四元數(shù)與旋轉(zhuǎn)

kingwenguang 2015-09-25

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一、四元數(shù)概念及運(yùn)算

四元數(shù)引入

將實(shí)數(shù)域擴(kuò)充到復(fù)數(shù)域，并用復(fù)數(shù)來(lái)表示平面向量，用復(fù)數(shù)的加、乘運(yùn)算表示平面向量的合成、伸縮和旋轉(zhuǎn)變換，這些觀念已經(jīng)在中學(xué)課程中學(xué)過(guò)了。那么，很自然的問(wèn)題就是，在三維，或更高維空間中是否也有復(fù)數(shù)的類(lèi)似物？也就是說(shuō)，像擴(kuò)充實(shí)數(shù)那樣，在復(fù)數(shù)域的基礎(chǔ)上添加一個(gè)或幾個(gè)新的元素，并且讓它們跟原來(lái)的復(fù)數(shù)做加減乘除，是否就可以得到一個(gè)新的數(shù)集，并且其中的元素還可以像復(fù)數(shù)域那樣做加、減、乘、除運(yùn)算，并滿足通常復(fù)數(shù)的那些運(yùn)算律，包括加法和乘法的交換律與結(jié)合律、乘法對(duì)加法的分配律等待？更進(jìn)一步，我們是否可以期望用這樣的數(shù)來(lái)表示三維或更高維空間中的伸縮和旋轉(zhuǎn)，就像用復(fù)數(shù)表示平面向量的伸縮旋轉(zhuǎn)那樣方便？

歷史上有很多數(shù)學(xué)家試圖尋找過(guò)三維的復(fù)數(shù)，但后來(lái)證明這樣的三維復(fù)數(shù)是不存在的

，即使不考慮空間旋轉(zhuǎn)，只從代數(shù)角度來(lái)說(shuō)，三維的復(fù)數(shù)域作為普通復(fù)數(shù)域的擴(kuò)張域也是不存在的。

知道了復(fù)數(shù)不能推廣到三維，我們把目光移向四維復(fù)數(shù)，即四元數(shù)。四元數(shù)是由愛(ài)爾蘭數(shù)學(xué)家威廉·盧云·哈密頓在1843年發(fā)現(xiàn)的。復(fù)數(shù)推廣到四元數(shù)，必須犧牲掉數(shù)域的某一條或幾條性質(zhì)，哈密爾頓拋棄了乘法交換律。

四元數(shù)定義

四元數(shù)都是 1、i、j 和 k 的線性組合，一般可表示為 d + ai + bj + ck， a、b、c、d是實(shí)數(shù)。如把四元數(shù)的集合考慮成多維實(shí)數(shù)空間的話，四元數(shù)就代表著一個(gè)四維空間，相對(duì)于復(fù)數(shù)為二維空間。

3.加乘運(yùn)算

要把兩個(gè)四元數(shù)相加只需將相類(lèi)的系數(shù)加起來(lái)就可以，就像復(fù)數(shù)一樣。至于乘法則可跟隨以下的乘數(shù)表：

以上表格中，最左邊的列表示被乘數(shù)，最上面行表示乘數(shù)。
即 i^2=j^2=k^2=-1，ij=k， ji=-k， jk=i， kj=-i， ki=j， ik=-j

可以立即驗(yàn)證加法交換律、結(jié)合律，以及等式 p+0=0+p=p，方程 p+x=0 恒有解，乘法結(jié)合律，還有乘法對(duì)加法的分配律都是成立的，只不過(guò)沒(méi)有乘法交換律。

例如：

假設(shè)：x = 3 + i， y = 5i + j - 2k

那么：

x + y = 3 + 6i + j - 2k

xy =( {3 + i} )( {5i + j - 2k} ) = 15i + 3j - 6k + 5i^2 + ij - 2ik

= 15i + 3j - 6k - 5 + k + 2j = - 5 + 15i + 5j - 5k

四元數(shù)也可以表示為： q=[w,v]，其中v=（x,y,z）是矢量，w是標(biāo)量。

如果向量部分外積為零，兩個(gè)四元數(shù)的乘積就可交換了。

4.模的定義

四元數(shù)也是可以歸一化的，四元數(shù)的單位化與Vector類(lèi)似，首先（a^2+b^2+c^2+d^2）的平方根稱為四元數(shù)的模，即||q|| = Norm（q）=sqrt（w2 + x2 + y2 + z2），這里2指平方, 如w2指w的平方。

