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看完這些圖，秒懂那些年搞不明白的數(shù)學概念 用心制作，只為讓每一個關(guān)注我們的人 擁有更優(yōu)的閱讀體驗和更高的閱讀效率 1、橢圓的畫法2、楊輝三角問題(Pascal triangles)解法3、使用“FOIL”輕松的解決二項式乘法4、對數(shù)解法技巧5、矩陣轉(zhuǎn)置的技巧6、勾股定理7、多邊形的外角之和總是等于 360 度8、圓周率π9、一弧度就是長度剛好等于半徑的一段圓弧所對的圓心角10、在Y軸上使用正弦(紅色)，在X軸上使用余弦(藍色)，則在 XY 軸平面上畫出的環(huán)形如下圖(黑色)11、同前一原理，但更簡單12、這是將 sin 和 cos 運用到三角形上13、余弦是正弦的衍生物14、正切線15、同上，但翻個面看，更容易理解16、將一個公式從笛卡爾坐標轉(zhuǎn)換成軸坐標17、畫拋物線18、黎曼和(Riemann sum)約等于其曲線下的面積19、雙曲線PS. 本文系轉(zhuǎn)載自網(wǎng)絡(luò)，如果您對文章有知識產(chǎn)權(quán)爭議、建議等，聯(lián)系我們 數(shù)學原來可以這么美
科赫曲線 Koch curve： H分形 H-fractal： 謝爾賓斯基三角形Sierpinski triangle： 維切克分形 Vicsek fractal： 萊維C形曲線 Lévy C curve： Hexaflake： 王蒙：數(shù)學為什么可愛
 數(shù)字魔方 福建有一個文學評論家叫林興宅，以前他提出過一個觀點，說“最好的詩是數(shù)學”。此話一出，全國嘩然。我當時并沒有很多道理可說，但是非常喜歡這句話。古今中外不止一個有名的文學方面的人才自嘲說：我之所以寫小說、寫詩，是因為我從小數(shù)學不及格。例如，汪曾祺先生就有過這樣的名言。但是我跟這種類型的作家有相當大的區(qū)別，我從小就著迷于數(shù)學和語文。我為什么著迷于這兩樣呢？因為我始終感到只有在數(shù)學和詩學里面，人的精神才能夠進入一個比較純粹的境界，才能把對世界的認知符號化、純粹化，從而提升之、激揚之。比如，你就是用數(shù)學的一些概念，如數(shù)字、數(shù)量關(guān)系，或者形體、形狀、相似、相等、不等、互證……這些東西來認識世界的。而且只有在這個很特殊的精神世界里，你才能感覺到這種智慧的光芒，感覺到人類的智慧中有多少奇妙的激情與創(chuàng)造發(fā)現(xiàn)。不管你有多少不順心的事，多少瑣碎的事，多少雞毛蒜皮的事，多少小鼻子小眼、摳摳搜搜的事，一旦進入這個境界以后——那些委瑣的東西沒有“入門證”，根本進不來——你就只剩下了妙悟、飛升、熱淚盈眶；同時你只剩下了智慧，只剩下了推理，只剩下了激情，還有想象，最純粹的想象。 我想做詩的感覺和解一道數(shù)學題的感覺是非常相似的，這種感覺就是黑暗中的尋索與光明照耀的狂喜。我上初中的時候就迷戀這種感覺，后來長大一點，覺得各種數(shù)字和形狀都是充滿感情的。譬如說，當我們說“一”的時候——中國人最喜歡這個“一”：一以貫之，“吾道一以貫之”，見出這個人的堅決，多么鮮明，又多么忠誠；又如“天下定于一”，所以叫“定一”的人特別多，如陸定一、符定一等。有了“一”，就有了一切，“道生一，一生二，二生三，三生萬物”。后來我覺得許許多多的數(shù)學現(xiàn)象，其實都是人生現(xiàn)象，它們反映的是人生最根本的道理。 