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數(shù)系的擴充——復數(shù)
在人類歷史發(fā)展過程中,為了滿足生活和生產(chǎn)實踐的需要,數(shù)的概念在不斷地發(fā)展著。為了計數(shù)的需要產(chǎn)生了正整數(shù),為了測量等需要產(chǎn)生了分數(shù),為了刻畫具有相反意義的量產(chǎn)生了負數(shù),為解決不可公度的問題產(chǎn)生了無理數(shù)等等。 在數(shù)學內(nèi)部矛盾的解決過程中,可以清楚地看到,數(shù)集是在按某種“規(guī)則”不斷擴充的。在自然數(shù)集中,加法和乘法總可以實施。但是,由于小數(shù)不能減大數(shù),方程x+4=0無解，為此引入了負數(shù),數(shù)集擴充到整數(shù)集。在整數(shù)集中,加法、減法和乘法總可以實施。但是,由于除法只能解決整除的問題,方程3x-2=0無解，為此引入分數(shù),數(shù)集擴充到有理數(shù)集。在有理數(shù)集中,加法、減法、乘法和除法(除數(shù)不為零)總可以實施。但是,開方的結(jié)果可能不是有理數(shù),方程x2-2=0無解，為此引入無理數(shù),數(shù)集擴充到實數(shù)集。在實數(shù)集中,加、減、乘、除(除數(shù)不為零)總可以實施,并解決了正數(shù)的開方問題。 從自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集到實數(shù)集,每一次數(shù)的概念的發(fā)展,新的數(shù)集都是在原來數(shù)集的基礎上“添加”了一種新的數(shù)而得來的。在新的數(shù)集中,原有的運算及其性質(zhì)仍然適用,同時解決了某些運算在原來數(shù)集中不是總可以實施的矛盾。 現(xiàn)在,在實數(shù)集中,我們又面臨方程x2+1=0無解,負數(shù)不能開平方的問題。這表明,數(shù)的概念需要進一步發(fā)展,實數(shù)集要進一步擴充。 實數(shù)集應怎樣擴充呢？ 為了使方程x2+1=0有解,使實數(shù)的開方運算總可以實施,實數(shù)集的擴充就從平方等于-1的“新數(shù)”開始。 為此,我們引入一個新數(shù)i,叫做虛數(shù)單位(imaginary unit),并規(guī)定:①i2=-1;②i與實數(shù)一起可以按照實數(shù)的運算法則進行四則運算。 《標準》指出:數(shù)系擴充的過程體現(xiàn)了數(shù)學的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程,同時體現(xiàn)了數(shù)學發(fā)生、發(fā)展的客觀需求,復數(shù)的引入是中學階段數(shù)系的又一次擴充；要求學生在問題情境中了解數(shù)系擴充的過程以及引入復數(shù)的必要性,學習復數(shù)的一些基本知識,體會人類理性思維在數(shù)系擴充中的作用。從內(nèi)容上可以看到,在復數(shù)基本概念引入、復數(shù)代數(shù)形式的四則運算法則、復數(shù)的幾何意義等方面,《標準》和《大綱》的要求是一致的。而在數(shù)系的擴充過程、體會實際需求與數(shù)學內(nèi)部的矛盾等方面,《標準》的要求較高?！稑藴省凡粌H僅為了追求知識,關鍵是通過知識的發(fā)生、發(fā)展過程,讓學生感受人類理性思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系。同時,我們也看到,《標準》在復數(shù)內(nèi)容上少于《大綱》,尤其是對復數(shù)的三角形式未做介紹。 在復數(shù)概念與運算的教學中,《標準》建議:避免繁瑣的計算與技巧訓練,對復數(shù)感興趣的學生,可以給他們安排一些引申的內(nèi)容,如求x3=1的根，介紹代數(shù)學基本定理等。 三、相關鏈接 (1)嚴士健等主編:《普通高中數(shù)學課程標準(實驗)解讀》 第九章 選修系列1、系列2 (2)有關復數(shù)的教學(略) |
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