幾何畫板在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

當(dāng)今世界日益信息化，信息日益網(wǎng)絡(luò)化。教育信息化正在成為社會(huì)信息化的重要組成部分，技術(shù)發(fā)展的趨勢(shì)是不言而喻的。以前，我們對(duì)數(shù)學(xué)以及數(shù)學(xué)教學(xué)的認(rèn)識(shí)總是和黑板粉筆或者紙筆聯(lián)系在一起，人們局限在有限的空間中，能力受到很大的限制。計(jì)算機(jī)使人腦得以大大的擴(kuò)展和延伸，同時(shí)為數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供了廣闊的空間。下面僅就幾何畫板輔助數(shù)學(xué)教學(xué)中的問題談?wù)剮c(diǎn)思考。

一、    問題與思考

1、 《幾何畫板》在輔助數(shù)學(xué)教學(xué)中的特點(diǎn)

問題與解決是數(shù)學(xué)的心臟。提出問題并解決問題是數(shù)學(xué)發(fā)展的原動(dòng)力。由于各種原因，今天的中學(xué)數(shù)學(xué)教材中，難以體現(xiàn)出“問題與解決”的韻味，也沒有機(jī)會(huì)讓中學(xué)生接觸豐富的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)。問題提出的唐突化，過度的公式化、形式化及解題的模式化，使數(shù)學(xué)失去了原有的魅力。至使部分學(xué)生錯(cuò)誤地認(rèn)為數(shù)學(xué)只是符號(hào)與公式的組合，難以激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和興趣。而《幾何畫板》的精髓是：動(dòng)態(tài)地保持了幾何圖形中內(nèi)在的、恒定不變的幾何關(guān)系及幾何規(guī)律。它的最大特點(diǎn)是：讓學(xué)生自己動(dòng)手按給定的數(shù)學(xué)規(guī)律和關(guān)系來制作圖形（或圖像、表格），從中觀察事物的現(xiàn)象，通過類比和分析提出問題，還可進(jìn)行實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證問題的真與假，從而發(fā)現(xiàn)恒定不變的幾何規(guī)律，以及十分豐富的數(shù)學(xué)圖像的內(nèi)在美、對(duì)稱美。學(xué)生可以駕駛《幾何畫板》這一葉扁舟，在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長(zhǎng)河中漫游，興之所至，或探蹤尋源，或蕩舟而過。這是其它的教學(xué)媒體所辦不到的，也是一般CAI軟件功能所不及的。

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的特點(diǎn)是：具有很強(qiáng)的邏輯性和系統(tǒng)性以及高度的抽象性和概括性?，F(xiàn)代教學(xué)媒體GSP（《幾何畫板》的簡(jiǎn)稱）能化靜態(tài)為動(dòng)態(tài)，化抽象為具體，能夠寓趣味性、技巧性和知識(shí)性于一體。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)方法，基本上是信息的單向傳輸，即“講、練、評(píng)”三位一體的教學(xué)模式，反饋處于不自覺狀態(tài)中，不利于分層次教學(xué)、因材施教，不易激發(fā)學(xué)生的求知欲和興趣。在教學(xué)中通過使用《幾何畫板》，感受到GSP在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著獨(dú)特魅力，與傳統(tǒng)教學(xué)手段或一般CAI軟件不能相比的。

2、《幾何畫板》在教學(xué)中的輔助作用

計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)，是隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展而形成的現(xiàn)代教育技術(shù)。被視為電化教育的最高形式，隨著我國中小學(xué)CAI 的進(jìn)展，一批好的CAI軟件已進(jìn)入學(xué)校，最近我校將《幾何畫板》引入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，從中體會(huì)到GSP在數(shù)學(xué)教學(xué)中有以下主要作用。

（1）有助于提高課堂效率，增大知識(shí)的覆蓋面。能給學(xué)生以更多的操作機(jī)會(huì)，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手動(dòng)腦的能力。

（2）有助于提高課堂教學(xué)效果，由于情況的快速反饋，老師的講課時(shí)更具有針對(duì)性，并能及時(shí)調(diào)整教學(xué)內(nèi)容和節(jié)奏。