我最喜歡舉的例子是我在北戴河看到的一個捉弄人的、帶有賭博性質(zhì)的游戲：主事者將4種不同顏色的球，紅、黃、藍、白每樣5個，總共20個，全部放進箱子里，參與者從里面任意摸出10個球，如果4種顏色的組合是五五〇〇，就能得到一臺萊卡照相機，如果是五四一〇，就送你一條中華煙，但有兩個組合是你反過來要給他錢的：一個是三三二二，一個是四三二一。結(jié)果玩游戲的人到那兒一抓，經(jīng)常是三三二二或四三二一。這是一個非常容易計算的問題。西安電子科技大學梁昌洪校長是數(shù)學家，他把整個的算草都給了我。他還在學校里組織了幾百個學生測試，又在電腦上算，結(jié)果都一樣，就是三三二二和四三二一所占的比率最高，都能占到接近百分之三十；而五五〇〇呢，只占十幾萬分之一。為這事我還出了硬傷，我說這五五〇〇的概率和民航飛機出事故的概率一樣多，結(jié)果民航局的朋友向我提出了嚴正抗議，說民航局從來沒出過這么多事故，他們出事故的概率不是十萬分之一，可能是千萬或者更多萬分之一。這也讓我長了知識。 三三二二和四三二一，這兩個數(shù)字組合迷住了我。什么是命運？我覺得“三三二二”或者“四三二一”就是命運。為什么五五〇〇的機會非常少？就是說命運中絕對拉開的事并不常見——一面是絕對的富有，因為五是全部，某一種顏色的球全部拿出來才是五，另一面則是〇，這個機會非常少，十幾萬個人中就一個。 所以說命運的特點在于：第一，它不是絕對的不公平；第二，它又絕對不是平均的?；蛘咦屇闳?，非常接近，但又不完全一樣；或者讓你四三二一，每個數(shù)都不一樣，卻又相互緊靠。它們出現(xiàn)的概率非常之大，我覺得這就是概率和命運與上帝的關(guān)系，這個命運太偉大了，這就是上帝，至少是上帝運算的一部分。一次，我和美國的一個研究生談起我的作品，我忽然用我的小學5年級英語講起這初中二年級的數(shù)學，我說這就是God。他說：“Eh，I don’t like this．” 把偉大的上帝說成是數(shù)學，他很不贊成，很不喜歡我這樣的分析。但我不是說偉大的上帝是數(shù)學，而是說數(shù)學的規(guī)律是“上帝”掌握的，和宇宙奧秘是一樣的。 數(shù)字哲學 中國人喜歡“一”，因為這整個的世界是“一”，世界是統(tǒng)一的。郭沫若有句詩非常有意思，“一切的一，一的一切”。到現(xiàn)在我也沒完全弄明白是什么意思，但是中文的此種構(gòu)詞方式太棒了。一就是一切，一切就是一，萬法歸一，一生萬物。天下定于“一”。中國文化最討厭的是“二”，比如“二心”，如果皇上說你有二心，你的腦袋就保不住了。毛澤東最喜歡的是“二”：老蔣說天無二日，我偏要出兩個太陽給他看看。這是毛澤東和柳亞子說的話。毛澤東也喜歡“一”，當革命沒有勝利的時候，他喜歡的是“二”，革命勝利了，他喜歡“一”。但是他討厭“三”，沒有第三條路線，沒有中間路線，第三條路線都是假的。改革開放以后，“三”的地位有點提高。哲學家龐樸提出一分為三。什么意思呢？他舉例說，人們常說“一抓就死，一放就亂”，一抓就死這是“一”，一放就亂這是“二”，但是我們追求的應該是“三”，就是抓而不死、放而不亂。就是說在“一”和“二”的斗爭中要產(chǎn)生出一種新的模式，新的思維、新的生產(chǎn)力、新的生產(chǎn)關(guān)系?！耙环譃槿庇幸欢ǖ挠绊懀珱]有得到普遍的響應。我個人很喜歡這個提法。只要承認了“三”，就承認了不斷出現(xiàn)新生事物。