因?yàn)閣2 + x2 + y2 + z2=1 所以Normlize（q）=q/Norm（q）=q / sqrt（w2 + x2 + y2 + z2）

5.共軛定義

若p=w+xi+yj+zk=w+v，則p*=w-xi-yj-zk=w-v 表示與p實(shí)部相等，向量部分相反的四元數(shù)，稱為p的共軛。

6.逆的定義

如果

，

二、四元數(shù)與三維空間的旋轉(zhuǎn)

我們要關(guān)心的是三維空間上任意的伸縮旋轉(zhuǎn)變換是否可用四元數(shù)的乘積來(lái)表示，而這一點(diǎn)對(duì)四元數(shù)來(lái)說(shuō)是完全能夠勝任的。

如果已知一個(gè)三維空間的伸縮旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)軸方向、旋轉(zhuǎn)角度和伸縮比例，來(lái)求相應(yīng)的四元數(shù)，是比較容易的。

特別地，單位化的四元數(shù)用來(lái)描述旋轉(zhuǎn)：

以原點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)的軸是(α, β, γ)（ α^2 + β^2 + γ^2 = 1），
（右手系的坐標(biāo)定義的話，望向向量(α, β, γ)的前進(jìn)方向反時(shí)針）轉(zhuǎn)θ角的旋轉(zhuǎn)，用四元數(shù)表示就是，Q = (cos(θ/2); α sin(θ/2), β sin(θ/2), γ sin(θ/2))

四元數(shù)的乘法的意義類(lèi)似于Matrix的乘法－可以將兩個(gè)旋轉(zhuǎn)合并，例如：

Q=Q1*Q2 表示Q的是先做Q2的旋轉(zhuǎn)，再做Q1的旋轉(zhuǎn)的結(jié)果，而多個(gè)四元數(shù)的旋轉(zhuǎn)也是可以合并的，當(dāng)有多次旋轉(zhuǎn)操作時(shí)，使用四元數(shù)可以獲得更高的計(jì)算效率。

例子代碼

/// Quaternion.cpp

#include <math.h>
#include <iostream.h>

/// Define Data type
typedef struct
{
              double t; // real-component
              double x; // x-component
              double y; // y-component
              double z; // z-component
} quaternion;


//// Bill 注：Kakezan 在日語(yǔ)里是 “乘法”的意思
quaternion Kakezan(quaternion left, quaternion right)
{
              quaternion ans;
              double d1, d2, d3, d4;

              d1 =  left.t * right.t;
              d2 = -left.x * right.x;
              d3 = -left.y * right.y;
              d4 = -left.z * right.z;
              ans.t = d1+ d2+ d3+ d4;

              d1 =  left.t * right.x;
              d2 =  right.t * left.x;
              d3 =  left.y * right.z;
              d4 = -left.z * right.y;
              ans.x =  d1+ d2+ d3+ d4;

              d1 =  left.t * right.y;
              d2 =  right.t * left.y;
              d3 =  left.z * right.x;
              d4 = -left.x * right.z;
              ans.y =  d1+ d2+ d3+ d4;

              d1 =  left.t * right.z;
              d2 =  right.t * left.z;
              d3 =  left.x * right.y;
              d4 = -left.y * right.x;
              ans.z =  d1+ d2+ d3+ d4;

              return ans;
}

//// Make Rotational quaternion
quaternion MakeRotationalQuaternion(double radian, double AxisX, double AxisY, double AxisZ)
{
              quaternion ans;
              double norm;
              double ccc, sss;

              ans.t = ans.x = ans.y = ans.z = 0.0;

              norm = AxisX *  AxisX +  AxisY *  AxisY +  AxisZ *  AxisZ;
              if(norm <= 0.0) return ans;

              norm = 1.0 / sqrt(norm);
              AxisX *= norm;
              AxisY *= norm;
              AxisZ *= norm;

              ccc = cos(0.5 * radian);
              sss = sin(0.5 * radian);

