【前言：同樣一道經(jīng)典的幾何證明題（正方形），不同的老師就有不同的考量的思路，我是從“問(wèn)題變式”演變考慮的，而沈慧華老師是從“圖形運(yùn)動(dòng)”引發(fā)的不同解法考慮的（參考：巧用圖形運(yùn)動(dòng)構(gòu)造全等三角形（沈惠華老師撰文/草根批注））同一一位老師在不同階段會(huì)有不同的考量的思路，本文寫后的數(shù)月，結(jié)合2015年徐匯區(qū)一模的壓軸題考慮從“旋轉(zhuǎn)相似”詮釋這道題（參考：草根2015年一模反思（3）再議2015年徐匯一模數(shù)學(xué)壓軸題），做此文，共大家從不同角度去思考】

運(yùn)用“問(wèn)題變式”教學(xué)逐步幫助學(xué)生掌握輔助線添加方法的嘗試

對(duì)于一些學(xué)生普遍感到有困難的數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，一個(gè)基本思路就是把沒(méi)有解決的問(wèn)題化歸為已經(jīng)解決的問(wèn)題，復(fù)雜的問(wèn)題化歸為簡(jiǎn)單的問(wèn)題（波利亞，1945）。由于在未解決問(wèn)題（復(fù)雜問(wèn)題）和解決了的簡(jiǎn)單問(wèn)題之間沒(méi)有清晰的聯(lián)系，因此有時(shí)需要運(yùn)用“問(wèn)題變式”為完成這種化歸設(shè)置一些路徑。這一轉(zhuǎn)換過(guò)程可以用圖1來(lái)表示。

在初中的數(shù)學(xué)教學(xué)中就有一些學(xué)生掌握較困難的難點(diǎn)，例如：幾何證明中的“輔助線添加”。在實(shí)際教學(xué)中，我發(fā)現(xiàn)雖然教師針對(duì)這一難點(diǎn)，講解了很多例題，學(xué)生也操練了不少習(xí)題，但實(shí)際效果并不理想，很多學(xué)生面對(duì)新的需要“添加輔助線”的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，依舊感到束手無(wú)策，可見(jiàn)學(xué)生對(duì)于輔助線添加的方法還沒(méi)有真正掌握。針對(duì)此，我嘗試針對(duì)“添加輔助線構(gòu)造全等三角形”中的一類問(wèn)題，設(shè)計(jì)了一組“問(wèn)題變式”（其基本結(jié)構(gòu)如右圖），試圖以此逐步幫助學(xué)生掌握該類輔助線添加方法。

以下我就根據(jù)初二學(xué)生的一般認(rèn)知水平，并結(jié)合課堂中學(xué)生的即時(shí)反饋，客觀描述學(xué)生通過(guò)我所設(shè)計(jì)的這組“問(wèn)題變式”的學(xué)習(xí)，其對(duì)于“添加輔助線構(gòu)造全等三角形”這類數(shù)學(xué)問(wèn)題的認(rèn)知過(guò)程。

一、通過(guò)“源問(wèn)題”給出問(wèn)題解決的基本流程：

源問(wèn)題：如圖（3），E是正方形ABCD邊AB上一點(diǎn)。直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，且直角頂點(diǎn)E在AB邊上滑動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合），在另一條直角邊上截取DE=EF，聯(lián)結(jié)BF，證明：BF平分∠CBM。

第一步：觀察圖形，通過(guò)“外角的性質(zhì)”或“同角的余角”發(fā)現(xiàn)“∠ADE=∠BEF”；

第二部：根據(jù)已掌握的“等角”和“等邊”的條件，構(gòu)造全等三角形（過(guò)點(diǎn)F做FH⊥AB于H）；

第三步：利用構(gòu)造出的全等三角形，通過(guò)合理論證得到須證明的結(jié)論。

注：由△ADE≌△EFH，

得FH=AE、EH=AD=AB，繼而可推得：BH=FH，即△BFH是等腰直角三角形。

二、通過(guò)“垂直變式題”，逐步增加認(rèn)知負(fù)荷，驅(qū)動(dòng)高層的數(shù)學(xué)思維

變式一：如圖（1），E是正方形ABCD邊AB上一點(diǎn)。直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，且直角頂點(diǎn)E在AB邊上滑動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合），另一條直角邊與∠CBM的平分線BF相交于點(diǎn)F。求證：DE=EF。