（3）有助于培養(yǎng)學(xué)生敏捷思維和觀察問題、分析問題、解決問題的能力。利用現(xiàn)代化的教育手段進(jìn)行快速訓(xùn)練，有助于個(gè)性特長(zhǎng)的培養(yǎng)和發(fā)揮。

二、      幾何畫板在解析幾何中的應(yīng)用

（一）   橢圓的畫法

  1、由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程繪制橢圓

原理：由于橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，可得表達(dá)式，只需確定變量x和參數(shù)a、b的值即可。步驟如下：

①建立直角坐標(biāo)系；

②在x軸上取一點(diǎn)C，度量其坐標(biāo)并分離出它的橫坐標(biāo)改名為a，類似地，在y軸上取一點(diǎn)D，度量出它的坐標(biāo)并分離出它的縱坐標(biāo)改名為b；a、b分別是橢圓在x軸、y軸上的截距；

③在x軸上取一點(diǎn)E，度量出點(diǎn)E的坐標(biāo)并分離出它的橫坐標(biāo)改名為x；

④計(jì)算y的值，通過“度量—計(jì)算”，得到的值；

⑤繪出x、y的坐標(biāo)點(diǎn)F；

⑥選擇點(diǎn)E、F，執(zhí)行“作圖——軌跡”，得到上半橢圓；

⑦最后通過“變換——反射”得到下半橢圓。

2、根據(jù)圓錐曲線的第二定義繪制橢圓

    原理：由圓錐曲線的第二定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一條直線的距離的比是常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡是圓錐曲線，定點(diǎn)叫做圓錐曲線的焦點(diǎn)，定直線叫做圓錐曲線的準(zhǔn)線。常數(shù)e叫做圓錐曲線的離心率，當(dāng)時(shí)為橢圓。

①建立直角坐標(biāo)系；

②畫一條射線CD，在射線上畫一點(diǎn)E，使點(diǎn)E在點(diǎn)D的右側(cè)；

③度量CD、CE的長(zhǎng)度，計(jì)算出的值，該名為e=0.73；

④在x軸的正半軸畫一點(diǎn)F，畫直線GH，找出直線GH與y軸的交點(diǎn)I，在直線GH上任取一點(diǎn)J，連接線段IJ；

⑤以F為圓心，IJ為半徑畫圓，度量出線段IJ的長(zhǎng)度；

⑥計(jì)算出的值，如=7.12cm

⑦選擇=7.12cm，執(zhí)行“圖像——繪制度量值”，使屏幕出現(xiàn)一條與x軸垂直且與y軸距離等于=7.12cm的直線（虛線m）；

⑧用“選擇”工具作出直線m與圓F的交點(diǎn)K、L；

⑨用“選擇”工具雙擊y軸，把y軸標(biāo)記成反射鏡面，再選擇直線m，執(zhí)行“變換—反射”，得到直線m關(guān)于y軸對(duì)稱的直線m’；

⑩同時(shí)選擇點(diǎn)J和點(diǎn)K，執(zhí)行“作圖—軌跡”，屏幕上（第一象限）出現(xiàn)點(diǎn)K的軌跡，類似地，分別選擇點(diǎn)J和點(diǎn)L、點(diǎn)J和點(diǎn)M，點(diǎn)J和點(diǎn)N，作出點(diǎn)L、M、N的軌跡；

移動(dòng)點(diǎn)E的位置，使離心率0<e<1，得到橢圓的圖像。

3、根據(jù)橢圓的參數(shù)方程繪制橢圓

原理：橢圓的參數(shù)方程為： （t為參數(shù)），在坐標(biāo)系中確定參數(shù)t和常量a、b，注意這里的t為弧度，應(yīng)更改參數(shù)為弧度制。

①建立直角坐標(biāo)系；

②在x軸上任取一點(diǎn)C，度量其坐標(biāo)和橫坐標(biāo)，改為a=6.30；

③在y軸上任取一點(diǎn)D，度量其坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，改為b=2.88；