老子說，道生一，抽象的道變成了一個統(tǒng)一的宇宙；一生二，這個宇宙就變成了矛盾的兩個方面；矛盾的兩個方面斗爭的結(jié)果會出現(xiàn)新的東西，既不完全是“一”，也不完全是“二”，那么不斷地出現(xiàn)新的東西，就生了萬物。所以我個人也有點喜歡“三”。 數(shù)學與命運 摸球的例子大家可以去試試，用4種撲克牌，或者用4種麻將牌，都可以試。你會發(fā)現(xiàn)摸出來的組合，不是三三二二，就是四三二一。這是一個形而上的東西，中國人也有這種頭腦。比如說中國有一個說法，說一個人“趕上點兒了”。有人倒霉，大家說他趕上點兒了；有人突然發(fā)達起來了，噌噌直上，芝麻開花節(jié)節(jié)高，摁都摁不住了，嫉妒也沒用，告狀也沒用，也說他趕上點兒了。還有個詞叫“氣數(shù)”。氣數(shù)的“氣”很抽象，摸不清楚，可以說是一個人的運氣，也可以說是一個人、一個執(zhí)政集團或者一個朝代、一個皇帝主觀的自信，又或者是我們所說的那種氣場，等等。但還有一條就是“數(shù)”，就是這個“數(shù)”字經(jīng)過若干發(fā)展運動以后變成了“氣數(shù)已盡”。我這輩子感受最深的是國民黨那時候就是氣數(shù)已盡，完全沒辦法，誰也救不了它?；春?zhàn)役的時候，國民黨是坐著裝甲車、汽車運輸，人民解放軍則靠的是腿，解放軍每到一個地方都是提前15分鐘、20分鐘，或者半天，國民黨拼了半天命，就是差那么10多分鐘、20分鐘，氣數(shù)已盡。說明這里面是有一個數(shù)字法則的，這個數(shù)字又和時間的運行聯(lián)系到一塊兒了。 所謂算命，基本上是類似數(shù)學的活動，所以叫“算命”，是指對于生辰八字這一系列東西的演算。抽簽也是一個數(shù)學活動，是概率問題，抽到上上簽的可能性有多大，抽到下下簽的可能性有多大。還有一個是“相面”，相面是不是也有著幾何性的觀察？哪兒跟哪兒的距離怎么樣，哪兒跟哪兒的對比怎么樣，要分長短，要分大小，人中長的人壽命就長。其實這都是數(shù)學概念，所以對于人類來說，數(shù)學是認識世界的一個最基本方式。 愛情里面也充滿了數(shù)學的表達，說“執(zhí)子之手，與子偕老”，其中包含一個很長久的數(shù)字，“偕老”，起碼是一個幾十年的數(shù)字?！安磺筇扉L地久，只要曾經(jīng)擁有”，這是另一種愛情觀，這種愛情觀要求的是瞬間，是一剎那，甚至就是偶然，是不穩(wěn)定。 所以，我覺得數(shù)學是一個認識世界的基本方式。順便我也呼應一下，比如說咱們也研究勾股定理，但是沒有發(fā)展成為完備的數(shù)學。我覺得有兩點值得探討：一是咱們喜歡整體性的思維，既是為了實用——丈量土地，又是為了趣味。勾股定理讓我覺得很有趣味，三、四、五這幾個數(shù)字太迷人了，該定理研究的是數(shù)量關(guān)系，但沒有抽象化，分割得很清楚。二是咱們不重視計算，從古代就不夠重視。關(guān)于世界上的知識，毛澤東最初在延安提出，一個是階級斗爭知識，一個是生產(chǎn)斗爭知識。但是在上世紀50年代末，尤其是在“大躍進”失敗以后，毛澤東提出來的是生產(chǎn)斗爭、階級斗爭、科學實驗。到現(xiàn)在為止未見有人研究為什么毛澤東加上了“科學實驗”。我認為從背景上來說，是由于“大躍進”的失敗；從學理上來說，毛澤東體會到感性認識不可能由于數(shù)量的積累自然變成理性認識，還需要通過科學實驗。我斗膽來討論這個問題，我認為科學實驗是重要的，還有一樣同樣重要的就是邏輯推理與數(shù)學運算，科學實驗已經(jīng)非常靠近邏輯推理與數(shù)學計算了。