【摘要】在幾何畫板中作圓錐曲線的切線對(duì)初學(xué)幾何畫板的使用者來(lái)說(shuō)是有一定難度的，為解決這個(gè)問(wèn)題，浙江省黃巖中學(xué)的趙國(guó)藩老師在其論文《在“幾何畫板”中作圓錐曲線的切線》一文中介紹了利用圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)作其切線的方法。在文中他指出在“幾何畫板”中不能直接得到直線與圓錐曲線的交點(diǎn)，而最新的“幾何畫板”5.01版中是可以直接得到交點(diǎn)的，故不用圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)亦可作圓錐曲線的切線。本文將介紹其他幾種作圓錐曲線切線的方法。

　　【關(guān)鍵詞】圓錐曲線；切線；“幾何畫板”

　　一、在橢圓上一點(diǎn)作切線的幾種常用方法

　　1在高中數(shù)學(xué)教科書（北師大版）選修2-1《橢圓》中有一道例題如下：

　　求證：點(diǎn)M（acosθ，bsinθ）（0≤θ<2π）在橢圓=1上。

　　此題實(shí)際上揭示了橢圓的一種生成方法：作兩個(gè)半徑不等的同心圓，在大圓上任意取一點(diǎn)作P,過(guò)P作x軸的垂線l，連接OP與小圓交于點(diǎn)A，過(guò)A作l的垂線，交點(diǎn)為C,則C的軌跡為橢圓（圖1）。

　　由此可知橢圓的一種切線作法如下：

　?、僖詸E圓的中心O為圓心，長(zhǎng)半軸為半徑作圓；

　?、谠跈E圓上任意取一點(diǎn)A,并過(guò)A點(diǎn)作x軸的垂線交大圓于點(diǎn)B;

　　③連接OB，并過(guò)B點(diǎn)作OB的垂線，交x軸于點(diǎn)C，連接AB，即為過(guò)A點(diǎn)的切線（圖2）。

　　2在文［3］中作者給出了橢圓上一點(diǎn)切線的作法如下：

　?、龠^(guò)P作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)N，以O(shè)為圓心、長(zhǎng)半軸a為半徑作圓，與直線OP交于點(diǎn)R；

　?、谶^(guò)點(diǎn)A（a,0）作NR的平行線，交直線OP于點(diǎn)S；

　?、垡設(shè)為圓心、線段OS為半徑作圓交x軸于點(diǎn)Q，則PQ為過(guò)點(diǎn)P的切線（圖3）。

　　在橢圓上一點(diǎn)作切線的方法還有很多，以上兩種是比較簡(jiǎn)單的作法。

　　二、利用參數(shù)方程作圓錐曲線及切線

　　1用參數(shù)方程作橢圓及切線

　　作法如下：①新建參數(shù)a=2,b=1和函數(shù)f（x）=acosx，g（x）=bsinx；

　?、诶L制參數(shù)函數(shù)即畫出方程為對(duì)應(yīng)的橢圓；

　?、墼跈E圓上任意取一點(diǎn)B并分別度量它的橫、縱坐標(biāo)x_B和y_B，并計(jì)算；

　?、芾L制函數(shù)y=k（x-x_B）+y_B的圖像，即為橢圓在點(diǎn)B處的切線。

　　注  參數(shù)a,b的大小可以自由控制，以下參數(shù)a,b都是如此。

　　2用參數(shù)方程作雙曲線及切線

　　3用參數(shù)方程作開口向上的拋物線及切線

　　。

　　4用參數(shù)方程作開口向右的拋物線的切線

　　注  類似可以作開口向下、向左拋物線的切線方程。

　　利用參數(shù)方程和隱函數(shù)求導(dǎo)在幾何畫板中能比較方便地畫出圓錐曲線的切線，易于初學(xué)者掌握。

　　【參考文獻(xiàn)】

　?。?］趙國(guó)藩。用“幾何畫板”作圓錐曲線的切線。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2009（9）。

　?。?］尉貞肆。關(guān)于橢圓及其切線的畫法。陜西教育學(xué)院學(xué)報(bào)，1999（2）。

　?。?］劉自敏。橢圓切線的幾何作法?？萍夹畔?。

　　［4］席高文。圓錐曲線切線幾何作圖的充要條件。洛陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2002（5）。