變式二：如圖（2），E是正方形ABCD邊AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)。直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，且直角頂點(diǎn)E在AB邊上滑動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合），另一條直角邊與∠CBM的平分線BF相交于點(diǎn)F。求證：DE=EF。

對(duì)于“變式一”，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)如果依舊“過(guò)點(diǎn)F做FH⊥AB于H”，由于苦于找不到“等邊”的條件，所以無(wú)法證明△DAE≌△EFH。（注：事實(shí)上，如果僅根據(jù)初二學(xué)生的認(rèn)知水平，確實(shí)證不出這組三角形的任何一組等邊）

面對(duì)學(xué)生的困惑，我引導(dǎo)他們思考：和源問(wèn)題相比，什么結(jié)論依舊存在，什么條件已經(jīng)不存在了？學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)，“等角”的結(jié)論依舊存在，但“等邊”的條件“消失”了，而證明“三角形全等”必須至少要找出一組對(duì)應(yīng)邊相等，于是我進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生：是不是可以通過(guò)構(gòu)造輔助線創(chuàng)造“等邊”。不久，就有學(xué)生提出：在AD上截取DG=EB，聯(lián)結(jié)GE（如圖6），由于AD=AB，不難發(fā)現(xiàn)△GAE是等腰直角三角形，從而可得∠DGE=135°，又因?yàn)椤螮BF=135°，所以∠DGE=∠EBF，從而證明了△DGE≌△EBF。

對(duì)于“變式二”，課堂中有很多學(xué)生在嘗試模仿“變式一”中添加的輔助線的方法：在AD上截取DG=EB，聯(lián)結(jié)GE（如圖7）。繼而就開(kāi)始苦苦思索△DGE≌△EBF的原因……，而事實(shí)上，易發(fā)現(xiàn)△DGE與△EBF并不“全等”。于是在部分學(xué)生心中就會(huì)產(chǎn)生新的困惑：為什么“變式一”中成功的輔助線添加的方法，在“變式二”中“失靈”了呢？

針對(duì)部分學(xué)生的“困惑”，我引導(dǎo)學(xué)生重新反思“變式一”。學(xué)生發(fā)現(xiàn)“變式一”中添加輔助線的初衷確實(shí)是為了利用“等角”的階段結(jié)論，截取一條相等線段從而構(gòu)造“全等三角形”，但在截取相等線段的同時(shí)也“無(wú)意之間”產(chǎn)生了一個(gè)等腰直角△GAE，而恰恰正是這個(gè)等腰直角三角形在關(guān)鍵時(shí)刻提供了另一組“等角”的條件，所以“變式一”中“截取相等線段”的輔助線其實(shí)有著一箭雙雕的“妙用”！而如果在“變式二”中，我們機(jī)械“模仿”變式一，依然在AD上截取DG，那“變式一”中的等腰直角三角形將不復(fù)存在，證不出全等也自然在情理之中了。

在反思原有輔助線添加方法的基礎(chǔ)上，我進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生，既然“截取相等線段”不行，那我們應(yīng)該怎樣添加這條輔助線呢？話音剛落，不少同學(xué)異口同聲地回答：“應(yīng)該‘補(bǔ)’！”即延長(zhǎng)AD至點(diǎn)G，使得DG=EB，連結(jié)GE（如圖8）。容易發(fā)現(xiàn)，這樣添加的輔助線構(gòu)造了相等線段的同時(shí)也“產(chǎn)生”出了一個(gè)新的等腰直角△GAE，利用該等腰直角三角形，不難發(fā)現(xiàn)“∠G=∠FBE”，從而可證“△DGE≌△EBF”。

三、通過(guò)“水平變式題”，鞏固已掌握的數(shù)學(xué)方法，為量變到質(zhì)變提供可能。

變式三：已知：如圖（9）△ABD和△DBC均為等邊三角形，點(diǎn)E、F分別在邊AB、BC上，聯(lián)結(jié)ED、DF，若∠DEF=60°，證明：△EDF是等邊三角形。

雖然“變式三”只是背景由“正方形”變?yōu)榱恕暗冗吶切巍?，輔助線的添加方法并沒(méi)有發(fā)生“變化”，但班內(nèi)依舊有近三分之一的同學(xué)有困難，這正說(shuō)明學(xué)生之間思維能力是有差異的，所以此處設(shè)計(jì)的“變式三”，既為部分困難的學(xué)生提供再“運(yùn)用”、再“鞏固”的機(jī)會(huì)，也為另一部分同學(xué)提供了思考這類問(wèn)題“共性”的機(jī)會(huì)。