這個加上以后，毛澤東的實踐論、認識論就比較完整了。如果我們有這樣一個比較完整的認識，如果我們更加重視邏輯推理與數(shù)學運算，我們中國人在科學上和數(shù)學上，就會有非常好的前途。 零和無窮大的迷思 數(shù)學教授方奇志老師說《醉漢的腳步》這個題目簡直太好了、太迷人了。這是一個數(shù)學命題，也是一個文學命題，這可以是一個長詩的題目，也可以是一個小說的題目。 “〇”也是我最感興趣的數(shù)字，我覺得“〇”從哲學上說，就是中國人所說的“無”，因為〇是zero，也就是nothing，所以，“〇”就是無，無就是萬物生于有、有生于無，所以無是本源。無當然是本源，因為我們每一個人都生于無。在我們被母親懷胎之前，我們就是無。中國人在這個“無”字上是很下功夫的。老子主張無為、無欲，認為一個人能做到“無”的境界，“為學日益，為道日損，損之又損，以至于無為。無為而無不為”。為什么要“無為無不為”呢？因為有生于無，無又不是都有。所以中國古人又說，無非有，無是沒有；無非無，無也不是永遠無；無因為能夠變成有，所以無非非無，無不是把無給否定了，無本身是不否定無的。無為什么能夠變成有呢？因為有了無窮大的幫忙，無和無窮大結(jié)合起來，就有可能產(chǎn)生出“有”來，就從“〇”變成“一”了，有了“一”就有了一切。電腦的數(shù)字只有〇和一，沒有其他數(shù)字，就是說〇和一已經(jīng)代表了全部數(shù)字，發(fā)展到最后它們可以變成無窮大。當然，關(guān)于無窮大是一個延伸的、正在進行的概念，還是一個已經(jīng)完成的概念，在數(shù)學界有很大爭論。 無窮大是什么呢？〇和無窮大放到一塊就是道。馮士筰院士說，這是把上帝人格化的觀念。把上帝人格化非常麻煩，因為米蘭·昆德拉的小說里就描寫了歐洲的神學家曾經(jīng)長期爭論的一個問題——耶穌進不進衛(wèi)生間？人格化了就有這個問題。伊斯蘭教則并不把真主人格化，因為它認為這是一個觀念。我在新疆的時候和一個五六歲的農(nóng)村小女孩聊天，我說，真主在天上，她告訴我說：老王，真主并不在天上，真主在我們每個人的心里。道也有這樣的特點，它是一個概念，同時它高于一切。道是沒有形象的，它是規(guī)律、本體，取之不竭，用之不盡。 “天地之間，其猶橐龠乎”，就像皮口袋的風箱一樣，就這么拉來拉去，永遠沒個完，這特別具有無窮大的特色。所以，數(shù)學里面，一個是“〇”，一個是“一”，一個是“無窮大”，這都是哲學，都是人生的符號，甚至是神學的符號。 對于神學，并不是說我們一定要相信教會，對于神學的經(jīng)典定義，就是終極關(guān)懷、終極眷顧，就是不可能用現(xiàn)世、經(jīng)驗說明一切。我們?nèi)说慕?jīng)驗是有限的，沒有無窮大，但是，根據(jù)人們構(gòu)造反義詞的原理，我們感悟到有限以外還有無限。〇和無窮大之間，有和無之間，形成了各種悖論。數(shù)學悖論說到底也是一個〇和無窮大之間的悖論，因為，既然是〇，你永遠是〇，可是無窮大了以后又不完全是〇。數(shù)學悖論里最基本的問題是說，如果你承認有，那〇也是一種有的方式。如果〇變成了有的方式，就太受鼓舞了。我一想到這個，對于歲數(shù)越活越大，到最后要駕鶴西去，我都不害怕了，因為〇也是一種存在的方式，〇也是一個數(shù)字，〇也是有。當一個人去世以后，我們說某某人千古，什么意思呢？他變成〇了，進入了永恒，即無窮（大）了。