④在屏幕下方畫一圓，在圓上任取一點(diǎn)G，構(gòu)造弧FG，填充扇形EFG；

⑤度量扇形EFG的弧度，該為t=-0.88弧度；

⑥計(jì)算：a*cost=-5.06,改為x=-5.06；b*sint=-1.72,改為y=-1.72；

⑦選擇x=-5.06，y=-1.72，執(zhí)行“圖表—繪制點(diǎn)（x，y）”，畫出點(diǎn)H；

⑧依次選擇點(diǎn)G、H，執(zhí)行“構(gòu)造—軌跡”，即得到橢圓。

（二）直線與圓錐曲線的交點(diǎn)的幾何構(gòu)造

如圖：直線GE是過平面任意一點(diǎn)G和橢圓上任意一點(diǎn)E，求作直線和橢圓的交點(diǎn)F，在幾何畫板中，不能直接找出直線和橢圓的交點(diǎn)，這里通過幾何的思路找出直線和橢圓交點(diǎn)的一般方法。

幾何構(gòu)造

（1）思路分析

先請(qǐng)了解一下橢圓弦的幾何性質(zhì)。

如圖：EF是橢圓的弦，其延長(zhǎng)線交準(zhǔn)線于P，FF₁的延長(zhǎng)線交準(zhǔn)線于Q，則F₁P平分∠QF₁E。

想一想：如果已知P、E、F₁,你能否作出點(diǎn)F？

如果您注意到點(diǎn)F是兩條直線的交點(diǎn)，只要作E關(guān)于直線QF₁的對(duì)稱點(diǎn)，則直線PE和直線的交點(diǎn)就是F。我們就用這樣的想法來構(gòu)造直線與橢圓的交點(diǎn)。

（2）操作步驟：

①畫橢圓 ；

②畫直線GE , E為橢圓上一點(diǎn)；       

③畫橢圓的準(zhǔn)線 ；度量點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，并把度量結(jié)果的標(biāo)簽分別改為a=5.57；度量點(diǎn)B的縱坐標(biāo)，并把度量結(jié)果的標(biāo)簽分別改為b=2.78；計(jì)算

并把度量結(jié)果的標(biāo)簽分別改為c=4.82；再計(jì)算，作出橢圓的左準(zhǔn)線；

④畫直線GE與橢圓的另一交點(diǎn) ；畫線段F₁P，點(diǎn)P是直線GE和準(zhǔn)線的交點(diǎn)→對(duì)點(diǎn)E作反射變換（線段F₁P）得到→畫直線（，F₁）→畫交點(diǎn)F（直線GE，直線F₁）

（3）拓展研究

利用這個(gè)圖形，可以研究弦EF中點(diǎn)G的軌跡，作E點(diǎn)的動(dòng)畫并跟蹤D點(diǎn)，得下圖

拓展之二：線段EF上任一點(diǎn)的軌跡。

三、    建議與反思

通常計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)全面進(jìn)入課堂有二大難點(diǎn)；一是教師掌握計(jì)算機(jī)知識(shí)的水平，二是好的實(shí)用的CAI軟件。

在課堂上教師是主角，要把CAI引入課堂教學(xué)，僅僅依靠幾名計(jì)算機(jī)專業(yè)教師是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，他們不能代替（也不可能代替）學(xué)科教師走向講臺(tái)，因此各校需要培養(yǎng)一支掌握了一定計(jì)算機(jī)知識(shí)的學(xué)科教師隊(duì)伍。還要有實(shí)用的教學(xué)軟件，其軟件的來源有以下幾種方法，①購買已發(fā)行的教學(xué)軟件，②與軟件公司聯(lián)合編寫，③由本校計(jì)算機(jī)教師編寫教學(xué)軟件。不論采用那種方法所得到的教學(xué)軟件，不是費(fèi)用太貴，就是制作周期太長(zhǎng)或不適合于本校的實(shí)際情況。

總之，現(xiàn)代化的 CAI教學(xué)的前景是寬廣的，它有著很強(qiáng)的生命力，最終將全面地闖入我國中小學(xué)教學(xué)領(lǐng)域，使教學(xué)改革發(fā)生根本的變化。