1、1、2、3、5、8、13、21、……。這個數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列（Fibonacci Sequence）。

它有個奇妙的性質(zhì)，記F_N為斐波那契數(shù)列的第N項(xiàng)，則當(dāng)N比較大的時候

F_N/F_N+1≈0.618

斐波那契數(shù)列有兩個常見的通項(xiàng)公式（具體的推導(dǎo)過程就忽略了）

1、

F_N=F_N-1+F_N-2（N>2），F(xiàn)₁=1，F(xiàn)₂=2

2、

這個數(shù)列的前兩項(xiàng)F₁=1，F(xiàn)₂=1才稱為斐波那契數(shù)列，如果這個數(shù)列的前兩項(xiàng)是其他數(shù)字（正數(shù)），并且還有F_N=F_N-1+F_N-2（N>2）的遞推關(guān)系，那么這樣的數(shù)列，我稱之為類斐波那契數(shù)列，它是否還有當(dāng)N比較大的時候，F(xiàn)_N/F_N+1≈0.618這個奇妙的性質(zhì)呢？

答案是肯定的，比方說前兩項(xiàng)是2和7，這個數(shù)列就是

2、7、9、16、25、41、66、……

F₁₆=5024，F(xiàn)₁₇=8129，F(xiàn)₁₆/F₁₇=0.618034199

這不是巧合，你換什么數(shù)字（正數(shù)）都一樣

下面就給出該性質(zhì)的證明

假設(shè)數(shù)列為F_N=F_N-1+F_N-2（N>2），F(xiàn)₁=A，F(xiàn)₂=B，（A>0，B>0），證明：

1、利用特征方程求出該數(shù)列的通項(xiàng)公式

∵F_N=F_N-1+F_N-2

∴特征方程為X²=X+1

∴ 

∴該數(shù)列的通項(xiàng)公式為

，其中C₁和C₂是常數(shù)，可以利用F₁=A，F(xiàn)₂=B求出。不過和本證明沒啥太大的關(guān)系，沒必要求出

題外話：想當(dāng)年在高中的時候，費(fèi)了九牛二虎之力求出斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式，歡欣雀躍了很久。現(xiàn)在卻發(fā)現(xiàn)在線性代數(shù)里用特征方程很簡單的就求出了通項(xiàng)公式，真是悲哀啊?；仡^看看，有些年的高考數(shù)學(xué)壓軸題，其實(shí)用大學(xué)里的數(shù)學(xué)知識去求解是很簡單的。然而在高考中，卻要使考生費(fèi)九牛二虎之力，這算不算一種悲哀呢。再回頭看看，有些小學(xué)奧數(shù)班的內(nèi)容，用高中的知識很容易解決，但是非得把小學(xué)生繞得云里霧里，這算不算是一種悲哀呢

2、利用通項(xiàng)公式求出比值的極限

∵

∴

得證

這就證明了類斐波那契數(shù)列也有當(dāng)N比較大的時候，F(xiàn)_N/F_N+1≈0.618這個奇妙的性質(zhì)

玩?zhèn)€游戲吧，現(xiàn)在你想兩個正數(shù)，然后相加得到第三個數(shù)，第二個數(shù)和第三個數(shù)相加得到第四個數(shù)，第三個數(shù)和第四個數(shù)相加得到第五個數(shù)，以此類推。

然后告訴我第十個數(shù)是多少？是280？那我告訴你第十一個數(shù)是453。你僅僅告訴我第十個數(shù)，沒有透露任何其他消息，你沒透露第九個數(shù)，我是怎么知道第十一個數(shù)呢？這不是巧合，而是通過計算而來的，你想明白了么？不明白的話，看看上面的證明，呵呵。