〇是無，同時又是有，而且通向無窮、通向永恒、通向終極。把無與有連通起來，這是什么呢？這是數(shù)學、神學、文學、哲學、詩學，也是藝術(shù)，是人類生命的最大痛苦，也是最大滿足。生命是什么？與〇相比，它是無窮；與無窮相比，它是〇。 本來的“無”，沒有無窮大就沒有“有”；本來的“有”，沒有與無的比照就沒有永恒與無窮，而沒有無窮大就沒有無。無窮大與〇，這是多么激動人心的終極觀。這就是激情，這就是膜拜，這就是終極，這就是折磨、糾結(jié)、一切悖論的母親與爆炸。傳染病的〇報告同樣是疫情報告，〇疫情也是疫情?。∪绻艺f無，那么無會不會無呢？無無了，那不就變成有了嗎？這不就是人生最大的悖論嗎？如果我說相信有，那么無不也是應該相信的有嗎——無是可能無的，有也是可能無的。有當然是可能有的，但是無就變成可能有了。這一下子整個世界都活了。這就是上帝，我說的這個上帝是完全不進衛(wèi)生間的終極。當有了終極以后，無、有、生、死、存在、規(guī)律、本體、抽象，就都被激活了，這真讓人感到無限的幸福。 （本文節(jié)錄自 誰做的動態(tài)圖？太牛了！數(shù)學原來這么簡單易懂啊！
你甚至可以做成這樣的效果：
誰是世界上最孤獨的數(shù)？ 看到哪個數(shù)，你會覺得最孤獨？
有人會說是1，因為它孤身一人。有人會說是0，因為它沒有任何存在感。有人會說是214，有人會說是419（咦）。這些都是字面上的直接聯(lián)想，因人而異，很難說哪個比哪個更加孤獨。 然而對一個學過數(shù)學的人來說，確實存在一個最“孤獨”的數(shù)。這個數(shù)就是所謂的黃金分割率φ。許多人說它是最美的數(shù)，美不美這種事情是一個主觀概念——但我們能從數(shù)學上證明，它是最“無理”的數(shù)，最難以接近的數(shù)，因而在這個意義上，是最孤獨的數(shù)。 越走越近，卻永遠不能在一起 一個無理（irrational）數(shù)有很多種表現(xiàn)方式。我們最熟悉的是無限不循環(huán)小數(shù)的形式，每多寫下一位數(shù)，就是用一個更加精確的有理（rational）數(shù)去逼近它。當然，這個過程永遠到不了盡頭。 但是無理數(shù)也可以用分數(shù)的形式表現(xiàn)，只不過這個分數(shù)也是無窮無盡的——這就需要“連分數(shù)”。不要怕，這里的全部數(shù)學只是加減乘除和通分，不超過小學五年級。 先用一個有理數(shù)作為例子：1024/137，約等于7.47445255。 第一級近似：7，于是它變成了 7 + 65/137。 第二級近似：把第一級留下的分數(shù)倒過來，137/65 近似是2，于是它變成了 2 + 7/65，于是開始的那個數(shù)字就變成了 7 + 1 / ( 2 + 7/65 )。 第三級近似：對7/65進行類似處理，以此類推。 最后得到的結(jié)果是 或者，省去那些多余的1，可以表達為 [7; 2, 9, 3, 2]。 能夠證明，每一個有限的連分數(shù)都代表一個有理數(shù)，而每一個有理數(shù)能且只能表示成兩種形式的連分數(shù)（要求第一個系數(shù)是整數(shù)，剩下的全是正整數(shù)）。比如上面那個數(shù)也可以表示為 [7; 2, 9, 3, 1, 1]。除這兩種之外再沒有別的寫法了。 同樣的步驟完全適用于無理數(shù)，但這時得到的連分式就會一直延續(xù)下去。