              ans.t = ccc;
              ans.x = sss * AxisX;
              ans.y = sss * AxisY;
              ans.z = sss * AxisZ;

              return ans;
}

//// Put XYZ into  quaternion
quaternion PutXYZToQuaternion(double PosX, double PosY, double PosZ)
{
              quaternion ans;

              ans.t = 0.0;
              ans.x = PosX;
              ans.y = PosY;
              ans.z = PosZ;

              return ans;
}

///// main
int main()
{
              double px, py, pz;
              double ax, ay, az, th;
              quaternion ppp, qqq, rrr;

              cout << "Point Position (x, y, z) " << endl;
              cout << "  x = ";
              cin >> px;
              cout << "  y = ";
              cin >> py;
              cout << "  z = ";
              cin >> pz;
              ppp = PutXYZToQuaternion(px, py, pz);

              while(1) {
                            cout << "\nRotation Degree ? (Enter 0 to Quit) " << endl;
                            cout << "  angle = ";
                            cin >> th;
                            if(th == 0.0) break;

                            cout << "Rotation Axis Direction ? (x, y, z) " << endl;
                            cout << "  x = ";
                            cin >> ax;
                            cout << "  y = ";
                            cin >> ay;
                            cout << "  z = ";
                            cin >> az;


                            th *= 3.1415926535897932384626433832795 / 180.0; /// Degree -> radian;

                            qqq = MakeRotationalQuaternion(th, ax, ay, az);
                            rrr = MakeRotationalQuaternion(-th, ax, ay, az);

                            ppp = Kakezan(rrr, ppp);
                            ppp = Kakezan(ppp, qqq);

                            cout << "\nAnser X = " << ppp.x
                                          <<  "\n      Y = " << ppp.y
                                          <<  "\n      Z = " << ppp.z << endl;

              }

              return 0;
}

三、關(guān)于插值
使用四元數(shù)的原因就是在于它非常適合插值，這是因?yàn)樗且粋€(gè)可以規(guī)格化的4維向量，最簡(jiǎn)單的插值算法就是線性插值，公式如：
q（t）=（1-t）q1+t q2

一般線性插值由于長(zhǎng)度發(fā)生變化，不能滿足要求，我們需要保持向量長(zhǎng)度不變的插值，即球面線性插值。

q（t）=（（1-tq1+tq2 ）/ ||（1-tq1+tq2||

這樣，插值向量v(t)的端點(diǎn)就會(huì)沿著v1,v2端點(diǎn)構(gòu)成的圓弧行進(jìn)。因?yàn)?/span>v1,v2是等長(zhǎng)的，這個(gè)圓弧實(shí)際上是位于v1,v2構(gòu)成的球面上的一段，所以又叫球面線性插值。

但是，由于它的插值不是等角速度的，而是變速的。要想進(jìn)行等速的球面線性插值，可以用四元數(shù)工具：

參考鄭軍“四元數(shù)插值算法實(shí)現(xiàn)游戲角色平滑旋轉(zhuǎn)”一文：

主要程序代碼如下所示：

double x0，y0，z0，wO；

double xl，yl，zl，wl；

//參數(shù)t為插值變量

double t；

//在參數(shù)t下輸出一個(gè)四元數(shù)，得到一個(gè)插值方位

double x，y,z,w;

//計(jì)算開(kāi)始方位和結(jié)束方位的點(diǎn)積

double cosO=xO*xl+y0*yl+zO*zl+WO*wl;

if(cosO<0){

xO=一xO；

yo=一yO；

zO=一zO；

wO=一wo；

cosO=一eosO；

}

//進(jìn)行插值運(yùn)算

double kO，kl；

if(cosO>0．9999){

kO=1一t；

kl=t；

}else{

double sinO=Mathf．Sqrt(1一Mathf.Pow(cosO,2))；

double O=Mathf．Atan2(sinO，cosO)；

float one=1．O/sinO；

kO=Mathf．Sin((1一t) * O)*one；

kl=Mathf．Sin(t * O) * one；

}

//輸出在t參數(shù)下的插值結(jié)果

x=xO * kO+xl * kl：

Z=zO * kO+zl * kl：

w=wo * kO+wl * kl：

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來(lái)自： kingwenguang > 《代數(shù)》

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