我想量變是質(zhì)變的基礎(chǔ)，學(xué)生只有通過(guò)適當(dāng)?shù)姆磸?fù)，才能通過(guò)表面特征的重復(fù)，才能慢慢形成解決問(wèn)題的一般方法。所以“水平變式題”在“問(wèn)題變式”教學(xué)過(guò)程中同樣起著至關(guān)重要的作用。

四、最后通過(guò)“垂直變式題”，從特殊到一般摸索出這類題目一般規(guī)律。

變式四：已知：如圖（4），AB=AE，∠A=∠BCD=α，若∠DEF=______（用“α”表示），則可證BC=CD。

對(duì)于“變式四”，由條件“∠A=∠BCD=α”可得到一組等角：∠B=∠DCE；利用這組等角，在AB上截取GB=CE，由于AB=AE，所以AG=AC，進(jìn)一步可得：∠AGC=90-α/2，所以若希望△GBC≌△CED的結(jié)論依舊成立，則∠DEF的度數(shù)也須等于“=90-α/2”。換言之，符合這樣規(guī)律的問(wèn)題，都可以參考本例添加輔助線。從而，由特殊到一般摸索出了這類幾何證明題的一般規(guī)律。

就本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)而言，我從源問(wèn)題出發(fā)先鋪設(shè)了兩道“垂直變式題”，引導(dǎo)學(xué)生在利用等角構(gòu)造全等三角形的基礎(chǔ)上，逐步增加認(rèn)知負(fù)荷，逐步驅(qū)動(dòng)高層的數(shù)學(xué)思維，逐步由表層類比（數(shù)字和字母的變化）向結(jié)構(gòu)類比轉(zhuǎn)化。增加深層策略，由原來(lái)的程式知識(shí)轉(zhuǎn)為策略知識(shí)，由表層學(xué)習(xí)向結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化，逐步增加對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的深層體會(huì)，從而使學(xué)生的體驗(yàn)由起點(diǎn)（例題）到終點(diǎn)（垂直變式題）的深層經(jīng)歷。然后通過(guò)一道“水平變式題”的鞏固后，進(jìn)一步通過(guò)反思理解了這類幾何問(wèn)題的一般規(guī)律，掌握了這類幾何問(wèn)題的輔助線的添加方法。

其實(shí)針對(duì)這類問(wèn)題的解決我們還可以設(shè)計(jì)出很多相關(guān)問(wèn)題變式，如下例：

源問(wèn)題：如圖11，已知，在正方形ABCD的邊BC、CD上有兩點(diǎn)E、F，若EF=BE+DF，試證明：∠EAF=45°；

變式一（垂直變式），如圖11，已知，在正方形ABCD的邊BC、CD上有兩點(diǎn)E、F，若∠EAF=45°，試證明：EF=BE+DF；

變式二（垂直變式），如圖12，已知，在正方形ABCD的邊BC、CD延長(zhǎng)線上有兩點(diǎn)E、F，若∠EAF=45°，問(wèn)此時(shí)線段EF、線段BE和線段DF之間有著怎樣的數(shù)量關(guān)系？并請(qǐng)證明你的結(jié)論；

變式三（水平變式），如圖13，已知△ABC是邊長(zhǎng)為9的等邊三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，使其兩邊分別交邊AB于點(diǎn)M、交AC于點(diǎn)N，聯(lián)接MN，求△AMN的周長(zhǎng)。

變式四（垂直變式），若AB=AC，BD=CD，∠A=α，若∠BDC=______，∠MDN=____________，則可證 MN=BN+CN。

通過(guò)這些“問(wèn)題變式”訓(xùn)練，我所教學(xué)生處理類似“添加輔助線構(gòu)造全等三角形”相關(guān)問(wèn)題的能力得到了一定的提高。所以我認(rèn)為“問(wèn)題變式”教學(xué)的優(yōu)勢(shì)就在于，變式題不同于記憶型題目和高層思維型題目（如開(kāi)放題），而是在記憶型題目和高層思維型題目?jī)蓚€(gè)“極端”之間保持“平衡”，真正使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)循序漸進(jìn)、“變”中得“進(jìn)”，融會(huì)貫通，從而達(dá)到減負(fù)增效的作用。

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