比如，π的連分式可以表示為 或者用簡化的表達式：[3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, ...]。這個數(shù)列在“整數(shù)數(shù)列線上大全”（OEIS）中的編號是A001203。 使用連分數(shù)來逼近，就會遇到一個“逼近速度”的問題：每前進一步，近似值向精確值靠近了多少呢？ 回到π的例子。我們先看第一位近似——7。忽略后面剩下的： π ≈ 3 + 1/7 = 22/7 ≈ 3.142... 熟悉嗎？這就是當年祖沖之發(fā)現(xiàn)的“約率”。 如果接下來看到第三位近似: π ≈ 3 + 1 / ( 7 + 1 / （15 + 1） ) = 3 + 1 / ( 113 / 16 ) = 355/113 ≈ 3.1415929... 也即祖沖之的“密率”。二者都是對π的極好的近似。 這就是連分數(shù)的一個神奇屬性：當你得到一個連分數(shù)后，你就自動獲得了“最快”的逼近精確值的方式。這有點違反直覺——當你用7作為分母的時候，最小的單位就是1/7，那么誤差范圍應該是1/14以內(nèi)吧？實際上，使用連分數(shù)獲得的誤差范圍不是1/14以內(nèi)，而是1/49以內(nèi)！ 22/7 - π ≈ 0.0126 < (1/7)^2。 更一般地，假如一個無理數(shù)α，它的某一步連分式展開后變成了 p / q 的形式，那么一定有 | α - p/q | < 1 / q^2 而且， 這一定是當前最好的精確值，任何比它更精確的分式都一定需要更大的分母。π的前三級展開，分別是 22/7、333/106、355/113；你在1-6的范圍內(nèi)一定找不到比7更好的，1-112的范圍內(nèi)一定找不到比113更好的。但是，7卻比8、9、10……都要好。因此可以說，連分數(shù)在某種意義上揭示了一個無理數(shù)的深層結(jié)構(gòu)。 那么回到我們開始的問題。最快的逼近速度有多快？從上面的公式可以看出來，這完全取決于連分式里具體的每個數(shù)——數(shù)字越大逼近越快，數(shù)字越小逼近越慢。祖沖之能發(fā)現(xiàn)約率和密率，部分原因是因為他運氣好，π開頭的這倆數(shù)正好都不小，所以能給出很漂亮的逼近。 而最小的正整數(shù)，當然就是1了。 如果有這樣一個數(shù)：[1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...] 或者， 你肯定猜到了，這就是傳說中的黃金分割數(shù)φ，1.61803398... 如果去掉前面的1就會得到另一個常見形式：0.618... 而這兩個數(shù)正好互為倒數(shù)。從連分式這個形式就能看出來為什么。 我們試著逼近一下，得到的是 2/1 = 2 3/2 = 1.5 5/3 = 1.66666... 8/5 = 1.6 13/8 = 1.625 21/13 = 1.61538... 進行了6次近似，結(jié)果才到小數(shù)點后2位！剛才我們用π僅僅進行了2次近似，就精確到了小數(shù)點后6位。 （你可能注意到了，這個連分數(shù)的每一級逼近，就是傳說中的斐波那契數(shù)列。為什么？你猜。） 1是最小的正整數(shù)。因此，φ，這個全部由1組成的連分數(shù)，是所有數(shù)中最難以接近的數(shù)。沒有之一。 孤獨的數(shù)
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