注還有更危險的地方，即復(fù)合增長進入負值區(qū)間，也就是損失本金。當(dāng)一個人賭紅了眼，把所有身家都押上，也就是押注比為1時，很容易獲得負100%的增速，即損失掉所有本金，傾家蕩產(chǎn)。

第四，避免大幅度的虧損。由于復(fù)合增長的特點是相乘的關(guān)系，任何一次大幅度的虧損都能抵消之前長時間的持續(xù)盈利，因此投資人很難從哪怕一次大的損失中恢復(fù)過來。在10年的時間里，最后一次70%的虧損能夠讓之前連續(xù)9年每年15%的復(fù)合增長幾乎顆粒無收，即(1-70%)x(1+15%)^9 =1.055。這就是巴菲特常說的“投資的第一條法則就是別虧錢。第二條法則就是別忘記第一條法則。”的數(shù)學(xué)解釋。

投資是一場永不停息的角逐，著名投資人Bill Miller曾經(jīng)連續(xù)十五年戰(zhàn)勝市場，卻在2008年金融危機中損失60%，不但損失了之前十幾年的全部漲幅，聲譽也毀了。Bill Miller的故事發(fā)人深省。價值投資，逆向投資，集中持股，說起來容易做起來難。不看宏觀的“純粹”價值投資，在大部分時間是可以的，卻會在災(zāi)難時刻損失殆盡，復(fù)合增長歸零。

特殊的情況

前面的數(shù)學(xué)分析是最簡單的情況，賠率為1。另外，還可以有更復(fù)雜，更特殊的情況，如賠率為b的情況（輸，則損失全部下注，贏，則獲得投注的b倍的獎金）。另外，如果輸?shù)臅r候不損失全部投注，只輸?shù)?/span>c倍的投注，贏的時候獲得投注的b倍的獎金。這些都是凱利公式的變種，最佳投注比例是不同的。

值得注意的是，如果輸?shù)臅r候只損失小部分，即c是很小的百分數(shù)，而贏的回報非常高，即b是一個大于1的數(shù)時，f值可以大于1，也就是說借錢賭才是最理性的。而且在這種情況下，即使贏的幾率很小，遠低于輸?shù)膸茁室矝]關(guān)系，借錢賭也是合理的，因為贏的回報遠高于輸?shù)膿p失。這其實就是泡沫的一個重要內(nèi)在原因之一。如果輸?shù)膿p失不大，有人兜底，而贏的回報則非常高，借錢去賭是一種理性的選擇。雖然大家都知道泡沫不可持續(xù)，泡沫繼續(xù)上漲的幾率遠低于下跌的幾率，但是只要輸?shù)膿p失不大（如國家買單兜底），贏的回報足夠大，大家還是會趨之若鶩，瘋狂推高泡沫。這其實是非理性中的理性選擇。

另外一個情況就是在風(fēng)險投資和期權(quán)投資中，勝率較低，遠低于50%，但贏的回報有可能很高，高達幾倍甚至幾十倍，即b的數(shù)值遠高于1。但是只要失敗會損失全部投注，即c=1，那么根據(jù)上面的公式，投入的比例最高也就是勝率p。比如有100萬倍回報的一生一次的機會，b=1,000,000但勝率只有1%，p=1%，而且失敗會損失全部投注，c=1，那么最佳投注比例最高就是f* ≈ 1% 左右。

人的因素

大多數(shù)證券投資，本金翻倍已經(jīng)是很高的回報了。即使是風(fēng)險投資和期權(quán)投資，高倍數(shù)的潛在回報與高勝率也不可兼得。更重要的是，人都是會犯錯的，人們往往高估自己的能力，對勝率及回報的估計很有可能誤判，高估了自己獲勝的概率及回報。如果沒有安全邊際，很容易就傾家蕩產(chǎn)。這就是實際中為什么只有巴菲特富可敵國，但沒有一個豪賭的投機者能夠接近他的財富。索羅斯看似激進投機，但他也自己說過只會用盈利而不是本金去冒險。他尋找的是確定的趨勢。

投資的樂趣在于千變?nèi)f化，不斷挑戰(zhàn)人的智力。而數(shù)學(xué)之美則在于簡單抽象而力量無窮。投資不是數(shù)字游戲，但卻必須遵循數(shù)學(xué)的規(guī)律，更要考慮人性的弱點，需要結(jié)合數(shù)學(xué)與人性。